导数在研究有关三角函数的实际问题问题中的应用

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1、http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 1 页 共 5 页 搜搜资资源源 上网站上网站导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用导数在研究有关三角函数的实际问题中的应用江苏 谈玉楼对数学应用意识的考察是高考数学命题的一个重要方面，要求学生能够运 用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将实际问题转化成数学问题， 以及转化以后如何综合运用学科内知识解决数学问题。而三角函数的应用题考 查也是高考命题的热点之一。由于导数为我们研究函数提供了一个新的方法， 在导数和三角的交汇点处命题将是高考命题的一个方向。 以下通过几个例子来 谈一谈。

2、例例 1.1. 如图所示的等腰梯形是一个简易水槽的横断面，已知水槽的最大流 量与横断面的面积成正比，比例系数为().k0k （）试将水槽的最大流量表示成关于函数；( )f（）求当多大时，水槽的最大流量最大. 解析：（1）由题意 1( )(2 cos )sin2fkaaaa2(1 cos )sin ,ka其中。090（2）2( )(coscos2 )fkaQ22(2coscos1ka ）令 又因为，而( )0f 得1cos1cos2 或09060在上递减，当=60 时水槽的流量最大。( )0 60f在（，）上递增，60 90（，）点评点评：导数为求函数的最值，单调性，极值等提供了新的方法，在解题

3、的 时候要注意这一方法的应用。随着高考命题改革的不断深入，高考命题强调知 识之间的交叉、渗透和综合。从学科的整体高度考虑问题，在知识网络的交汇 点处设计试题，是命题的一种趋势，我们应当研究此类试题，掌握其解法，不 断提高解题能力。 类题类题.1.1.如图,矩形纸片的边24,25,点、分别在边ABCDAB AD EF 与上.现将纸片的右下角沿翻折,使得顶点翻折后的新位置恰好ABBCEFB1B落在边上.设, 关于 的函数为,试求:ADBEtEFEFllt( )lf t(1)函数的解析式；(2)函数的定义域； (3) 的最小值.( )f t( )f tl解：(1)设,则.BFEsint由于,1B F

4、EBFE 12FB EFBE 则,即.12222AB E12AEB而,1sin ,cos2sincos2BElAEB El6AEBEAB所以,解得sinsincos224ll2424 sinsincos2sin (1 cos2 )laaaABCDEFB1http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 2 页 共 5 页 搜搜资资源源 上网站上网站. 故.222412 sin (22sin)sin (1 sin)312( )lf ttt(2)因为,故当点 E 与点 A 重合时, =1.tanBE BFtanBE BF当点 E 向右运动时,BE

5、 长度变小,为保持点 B1在边 AD 上,则点 F 要向上运动,从 而 BA 的长度变大,则就变小,当点 F 与点 C 重合时, 取得最小值.tantan 又当点 F 与点 C 重合时,有,即25tan25tancos224 ,解之得212tan25tan120或(舍). 所以,又是锐角,所以3tan44tan33tan ,14.32sin ,52综上,函数的定义域为.( )f t32 ,52t(3)记,因为,所以函数332( ), ,52g ttt t 2( )1 30g tt 上单调递减,则当时,取得最大值为.332( ) ,52g ttt 在3 5t ( )g t48 125从而 的最小

6、值为.l125 4 例例 2.2. (2008 江苏高考 17)某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B，及 CD 的中点 P 处，已知km, ,为了处理三家工厂的污20AB 10CDkm 水，现要在矩形 ABCD 的区域上（含边界） ，且 A，B 与等距离的一点 O 处建造一 个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm。 （I）按下列要求写出函数关系式： 设，将表示成的函数关()BAOrady系式； 设，将表示成的函数关系式。()OPx kmyx（II）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定 污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短。解析：（I

7、）由条件可知 PQ 垂直平分 AB，则()BAOrad10AQOACOSBAOCOS故，又，所以10OBCOS10 10tanOP。101010 10tanyOAOBOPCOSCOS20 10sin10(0)cos4，则，所以()OPx km10OQxhttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 3 页 共 5 页 搜搜资资源源 上网站上网站，222(10)1020200OAOBxxx所以所求的函数关系式为。2220200(010)yxxxx（II）选择函数模型。22210cos(20 10sin )( sin )10(2sin1) co

8、scosy 令得，又，所以。0y 1sin2046当时，是的减函数；时，是的增函060yy640y y数。所以当时。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边6min10 310y处。10 3 3km点评点评：本题第二小问中若选用函数模型则，令22201 20200xy xx =0 则y，即，故当时三条排水管道总23602000xx10 3103x 10 3103op 长度最短。本题能体现数学应用，关注社会生活。以污水处理为背景，体现试 卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。类题类题.1.1. 如图，是沿太湖南北方向道路,为ABP太湖中观光岛屿, 为停车

9、场，km某旅游团游Q5.2PQ 览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h 的速13度沿方位角 的方向行驶，游船离开观光岛屿q5sin13q3 分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先Q到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q(设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为 66km/haQPMBA（第 1 题） http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 4 页 共 5 页 搜搜资资源源 上网站上网站()设，问小船的速度为多少 km/h

10、 时，游客甲才能和游船同时到达点4sin5aQ；()设小船速度为 10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余aa弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q解：() 如图，作,为垂足PNABN,，,PQMPMQqpa5sin13q4sin5a在中， RtPNQ(km), sinPNPQq55.2213=(km)cosQNPQq125.24.813在中，RtPNM(km) 21.54tan 3PNMNa设游船从P到Q所用时间为 h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速1tPMQ2t度为 km/h，则 1v(h), （h） 126 25 13135PQt 2 1112.53.351

11、 6666220PMMQtvvv由已知得：，211 20tt15112 220205v125 3v 小船的速度为km/h 时，游客甲才能和游船同时到达 25 3Q()在中，RtPMN(km),(km)2 sinsinPNPM aa2cos tansinPNMN a aa(km) 2cos4.8sinQMQNMNa a14cos 10665sin5533sinPMQMta aa1335cos4 165sin55a a, 22215sin(335cos )cos533cos 165sin165sintaaaa aa 令得：0t 5cos33a当时，；当时，在上是减函数，5cos33a0t 5cos33a0tcosa(0,)2paNQPMBAhttp:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学学数学 用用专页专页 第 5 页 共 5 页 搜搜资资源源 上网站上网站当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达a5cos33aQ