数学应用性问题怎么解

《数学应用性问题怎么解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学应用性问题怎么解（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、1数学应用性问题怎么解数学应用性问题怎么解数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高 考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.解答这类问题的要害是深刻理解题意,学会文 字语言向数学的符号语言的翻译转化,这就需要建立恰当的数学模型,这当中,函数,数列,不 等式，排列组合是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也应在复课时引起重视.例例 1 1 某校有教职员工 150 人，为了丰富教工的课余生活，每天定时开放健身房和娱乐室。据调查统计，每次去健身房的人有 10%下次去娱乐室，而在娱乐室的人有 20%下次去健身房.请问，随着时间的推移，去健身房的人数能否趋于稳定

2、？讲解讲解: : 引入字母,转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为 an，去娱乐室的人数为 bn，则.150nnba.3010730107)150(102 109 102 109111111nnnnnnnnaaaaabaa即，于是)100(1071001nnaa1 1)107)(100(100n naa即 .)100()107(10011aan n.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100 人左右.100lim nna上述解法中提炼的模型, 使我们联想到了课本典型习题（代数下册301071nnaaP.132 第 34 题）已知数列的项满足 na dcaabann 11,其中，证

3、明这个数列的通项公式是1, 0cc.1)(1cdcbdbcannn有趣的是, 用此模型可以解决许多实际应用题, 特别, 2002 年全国高考解答题中的应用 题(下文例 9)就属此类模型.例例 2 某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 V 千米/小时（4V20）从 A 港出发前往 50 千米处的 B 港，然后乘汽车以匀速 W 千米/小时（30W100）自 B 港向 300 千米处的 C市驶去，在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x 小时、y 小时，若所需经费元，那么 V、W 分别为多少时，所需经)8(2)5(3100yxp费最少？并求出这时所花的经费.2讲解

4、讲解: 题中已知了字母, 只需要建立不等式和函数模型进行求解.由于又103, 5 .125 . 2,100450xyVVy同理及149yx则 z 最大时 P 最小.23),23(131)8(2)5( 3100yxzyxyxP令作出可行域，可知过点（10，4）时, z 有最大值 38，P 有最小值 93，这时 V=12.5，W=30.视这是整体思维的具体体现, 当中的换元法是数学解题的常用方法.yxz23 例例 3 某铁路指挥部接到预报，24 小时后将有一场超历史记录的大暴雨，为确保万无一失，指挥部决定在 24 小时内筑一道归时堤坝以防山洪淹没正在紧张施工的遂道工程。经测算，其工程量除现有施工人

5、员连续奋战外，还需要 20 辆翻斗车同时作业 24 小时。但是，除了有一辆车可以立即投入施工外，其余车辆需要从各处紧急抽调，每隔 20 分钟有一辆车到达并投入施工，而指挥部最多可组织 25 辆车。问 24 小时内能否完成防洪堤坝工程？并说明理由.讲解讲解: 引入字母, 构建等差数列和不等式模型.由 20 辆车同时工作 24 小时可完成全部工程可知，每辆车，每小时的工作效率为，4801设从第一辆车投入施工算起，各车的工作时间为 a1，a2，, a25小时，依题意它们组成公差（小时）的等差数列，且 31d，化简可得. 48025)(21, 1480480480,242512521 1aaaaaa即

6、则有L5192821a解得.245123,51231由于a可见 a1的工作时间可以满足要求，即工程可以在 24 小时内完成. 对照此题与 2002 年全国高考文科数学解答题中的应用题, 你一定会感觉二者的解法是 大同小异的. 学习数学就需要这种将旧模式中的方法迁移为解答新题的有用工具, 这要求你 不断的联想, 力求寻找恰当的解题方案.例例 4 某学校为了教职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为 A(m2)的宿舍楼.已知土地的征用费为 2388 元/m2，且每层的建筑面积相同，土地的征用面积为第一层的 2.5 倍.经工程技术人员核算，第一、二层的建筑费用相同都为 445 元/m2，以

7、后每增高一层，其建筑费用就增加 30 元/m2.试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用.（总费用为建筑费用和征地费用之和）.讲解讲解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎样建构数学模型?设楼高为 n 层，总费用为 y 元，则征地面积为，征地费用为元，楼层建25 . 2mnA nA5970筑费用为3445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2）元，从而AnnnA)4003015(（元）AAnnAnAnAnAy1000)400600015(40030155970当且仅当 , n=20（层）时，总费用 y 最少. nn600015 故当这幢宿舍楼的楼高层

8、数为 20 层时, 最少总费用为 1000A 元. 实际应用题的数列模型是近两年高考命题的热门话题, 涉及到等差数列, 等比数列, 递 归数列等知识点, 化归转化是解答的通性同法.例例 5 在一很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 15角，速度为 2.5km/h，同时岸边有一人,从同一地点开始追赶小船，已知他在岸上跑的速度为 4km/h，在水中游的速度为 2km/h.,问此人能否追上小船.若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？讲解讲解: 不妨画一个图形,将文字语言翻译为图形语言, 进而想法建立数学模型.设船速为 v，显然时人是

9、不可能追上小船，当km/h 时，人不必在hkmv/420 v 岸上跑，而只要立即从同一地点直接下水就可以追上小船，因此只要考虑的情况，42 v 由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿湖岸跑一段路后再游水追赶，当人沿岸 跑的轨迹和人游水的轨迹以及船在水中漂流的轨迹组成一个封闭的三角形时，人才能追上 小船。设船速为 v，人追上船所用时间为 t，人在岸上跑的时间为，则人在水中游的时间) 10( kkt为，人要追上小船，则人船运动的路线满足如图所示的三角形.tk)1 ( 由余弦是理得,| ,)1 (2| ,4|vtOBtkABktOAQ15cos|2|222OBOAOBOAAB即 4264 .

10、2)()4()1 (42222vtktvtkttk整理得.048)26(21222vkvk要使上式在（0，1）范围内有实数解，则有且112402 v0)4(1248)26(222vv解得.hkmvv/22,222max即故当船速在内时，人船运动路线可物成三角形，即人能追上小船，船能使人追22 , 2(上的最大速度为，由此可见当船速为 2.5km/h 时, 人可以追上小船.hkm/22涉及解答三角形的实际应用题是近年高考命题的一个冷点, 复课时值得关注.OABvt2(1k)t4kt154例例 6 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比，与它的厚度 d 的平方成正比，与它的长度

11、 l 的平方成反比.（1）将此枕木翻转 90（即宽度变为了厚度） ，枕木的安全负荷变大吗？为什么？（2）现有一根横断面为半圆（半圆的半径为 R）的木材，用它来截取成长方形的枕木， 其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？讲解讲解: :（1）安全负荷为正常数） 翻转kladky(221222,90ldaky后，安全负荷变大.4 分当 ，安全负荷变 21 21,0,yyadad yy时当Q12,0yyda时小.（2）如图，设截取的宽为 a，高为 d，则. 22222244,)2(RdaRda即枕木长度不变，u=ad2最大时，安全负荷最大.)(24422422222dRddRdadu

12、3222222223)(224)(224 dRdddRdd，当且仅当，即取，3 934R2222dRdRd36取时，u 最大， 即安全负荷最大.RdRa332222三次函数最值问题一般可用三元均值不等式求解, 如果学过导数知识, 其解法就更为方 便, 省去了应用均值不等式时配凑“定和”或“定积”的技巧性.例例 7 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表，若用 甲、乙、丙三种食物各 x 千克，y 千克，z 千克配成 100 千克混合食物，并使混合食物 内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B.甲乙丙维生素 A（单位/千克）600700400维生素

13、B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194（1）用 x，y 表示混合食物成本 c 元；（2）确定 x，y，z 的值，使成本最低.讲解讲解:（1）依题意得 .100,4911zyxzyxc又yxc57400（2）由 , 得yxzzyxzyx100,6300050040080056000400700600及adl5，130332064yxyx.45057yx,85045040057400yxc当且仅当时等号成立., 2050,130332064yxyxyx即当 x=50 千克，y=20 千克，z=30 千克时，混合物成本最低为 850 元. 线性规划是高中数学的新增内容, 涉及此类

14、问题的求解还可利用图解法, 试试看.例例 8 随着机构改革工作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员人a2（140,即 140e,rp21tvr 1tvrg(t1)g(t2). 故湖水污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重.(3)污染停止即 P=0，g(t)=g(0)e,设经过 t 天能使湖水污染下降到初始污染水平 5%tvr9即 g(t)=5% g(0)=e，t= ln20，201tvrrv故需要 ln20 天才能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的 5%.rv高考应用性问题的热门话题是增减比率型和方案优化型, 另外,估测计算型和信息迁移 型也时有出现.当然,数学高考应用性问题关注当前国内外的政治,经济,文化, 紧扣时代的 主旋律,凸显了学科综合的特色,是历年高考命题的一道亮丽的风景线. .