《线性代数方法建模6 ct图像重建--数学建模案例分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数方法建模6 ct图像重建--数学建模案例分析（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6 CT 图像重建CT 是 Computed Tomography 的简称，即计算机断层成像技术，也称为计算机辅助断层扫 描 CATScanner。为什么通过 CT 扫描能够比较清楚地了解被扫描物体断层的组织结构呢？它 与数学又有什么样的联系？ 拍 X 光片是将三维对象（立体）显示在二维的胶片或荧光屏上，待检测物体与胶片平行，X 射线垂直投射到胶片上，这样，在深度方向的信息重叠在一起，混淆不清。另外，由于胶片的 密度分辩力低，不能区分软组织的细节，只能区分密度差别大的内脏器官，影响了诊断的效力。 CT 的创立，解决了这个问题。它不同于传统的 X 射线，它的 X 射线束则位于待检测物体的横截 面
2、内，X 射线源发射出极细的笔束 X 射线，在其对面放置一检测器，测量出 X 射线源发出的射线的强度，以及经过物体衰减后达到检测器的 X 射线强度，然后，将 X 射线源与检测器在0II观测平面内不断同步改变位置（平移或旋转） ，得到关于 X 射线强度的若干组数据（可以是几I万组甚至几十万组） 。如果物体是均匀的，物体对 X 射线的衰减系数为常数。设强度为的射线0I在物体中行进距离后衰减至，由 Beer 定理：xI)ln(0 0 IIxeIIx或（1）但若物体在待检测的平面内是不均匀的，则。此时 X 射线在某一方向沿某一路xy),(yx径的总衰减可以用线积分表示：L IIdl L0ln（2）称（2
3、）为射线投影射线投影。若未指明路径，只指明方向，即，称为投影投影，投影是一组射线投影dl的集合。 （1）与（2）中的和可由实验测得。0II我们的任务是：根据测得的一系列和来求。求得的仅是一个离散0II),(yx),(yx的二元函数，通过转换成 CT 数（这是相对于水的线性衰减系数，它比易于分辩） ，以数),(yx模转换器转换成图像信号，由电视屏以不同灰度等级或色彩显示出来或拍摄下来。这就是投影投影 重建图像，重建图像，所建立的图像为扫描平面的物体断层图像。CT 是 G.N.Hounsfield 在 1971 年提出并在英国 EMI Ltd.生产了第一台 CT，1979 年他与 A.M.Corm
4、ack 一起获得了 Nobel 医学奖。CT 一出现，就得到了广泛的应用，不仅在医学方面， 在工业无损检测、农林业、生态环境检测、地球物理等方面都得到了广泛的应用，现已由第一代发展到第五代。我们这里讨论的是如何求的问题。投影重建图像有许多方法，如反投),(yx影重建算法、滤波重建算法和迭代重建算法等。这里仅介绍迭代重建算法。将待检测物体的截面分成许多边长为的小正方形，每个小正方形称为一个像元。设一束 宽度为的射线，平行于像元的边，整个穿边像元。组成 X 射线的光子以一定的速率被像元内的组织吸收，其速率正比于组织的 X 射线密度（线性衰减系数） 。记第个像元的 X 射线密度为j，定义jx)(ln
5、ln子的百分比个像元而未被吸收的光穿过第个像元的光子数目离开第个像元的光子数目进入第jjjxj如果第 束 X 射线穿过由个像元组成的一行像元，那么第 束 X 射线经过这行像元未被吸收的iki 百分比=第 束 X 射线经过待检测物体的截面而未被吸收的百分比。记i)(lnln分比后未被吸收的光子的百束射线经过待检测截面第进入检测器的光子数目束射线经过待检测截面第目面进入检测器的光子数束射线未经过待检测截第iiibi称为第 束 X 射线的密度，从而iikbxxxL21（3）式中可由测量得到，是未知的。ibkxxxL,21将待检测的截面分成个像元，它们的标号由 1 到，第 束 X 射线穿过个像元组2n
6、N Nin成的一行像元，这些像元的标号为，则（3）可写成njjjL,21ijjjbxxx nL 21（4）令 其它若, 0, 121n ijjjjjaL则（4）可写成线性方程组MibxaxaxaiNiNii, 2 , 1,2211LL（5）其中为射线的数目，称（5）为第 束 X 射线的方程，矩阵称为投影矩阵投影矩阵。Mi NMijaA然而，一束射线不一定沿平行于像元的方向穿过像元，因而需要将（5）中的加以修正，ija常用的方法如下： （1）像元中心法：其它个像元的中心束射线经过第若第, 0, 1jiaij（6） （2）中心线法：l jjiaij个像元内的长度第个像元内的长度束射线的中心线位于第
7、第（7） （3）面积法：个像元内的面积个像元时位于第穿过第束射线若平行于像元边第个像元内的面积束射线位于第第 jjijiaij（8）若总共有束射线，个像元，利用上述三种方法中的任何一种选择，则可得到一个MNija含有个未知数，个方程的线性方程组：NM NjijijMibxa1, 2 , 1,L（9）一般地，可等于，也可以大于或小于。在实际的 CT 设备中，MNN等，等。方程组（9）可能有解，也可能无解；有320320;8080N184300;28800M解时，可能有无穷多组解。客观上，由实际问题的意义， （9）应该有解。一般地，应该有无穷 多组解。由于模型是由实际问题经过若干近似抽象而来的，数据又是测量得到的，不可避免地 有误差，因此也会出现无解的情形。所以，我们将方程组（9）写成：beAx （10） 式中，为误差向量。另外，由于矩阵的元素很多，又有许多元素为零，用消元法来解很费eA 时，在 CT 中用迭代法求解。它的思想是：先建立一个判据，即接受的标准，选择一个解的初始 值，若它符合判据，则接受为解，若达不到要求，则按一定的方法对原值加以修正，通过不断 的迭代，直到可以接受为解为止。
