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1、双玉远程教育学校第 1 章 函数第 2 章 极限与连续（一）单项选择题下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等A. ， B. ，2)()(xxfxxg)(2)(xxfxxg)(C. ， D. ，3ln)(xxfxxgln3)(1)( xxf11)(2xxxg分析分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同A、，定义域；，定义域为 R2( )()f xxx|0x x xxg)(定义域不同，所以函数不相等；B、，对应法则不同，所以函数不相等；2( )f xxxxxg)(C、，定义域为，定义域为3( )ln3lnf xxx|0x x xxgln3)(|0x x 所以两个函数相等D、
2、，定义域为 R；，定义域为1)( xxf21( )11xg xxx|,1x xR x定义域不同，所以两函数不等。 故选 C 设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称)(xf),()()(xfxfA. 坐标原点 B. 轴xC. 轴 D. yxy 分析分析：奇函数，关于原点对称()( )fxf x 偶函数，关于 y 轴对称()( )fxf x与它的反函数关于对称， yf x 1yfxyx奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设，则 g xf xfx gxfxf xg x所以为偶函数，即图形关于 y 轴对称 g xf xfx故选 C 下列函数中为奇函数是（B）A. B. )1ln(2xyxxy
3、cosC. D. 2xxaay)1ln(xy分析：A、，为偶函数 22ln(1)ln 1yxxxy x B、，为奇函数 coscosyxxxxxy x 或者 x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C、，所以为偶函数 2xxaayxy xD、，非奇非偶函数ln(1)yxx故选 B下列函数中为基本初等函数是（C）双玉远程教育学校A. B. 1 xyxyC. D. 2xy 0,10,1 xxy分析：六种基本初等函数 （1） （常值）常值函数yc（2）为常数幂函数,yx（3）指数函数0,1xyaaa（4）对数函数log0,1ayx aa（5）三角函数sin ,cos ,tan ,co
4、tyx yx yx yx（6）反三角函数 sin ,1,1 ,cos ,1,1 ,tan ,cotyarcxyarcxyarcx yarcx分段函数不是基本初等函数，故 D 选项不对 对照比较选 C 下列极限存计算不正确的是（D）A. B. 12lim22 xxx0)1ln(lim 0 x xC. D. 0sinlim xxx01sinlim xx x分析：A、已知1lim00nxnx2222222211limlimlim12221 01xxxx xx xx xxxB、 0limln(1)ln(1 0)0 xx 初等函数在期定义域内是连续的C、sin1limlimsin0 xxxxxx时，是无
5、穷小量，是有界函数，x 1 xsin x无穷小量有界函数仍是无穷小量D、，令，则原式1sin1lim sinlim1xxxxx x10,txx 0sinlim1 tt t故选 D 当时，变量（C）是无穷小量0xA. B. xxsin x1C. D. xx1sin2)ln( x分析；，则称为时的无穷小量 lim0 xaf x f xxa双玉远程教育学校A、，重要极限 0sinlim1 xx xB、，无穷大量 01lim xx C、，无穷小量有界函数仍为无穷小量 01lim sin0 xxxx1sinx D、 0limln(2)=ln 0+2ln2 xx 故选 C 若函数在点满足（A），则在点连续
6、。)(xf0x)(xf0xA. B. 在点的某个邻域内有定义)()(lim0 0xfxf xx )(xf0xC. D. )()(lim0 0xfxf xx )(lim)(lim00xfxf xxxx分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即 00lim xxf xf x 连续的充分必要条件 00000limlimlim xxxxxxf xf xf xf xf x 故选 A （二）填空题函数的定义域是 )1ln(39)(2 xxxxf|3x x 分析：求定义域一般遵循的原则 （1）偶次根号下的量0 （2）分母的值不等于 0 （3）对数符号下量（真值）为正 （4）反三角中反正弦、
7、反余弦符号内的量，绝对值小于等于 1（5）正切符号内的量不能取0,1,22kkL然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域要求)1ln(39)(2 xxxxf得求交集 2903010xxx 33 3 1xx x x 或313定义域为 |3x x 已知函数，则 x2-x xxxf2) 1()(xf分析：法一，令得1tx1xt 则则22( )11f ttttt 2f xxx法二，所以(1)(1)1 11f xx xxx ( )1f ttt xxx)211 (lim分析：重要极限，等价式1lim 1xxex10lim 1x xxe 推广则 lim xaf x 1lim(1)f xxaef x双玉远程
8、教育学校则 lim0 xaf x 1 lim(1)f xxaf xe 1122211lim(1)lim(1)22xxxxexx若函数，在处连续，则 e 0,0,)1 ()(1xkxxxxfx0xk分析：分段函数在分段点处连续0x 000limlim xxxxf xf xf x 所以 00100limlim0limlim 1xxx xxf xxkkkf xxe ke函数的间断点是 0,sin0,1 xxxxy0x 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点 初等函数在其定义域范围内都是连续的 分段函数主要考虑分段点的连续性（利用连续的充分必要条件）不等，所以为其间断点 0000limlim10
9、11limlimsin0xxxxf xxf xx 0x 若，则当时，称为 时的无穷小量 Axf xx )(lim00xx Axf)(0xx 分析：000lim( ( )lim( )lim0 xxxxxxf xAf xAAA 所以为时的无穷小量Axf)(0xx （三）计算题设函数0,0,e)(xxxxfx求：) 1 (, )0(, )2(fff 解：，22f 00f 11fee求函数的定义域21lgxyx解：有意义，要求解得21lgxyx2100x xx 102 0xxx 或则定义域为1|02x xx或在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试R
10、将梯形的面积表示成其高的函数 解： DAR双玉远程教育学校O h EBC 设梯形 ABCD 即为题中要求的梯形，设高为 h，即 OE=h，下底 CD2R 直角三角形 AOE 中，利用勾股定理得2222AEOAOERh则上底2222AERh故 2222222hSRRhh RRhg求xxx2sin3sinlim 0解： 000sin3sin33sin3333limlimlimsin2sin2sin22222xxxxxxxxx xxxxxx 133 122求) 1sin(1lim21xxx解：21111(1)(1)11 1limlimlim2sin(1)sin(1)sin(1)1 1xxxxxxx
11、xxx x 求xxx3tanlim 0解： 000tan3sin31sin311limlimlim3133cos33cos31xxxxxx xxxxx g求xxxsin11lim20解：22222200011( 11)( 11)limlimlimsin( 11)sin( 11)sinxxxxxxx xxxxx 020lim0sin1 11( 11)xx xxx求xxxx)31(lim解：11 4 3 331111(1)(1) 1lim()lim()limlim33311(1)(1) 3xxxx xxxxxxxexxxexe xxx 求4586lim224xxxxx解： 224444268242
12、2limlimlim544114 13xxxxxxxx xxxxx设函数双玉远程教育学校1,111,1,)2()(2xxxxxxxf讨论的连续性，并写出其连续区间)(xf解：分别对分段点处讨论连续性1,1xx （1） 1111limlim1limlim11 10xxxxf xxf xx 所以，即在处不连续 11limlim xxf xf x f x1x （2） 221111limlim21 21limlim111xxxxf xxf xxf 所以即在处连续 11limlim1 xxf xf xf f x1x 由（1）（2）得在除点外均连续 f x1x 故的连续区间为 f x , 11, U【高等数学基础高等数学基础】形考作业形考作业 2 2 答案：答案
