勾股定理经典例题精析

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1、第三部分第三部分 经典例题精析经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3：4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。考点：一元二次方程的应用；勾股定理。 专题：几何图形问题。 分析：根据直角三角形的两直角边是 3：4，设两直角边分别为 3x，4x，根据勾股定即可列 方程求出两边的长，进而就可求得三角形的面积 解答：解：设两直角边分别为 3xcm，4xcm，根据勾股定理可得出9x2+16x2=400，x1=4（不合题意舍去） ，x2=4那么两直角边分别为 12cm，16cm，那么这个三角形的面积为 12162=96cm2

2、 答：这个三角形的面积为 96cm2 点评：可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解本题考查 了直角三角形的性质举一反三举一反三 【变式变式 1 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。 考点：等边三角形的性质；三角形的面积；含 30 度角的直角三角形； 勾股定理。 专题：计算题。 分析：过点 A 作 ADBC，根据直角三角形的性质得出 AD 的长， 再求面积即可 解答：解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D， B=60， BAD=30， AB=2， AD=，SABC=总结升华：总结升华：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a，则其面积为 【变式变式 2 2】直角三角

3、形周长为 12cm，斜边长为 5cm，求直角三角形的面积。 考点：勾股定理；三角形的面积。 分析：由直角三角形周长为 12cm，斜边长为 5cm，可得两直角边的和为 7cm，设一直角边为 xcm，则另一直角边为（7x）cm，根据勾股定理可列方程，解方程求取两直角边的值，即可求直角三角形的面积解答：解：设一直角边为 xcm，则另一直角边为（7x）cm，依题意得x2+（7x）2=52解之得 x=3 或 4则直角三角形的面积为： 34=6cm2答：直角三角形的面积是 6cm2 点评：此题主要考查勾股定理的应用，还涉及了三角形的面积和周长计算 【变式变式 3 3】若直角三角形的三边长分别是 n+1，n

4、+2，n+3，求 n。分析：首先要确定斜边（最长的边）长 n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为 n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（n+3）2化简得：n2=4n=2，但当 n=2 时，n+1=10，n=2总结升华：总结升华： 【变式变式 4 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（A ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40【变式变式 5 5】四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。 考点：勾股定理的逆定理。 专题：探究型。 分析：先根据勾股定理求

5、出 AC 的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出ACD 的形状， 再利用三角形的面积公式求解即可 解答：解：ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，在ACD 中，AC2+CD2=25+144=169=AD2， ACD 是直角三角形，S四边形 ABCD= ABBC+ ACCD，= 34+ 512，=36 点评：本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出 ACD 的形状是解答此题的关键 类型二：勾股定理的应用类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN30，点 A 处有一所中 学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m

6、 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公 路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知 拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 考点：解直角三角形的应用。 分析：（1）作 ABMN 于 B，则 AB 为 A 到道路的最短距离在 RtABP 中，可以求出 AB=APsin30，然后比较大小即可判断受影响；（2）设 AC、AD 为正好受影响时，则 AC=AD=100，在 RtABC 中，BC2=AC2AB2=3600，由此可以求出 BC，BD，又拖拉机速度为 3.6km/h=1m/s，让路程除以速度可以计算出受影响时间 解答：解：（1）

7、作 ABMN 于 B， 则 AB 为 A 到道路的最短距离 在 RtAPB 中，AB=APsin30=80100， 会影响；（2）在 RtABD 中，BD=60（米） ，受影响的时间为：=0.05（小时）=3（分钟） ，会受影响 3 分钟 点评：解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到解直角三角形中， 进行解答；注意运用等腰三角形三线合一的性质得到受影响的路程 举一反三举一反三【变式变式 1 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了 避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅 仅少走了_步路（假设 2 步为 1m） ，却踩伤了花 草。 考点：勾股定理的应用。分析

8、：根据勾股定理求得 AB 的长，再进一步求得少走的路的米数，即 AB（AC+BC） 解答：解：在 RtABC 中，AB2=BC2+AC2，则少走了 2（3+45）=4（步） 点评：此题注意单位的换算，通过实际问题向学生渗透思想教育【变式变式 2 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边 长为 1 的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形 ABCD 含有多少个单位正三角形？ 平行四边形 ABCD 的面积是多少？（3）求出图中线段 AC 的长（可作辅助线） 。 考点：等边三角形的性质；勾股定理。 专题：网格型

9、。分析：（1）由正三角形的边长为 1，做底边上的高 h，利用勾股定理可求 h=，S=；（2）把平行四边形所占的网格中的正三角形数一下即可，有 24 个，那么 S=6；（3）作 BC 边上的高 AK，垂足为 K，据图可知，B=60，则BAK=30，由 AB=6，利用勾股定理，可求 BK= ，AK=，CK= ，利用勾股定理，可求 AC=；解答：解：（1）单位正三角形的高为，面积为 （1 分）（2）平行四边形 ABCD 含有 24 个单位正三角形 （2 分）其面积为（3 分）（3）过点 A 作 AKBC 于 K（如图 1） 在 RtACK 中，AK=，（4 分）类型三：数学思想方法类型三：数学思想方

10、法（一）转化的思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问 题转化为直角三角形问题来解决3、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 边上的点，且 DEDF，若 BE=12，CF=5求线段 EF 的长。 解解：连接 AD因为BAC=90，AB=AC 又因为 AD 为ABC 的中线，所以 AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90 又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF 所以AEDCFD（ASA） 所以 AE=FC=5同理：AF=BE=12在 RtA

11、EF 中，根据勾股定理得：EF2=AE2+AF2=52+122=132, 所以 EF=13。 总结升华总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了 解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一 直角三角形中求解。（二）方程的思想方法（二）方程的思想方法4、如图所示，已知ABC 中，C=90，A=60，求、 的值。 解：在ABC 中，C=90，A=60，B=30。c=2b在 RtABC 中，由勾股定理，得,即222cba2224bba。3ab ，解得 a=3.。333aa323cb，总结升华：总结升华：在直角三角形中，30的锐角

12、的所对的直角边是斜边的一半 。举一反三：举一反三：【变式变式】如图所示，折叠矩形的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EF 的长。 考点：翻折变换（折叠问题） ；矩形的性质。 专题：计算题。 分析：想求得 FC，EF 长，那么就需求出 BF 的长，利用直角三角形 ABF，使用勾股定理 即可求得 BF 长 解答：解：折叠长方形一边 AD，点 D 落在 BC 边的点 F 处， 所以 AF=AD=BC=10 厘米（2 分） 在 RtABF 中，AB=8 厘米，AF=10 厘米， 由勾股定理，得AB2+BF2=AF2 82+BF2=102 BF=6（厘米）FC=106=4（厘米） （4 分）设 EF=x，由折叠可知 DE=EF=x由勾股定理，得 EF2=FC2+EC2x2=42+（8x）2解得 x=5（厘米） 答：FC 和 EF 的长分别为 4 厘米和 5 厘米 （8 分） 点评：翻折中较复杂的计算，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线 段