导数及其应用

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1、雅 QQ1240008362雅资料- 1 -高中数学总复习教学案高中数学总复习教学案第第 4 4 单元单元 导数及其应用导数及其应用一、知识结构知识结构应用二、重点、难点二、重点、难点 教学重点：教学重点：运用导数方法判断函数的单调性和运用导数的几何意义解决曲线的切线方程 问题。 教学难点：教学难点：灵活运用导数知识解决实际问题 三、关注的问题关注的问题 对导数概念的理解不到位，对复合函数求导不准确，对函数单调区间、极值、最值过程 不够熟悉，导致不能灵活解决导数有关问题。 四、高考分析及预测高考分析及预测导数属于新增内容，是高中数学知识的一个重要的交汇点，命题范围非常广泛，为高考 考查函数提供

2、了广阔天地，处于一种特殊的地位，不但一定出大题而相应有小题出现。主 要考查导数有关的概念、计算和应用。利用导数工具研究函数的有关性质，把导数应用于 单调性、极值等传统、常规问题的同时，进一步升华到处理与自然数有关的不等式的证明， 是函数知识和不等式知识的一个结合体，它的解题又融合了转化、分类讨论、函数与方程、 数形结合等数学思想与方法，不但突出了能力的考查，同时也注意了高考重点与热点，这 一切对考查考生的应用能力和创新意识都大有益处。4.1 导数的概念及运算 新课标要求1.了解导数概念的某些实际背景瞬时速度,加速度等),掌握函数在一点处的导数的定义及 其几何意义,理解导函数的概念.2.熟记基本

3、导数公式,掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法 则,会求某些简单复合函数的导数. 重难点聚焦 重点:理解导数的概念及常见函数的导数 难点:理解导数与复合函数的导数.导 数导数几何意义导数的运算法则曲线的切线函数的单调性函数的极值、最值多项式的导数雅 QQ1240008362雅资料- 2 -高考分析及预测 在高考中,常以选择或填空的形式考查导数的概念,及几何意义,也以解答题的形式考查与切 线有关的综合性题目,难度不大. 再现型题组1.函数)(xf的图像是折线段 ABC,其中 A.B.C 的坐标分别为)4 , 6()0 , 2()4 , 0(、,则)0( ff ，xfxfx)

4、 1 ()1 (lim 0 .2. 在高台跳水运动中,t 秒时运动员相对于水面的高度为105 . 69 . 4)(2ttth,则运动员在 1 秒时的瞬时速度为 ,此时运动状态是 3.过 P(-1,2)且与曲线2432xxy在点 M(1,1)处的切线平行的直线方程是 .4.求下列函数的导数 (1)2)(1(2xxxy (2) 12cos(2xy (3) xxysin巩固型题组5.函数)(xfy 的图像在点 M)1 (, 1 (f处的切线方程是221xy,) 1 () 1 (/ff= .6.已知曲线求(1).曲线在 P(1,1)处的切线方程.(2).曲线过点 Q(1,0)的切线方程.(3).满足斜

5、率为-31的切线的方程.提高型题组 7.已知直线 y=kx 与 y=lnx 有公共点,则 k 的最大值为 . 8 在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）的任意21122121)()(),(,xxxfxfxxxx恒成立的是（ ）.A xxf1)( B xxf)( C xxf2)( D 2)(xxf9. 设函数axxxfm)(的导数是12)(/xxf，则数列)()(1*Nnnf 的前 n 项和为（ ）A 1nnB12 nnC 1nnDnn1反馈型题组10.23)(23xaxxf,若, 4) 1(/f则 a= .11.若曲线4xy 的一条切线l与084yx垂直,则l的方程为 雅 QQ124

6、0008362雅资料- 3 -12.曲线xey21 在), 4(2e处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 .13 设,),()(,)()(),()(,sin)(/ 1/ 12/ 010NnxfxfxfxfxfxfxxfnnL则)(2009xf( )A sinx B sinx C cosx D -cosx14.点 P 是曲线xxyln2上任一点，则点 P 到直线2 xy的距离的最小值是 。雅 QQ1240008362雅资料- 4 -4.24.2 函数的单调性与导数函数的单调性与导数新课标要求1.借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系。2.能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式

7、函数的单调区间。重点、难点聚焦1.在确定函数的单调区间时，应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间应是定义 域的子集。2.当求出函数的单调区间（如单调增区间）有多个时，不能把这些区间取并集。3.0)( xf（或0)( xf）是)(xf在某一区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件。高考分析及预测函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，用导数判断函数的单 调性是新课标的要求。在 2008 年的高考中，绝大部分地区都在此考点命题。 ，估计在 2009 年的高考中，仍将是热点，应高度重视。 题组设计再现型题组1.在某个区间（a,b）内，如果0)( xf，那么函数)(xfy 在这

8、个区间内 ；如果0)( xf，那么这个函数)(xfy 在这个区间内 。2.函数6331)(23xxxxf的单调递增区间 单调递减区间 。巩固型题组3.求函数)0()(bxbxxf的单调区间。4.已知函数1)(3axxxf在实数集 R 上单调递增，求a的取值范围。提高型题组雅 QQ1240008362雅资料- 5 -5. 已知函数.93)(23axxxxf（1）求)(xf的单调递减区间；（2）若)(xf在区间2，2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值6.设函数) 1ln() 1()(xaaxxf，其中1a，求)(xf的单调区间。反馈型题组7.下列函数中,在), 0( 上为增函数的是（ ）

9、Axy2sinBxxey Cxxy3Dxxy)1ln(8.函数762)(23xxxf的单调增区间为（ ）A.), 2( B.)0 ,( C.), 2()0 ,(U D. ), 2(),0 ,(9.若函数)(3xxay的递减区间为)33,33(，则a的取值范围是（ ）A.0a B.01a C.1a D.10 a 10以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是 （ ）雅 QQ1240008362雅资料- 6 -A、B、C、D、11.若在区间),(ba内有, 0)( xf且, 0)(af则在),(ba内有（ ）A.0)(xf B.0)(xf C.0)(xf D.不能确

10、定12.已知函数axexxxf 11)(.（1）设0a,讨论1)(xfy的单调性；（2）如对任意) 1 , 0(x恒有1)(xf，求a的取值范围。13. 设函数 32()f xxbxcx xR，已知( )( )( )g xf xfx是奇函数。（）求b、c的值。 （）求( )g x的单调区间与极值。雅 QQ1240008362雅资料- 7 -4.3 函数的极值、最值及优化问题 新课标要求 1、结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2、会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的 多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有

11、效性 3 通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的 作用 重点难点聚焦 1、重点：结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导 数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值以及闭区间上不超过三次的多项式函数最 大值、最小值； 2、难点：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性 命题趋势1、 该节是 2009 年高考考查的热点，主要考查导数在研究函数性质方面的应用，包括 求函数的最值、极值，实际问题中的优化问题等。 2、导数内容和传统内容中有关函数的单调性，方程根的分布，解析几何中的切线问题 等有机结合，设计综合性试题，在这方面多下工夫。

12、题组设计 再现型题组1、函数344xxy在区间2,3上的最小值为（ ）A72 B36 C12 D02、函数()323922yxxxx=-0bx或bx.函数的单调递增区间为),(b和),(b.令, 0)( xf则)(12bxbxx2x 在(，1)上恒成立.因为 x0，所以)(xf在1，2上单调递增，又由于)(xf在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是)(xf在区间2，2上的最大值和最小值于是有 22+a=20，解得 a=2。故293)(23xxxxf因此f（1）=1+392=7，即函数)(xf在区间2，2上的最小值为7。【评析评析】函数的单调性与极值最值结合是高考中的重点.6.解答:由

13、已知得函数( )f x的定义域为( 1,) ，且1( )(1),1axfxax （1）当10a 时，( )0,fx 函数( )f x在( 1,) 上单调递减，（2）当0a 时，由( )0,fx 解得1.xa( )fx、( )f x随x的变化情况如下表雅 QQ1240008362雅资料- 17 -x1( 1,)a1 a1(,)a( )fx0+ ( )f x极小值 从上表可知当1( 1,)xa 时，( )0,fx 函数( )f x在1( 1,)a上单调递减.当1(,)xa时，( )0,fx 函数( )f x在1(,)a上单调递增.综上所述： 当10a 时，函数( )f x在( 1,) 上单调递减.

14、当0a 时，函数( )f x在1( 1,)a上单调递减，函数( )f x在1(,)a上单调递增. 【评析评析】考查应用导求函数的单调性，对常用函数的导数公式一定要熟练掌握。 反馈型题组 7.解答：B 8 解答：D 【评析评析】注意单调区间不要用并集。 9.解答：A【评析】在求函数的单调递减区间时注意对 a 进行分类讨论，且)33,33(是函数单调递减区间的子集。 10.解答：C 【评析】利用数形结合在解决导数与函数的单调性问题上有很重要的作用. 11.解答：A【评析评析】0)( xf是函数)(xf单调递增的充分不必要条件。12.解答：（1）)(xf的定义域为), 1 () 1 , ,(，对)(xf求导得axexaaxxf 22)1 (2)(.当2a时，)(,)1 (2)(22 xfexxxfax在) 1 , 0(),0 ,(和), 1 ( 上均大于 0，所以在), 1 (),1 ,(上为增函数.当20 a时，)(, 0)(xfxf在), 1 (),1 ,(上为增函数.当2a时，. 120a