《第五六章二阶曲线射影理论复习》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五六章二阶曲线射影理论复习（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第五章二阶曲线射影理论复习一、基本概念1. 二阶曲线代数定义：射影坐标为),(321xxx的满足方程)(031,jiij jijiijaaxxa的点的集合称为二阶曲线，其中ija为实数且至少有一个不为0。几何定义：在射影平面上成射影对应的两个线束的对应直线的交点的集合称为二阶曲线。2. 二级曲线代数定义：射影坐标为),(321uuu的满足方程)(031,jiij jijiijbbuub的直线的集合称为二级曲线，其中ijb为实数且至少有一个不为0。几何定义：在射影平面上成射影对应的两个点列的对应点的连线的集合称为二级曲线。3. 极点与极线共轭点 ：给定二阶曲线c 及不在 c 上的点 P，过
2、P 作直线交c 与 M 、N，点 Q 满足（MN ， PQ）=1，则称点 P 与 Q 关于二阶曲线c 调和共轭 ，或 点 Q 与 P 关于 c 互为共轭点 。极点与极线 ： 点 P 关于二阶曲线c 的共轭点的轨迹称为P 关于 c 的极线；而点P 称为此直线的极点。规定：对于二阶曲线上的点的极线为该点的切线。二、重要定理1. 平面上无三点共线的五点唯一确定一条（非退化）二阶曲线。2. 从二阶曲线上任一点向其上四定点连直线，则所得四线的交比是常数。3. 从二阶曲线上任两点向其上动点连直线，则所得两个线束是射影线束。4. 巴斯卡定理：二阶曲线的内接简单六点形的对边交点共线（此线称为巴斯卡线）。布利安
3、桑定理：二级曲线的外切简单六线形的对顶点连线共点（此点称为布利安桑点） 。例 1试证明若两个三点形同时内接于一条二阶曲线，则它们必同时外切于另一条二阶曲线。证明 ：如图所示，考察二阶曲线的内接六点形CBAABC，根据巴斯加定理知2 ACACZCBBCYBAABX,三点共线。考察六点形ACXACY，由ACCAXY,共点，根据布利安桑逆定理知ACXACY外切于一条二阶曲线。对偶若两个三点形同时外切于一条二阶曲线，则它们必同时内接于另一条二阶曲线。例 2 已知： ABC 内接于 O， L、M 和 N 分别为的中点，连接 NM 、 LM 分别交 AB 、BC 于 D、E；I 为ABC 的内心。 求证：
4、D、I、 E 共线。（1965年，全俄数学竞赛）证明：连CN 和 AL ，由题设知CN 与 AL 的交点就是I。考察圆的内接六点形NCBALM ，根据巴斯加定理知，NC 与AL 的交点 I，CB 与 LM 的交点 E，BA 与 MN 的交点 D 三点共线。例 3如图，菱形ABCD 的内切圆O 与各连接分别切于E、F、G、H，在与上分别作圆的切线，交AB 于 M，交 BC 于 N，交 CD 于 P，交 DA 于 Q，求证： MQ / NP 。（全国高中数学联赛，一九九五年）证明一 ：利用例2 的对偶知B、 M、N、P、D、Q 在同一条二阶曲线上，考察MQDPNB ，根据巴斯加定理知BMDPNBQ
5、DPNMQ,共线。因为 QD / NB ，DP / BM ，所以它们的交点是无穷远点，从而 MQ 与 PN 也相交于一个无穷远点，即MQ/PN 。证明二 ：设,XABCDYADBC。考察圆的外切六线形MXPQYN 。根据布利安桑定理知MQ、 XY 、NP 共点。5. 重要推论（1）巴斯卡定理的推论1 布利安桑定理的推论1内接于非退化二阶曲线的四点形两对对外切于非退化二级曲线的四线形两对边的交点及对顶点的切线的交点，四点对顶点的连线及对边的切点的连线，四线 。共点 。XYCBA ABCZBC 、 CA 、 ABCNALBMEDIGEHFADCBMNQPEFGH3 （2）巴斯卡定理的推论2布利安桑
6、定理的推论2 内接于一个非退化二阶曲线的三点形，内接于一个非退化二级曲线的三线形，其每个顶点的切线与对边的交点，三其每条边上的切点与对顶点的连线，三点共线 。线共点 。应用巴斯加定理于AABBCC 即可。应用布利安桑定理于aabbcc 即可。例 4过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A、 B，所作割线交圆于C、D 两点， C 在 PD 之间，在弦CD 上取一点Q，使 DAQ= PBC。求证： DBQ= PAC。（2003 年，全国高中数学联赛）证明 ：如图，延长AQ 交圆于另一点E，延长BQ 交圆于另一点F，设 BE 交 AF 于 M。因为DBE= DAQ= BPC=CDB ，CD/
7、BE 。考察圆的内接四点形AEBF ，根据巴斯加定理关于四点形的结论知P、Q、M 三点共线。但直线 PQ 就是 CD，而 CD/BE，所以 M 是无穷远点，即 BE/AF 。所以 DBQ= ADC= PAC。YDBACXSTabdcABCabcMAPEQBFC D4 6. 配极原则 ：若点 P 的极线过点Q，则 Q 的极线也过P 点。推论 1 两点连线的极点是此二点的极线的交点；两直线交点的极线是此两直线的极点的连线。推论 2 共线点的极线共点； 共点线的极点共线。例 5设一个完全四点形的四个顶点在一个二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。证：如图， Z（CD， XY
8、）=1，即 Z 通过 Y 的两个共轭点，所以ZX 是 Y 的极线 。同理， Y（AD，ZX ） =1，所以 YX 是 Z 的极线 。根据配极原则得，ZY 是 X 的极线 。所以对边三点形的顶点是其对边的极点。定义：若一个三点形的顶点都是其对边的极点，则称此三点形为自极三点形。根据自极三点形的定义知上例中的XYZ 是自极三点形。命题设ABC 是关于 O 的自极三点形，证明：O 是ABC 的垂心 。例 6 设 M 是 O 的切线 PQ 的中点，其中Q 是切点，过M 任作割线交O 与 A、B两点，连PA、PB 分别交 O 于另一点C、D。证明： CD/PQ 。证明如图，设AB 与 CD 的交点为R，
9、则 QR 为 P 的极线。再设QR 与 AC 交于 S，那么（AC，PS）= 1。以 R 为中心，将C、S、A、P 投射到 PQ 上得T、Q、M 、 P，从而有（MT ，PQ） =（AC，PS） = 1。因为 M 是 PQ 的中点，所以T 是 PQ 上的无穷远点。所以CD/PQ 。三、计算题型1. 求二阶曲线1.1 由四点 A、B、C、D 确定的二阶曲线束为0|BCXADXCDXABX。推论 1 过 A、B、C 三点且与过A 的直线 a: a1x1+a2x2+a3x3=0 相切的二阶曲线为0|ACXaBCXABX。推论 2 过 A、 B 且与过 A 的直线 a: a1x1+a2x2+a3x3=
10、0 及过 B 的直线 b: b1x1+b2x2+b3x3=0相切的二阶曲线为0|2abABX。1.2 由二阶曲线S1=0 与 S2=0 的交点确定的二阶曲线束为021SS。YABDCZ XTQPMACDBRS5 例 7 求通过点 （1, 0, 1） 、 （0, 1, 1） 、 （ 0， 1, 1） 、 （ 1, 1, 1） 、 （ 1, 2, 0）的二阶曲线方程。解：设所求二阶曲线为0110110110101111110110101321321321321xxxxxxxxxxxx，即(x1 + x2 x3)( 2x1 + x2 + x3) + 2 x1(x1 x2 x3) = 0 。将（ 1,
11、 2, 0）代入，得4 + 6 = 0 ，即 32。故所求二阶曲线为3(x1 + x2 x3)( 2x1 + x2 + x3) 2x1(x1 x2 x3) = 0 。化简，得01133831212 32 22 1xxxxxxx。例 8 求通过定点（ 1, 0, 1） 、 （ 0，1, 1） 、 （0, 1, 1）且以031xx, 032xx为切线的二阶曲线方程。解：因为A 在031xx上， B 在032xx上，故可设所求曲线为0)()(2 3213231xxxxxxx将 C（0， 1，1）代入，得042。故所求曲线为0)()(22 3213231xxxxxxx化简整理得02 32 22 1xx
12、x。2. 求切线二阶曲线c：)(031,jiij jijiijaaxxaS，即S XAXT = 0 。记T pT pqxxxApppSqqqApppS)()(,)()(321321321321。则二阶曲线c：S=XAXT=0 的过点 P(p 1, p2, p3)的切线方程为SSSppp2。当 P 在 c 上时， Spp=0，故此时的切线方程为Sp = 0 。6 例 9 求二阶曲线032312 32 22 1xxxxx过点) 1,25, 2(P的切线方程 。解：易知P 在曲线上，曲线的系数矩阵为30210202101。故所求切线方程为030210202101)1 252(321xxx，展开，化简
13、，得04103321xxx。3. 求极点和极线一点 P(p1, p2, p3)的关于二阶曲线的极线方程为0)(321332313232212131211321xxxaaaaaaaaappp。例 10 设二阶曲线c：010645632 332312 2212 1xxxxxxxxx，试求点 P(1, 0, 1)关于 c 的极线和直线0321xxx的极点。解：c的系数矩阵为1032353233所以点 P 的极线方程为01032353233)101(321xxxSp即086321xxx。设直线0321xxx的极点为Q),(321qqq，则 Q 的极线与0321xxx表示同一条直线，所以7 )111(1
14、032353233)(321qqq解得0321xxx的极点为（ 96，77，40） 。方法总结：给定二阶曲线0TXAXS，则（1）点),(321pppP的极线方程为0TPAX或坐标PA ；（2）直线),(321wwwW的极点方程为01TUWA或坐标1WA。第六章二阶曲线的仿射理论和度量理论二阶曲线c：31,0jijiijxxaS，记S1 a11x1 + a12x2 + a13x3 ，S2 a12x1 + a22x2 + a23x3，S3 a13x1 + a23x2 + a33x3。1. 基本概念1.1 中心：无穷远直线关于二阶曲线c 的极点称为c 的（对称）中心。1.2 直径：无穷远点关于二阶
15、曲线c 的有穷极线称为c的直径；直径与无穷远直线的交点的极线称为该直径的共轭直径。1.3 渐近线：二阶曲线c 上的无穷远点的有穷切线称为c 的渐近线 。1.4 主轴：二阶曲线的一条直径若平分一组和其垂直的弦，则此直径称为主轴，主轴与二阶曲线的交点称为二阶曲线的顶点。1.5 圆点：共轭复点(1, i, 0) 和 (1, i, 0)称为圆环点，简称为圆点。1.6 迷向直线：过圆点的有穷直线称为迷向直线。1.7 焦点：二阶曲线的迷向切线的有穷交点称为二阶曲线的焦点。1.8 准线：焦点的极线称为准线。2. 重要定理2.1 直径端点处的切线平行于该直径的共轭直径。2.2 直径与共轭直径的对应是一个对合。
16、2.3 渐近线是自共轭直径，即直径与共轭直径的对合中的不变直线。2.4 渐近线调和分离任一对共轭直径。2.5 主轴是渐近线构成的角的平分线，即互相垂直的共轭直径。2.6 迷向直线上任两点间的距离为零；迷向直线与另一直线的夹角不存在。2.7 拉盖尔定理：设两条非迷向直线的夹角为 ，它们与过其交点的迷向直线所成的交8 比为 ，则ln 21i。3. 计算题型对于二阶曲线c：31,0jijiijxxaS，有如下计算公式：（ 1）中心方程组： 0021SS；（ 2）直径与共轭直径直径 l： S1 + S2 = 0，共轭直径l ：S1 + S2 = 0，其中22121211 aaaa；（3）渐近线02011122 2221aaaSS ；（4）主轴（对称轴）0)(01222112 1221aaaaSS 。3.1 求中心与直径例 11 求二次曲线0142
