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1、152 第 14 讲第 5 章 线性系统的频域分析法Frequency-response analysis 5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节对数频率特性曲线的绘制5.3 极坐标图 (Polar plot)，幅相频率特性曲线，奈奎斯特曲线5.3.1 积分与微分因子5.3.2 一阶因子5.3.3 二阶因子5.3.4 传递延迟5.4 对数幅 -相图(Nichols Chart)尼柯尔斯图5.5 奈奎斯特稳定判据 (Nyquist Stability Criterion) 5.5.1预备知识5.5.2影射定理5.5.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用5.5.4奈奎斯特稳定判据5.5.5关
2、于奈奎斯特稳定判据的几点说明5.5.6)()(sHsG含有位于j上极点和 /或零点的特殊情况5.6稳定性分析*5.6.1 条件稳定系统*5.6.2 多回路系统*5.6.3 应用于逆极坐标图上的奈奎斯特稳定判据*5.6.4 利用改变的奈奎斯特轨迹分析相对稳定性5.7相对稳定性5.7.1 通过保角变换进行相对稳定性分析5.7.2 相位裕度和增益裕度例 5-8 一单位反馈控制系统的开环传递函数为) 1)(1()(322 21sTsTsTTKsG式中312,TTTK和均为正值。为使系统稳定，开环增益K与时间常数312,TTT和之间满足什么关系？解 ： )1(1)()(322 21jTjTjTTKjG1
3、53 1)()()(322 32213 321jTTjTTTTjTTTKjTTTTTTTTK)()(12 321322 312222 3213222 3122 321322 312)()(1)()(1TTTTTTTTjTTTTTTTTK此式太复杂利用上式直接令虚部为零即可。02 32132TTTTT 32132TTTTT c虚部为零与负实轴相交于31232 3122 312)(1)(1)(TTTTTTTTKTTTKjGcc)(2 32 222 21)(1)()1()(je TTTTKjG32 2121)(arctgT TTTarctg0)0(jKjG00)(jjG画出一半利用对称性画出另一半。
4、1)(1 31232 312TTTTTTTTK1)( 3132 31KTTTTTT2, 3,2,1321KTTT8,3,2, 1321KTTT154 -2-1012345678-6-4-20246Real AxisImagAxis-2-1012345678-6-4-20246Real AxisImagAxis155 图 5-45b 例 5-8 题的极坐标图ReIm01平面G大时K小时K图 5-46 )1() 1)(1()()1()1)(1()(2121 jTjTjTjjTjTjTKjGnmmn的极坐标图图-46 所示为 3 种具有不同开环增益值的)( jG极坐标图。对于大的 K 值，系统是不稳
5、定的。当增益减小到一定值时，)( jG的轨迹通过01j点。对于小的 K 值，系统是稳定的。一般来说，)( jG的轨迹越接近与包围 -1+j001j点，系统响应的震荡性越大。因此，)( jG的轨迹对01j点的靠近程度，可以用来度量稳定裕量 (对条件稳定系统不适用 )。 在实际系统中常用相位裕量和增益裕量表示。156 64LogLogLogLog90270180Positive Gain MarginPositive Phase MarginNegative Gain MarginNegative Phase Margin Stable SystemUnstable System0dB902701
6、800dB图 5-47 稳定系统和不稳定系统的相位裕度和幅值裕度相位裕度、相角裕度 (Phase Margin)设系统的截止频率 (Gain cross-over frequency) 为c1)()()(cccjHjGjA定义相角裕度为)()(180ccjHjG相角裕度的含义是，对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后度，则ReImh1PlaneGPositive Gain Margin Positive Phase Margin -1 1 ReImh1Negative Gain Margin Negative Phase Margin -1 1 Stable System Unstable
7、System )( jG)( jGPlaneG157 系统将变为临界稳定。当0时，相位裕量相位裕度为正值；当0时，相位裕度为负值。为了使最小相位系统稳定，相位裕度必须为正。在极坐标图上的临界点为0 分贝和-180度。180增益裕度、幅值裕度 (Gain Margin)h设系统的穿越频率 (Phase cross-over frequency) )12()()()(kjHjGxxx，, 1, 0k定义幅值裕度为)()(1xxjHjGh幅值裕度h的含义是，对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。若以分贝表示，则有)()(log20)(xxjHjGdBh当增益裕度
8、以分贝表示时，如果1h，则0)(dBh增益裕度为正值；如果1h，则0)(dBh增益裕度为负值。正增益裕度(以分贝表示 )表示系统是稳定的；负增益裕度 (以分贝表示 )表示系统是不稳定的。对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前，增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系统稳定，增益应当较少多少。一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果计及这些小的滞后，则所谓的一阶
9、或二阶系统可能是不稳定的。5.7.3 关于相位裕度和增益裕度的几点说明控制系统的相位裕度和增益裕度是系统的极坐标图对-1+j0 点靠近程度的度量。因此，这两个裕度可以用来作为涉及准则。只用增益裕度和相位裕度，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。对于最小相位系统，只有当相位裕度和增益裕度都是正值时，系统才158 是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。适当的相位裕度和增益裕度可以防止系统中元件变化造成的影响，并且指明了频率值。为了得到满意的性能，相位裕度应当在6030 与之间，增益裕度应当大于6 分贝。例 5-9 已知一单位反馈系统的开环传递函数为 )05.
10、01)(2.01()(sssKsG。试求：K=1 时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K 的调整，使系统的增益裕度20logh=20dB，相位裕度40。解：1 8 0)()()(xxxjHjG1)()(ccjHjG18005.02.090)(xxxarctgarctg即9005.02.0xxarctgarctg 2121 211)(tgtgtgtgtgxxxx 05.02.0105.02.0005.02 .01xx10x在x处的开环对数幅值为)()(log20)(xxjHjGdBh)05.01)(2 .01(1log20 xxxjjj22)1005. 0(1log20)102.0(1log
11、2010log20dB281720根据 K=1 时的开环传递函数， 可以求出截止频率 (Gain cross-over frequency)为c1)()(ccjHjG)05.01)(2.01 (1)(ccccjjjjG1 )0025.01)(04.01 (122 ccc1c10405.02.090)(cccarctgarctg76104180)(180c由题意知10h1.0)(xjG1.0 )0025.01)(04.01 (22 xxxK5.225.0141101 .0K验证是否满足相位裕度的要求。159 根据40的要求，则得：1404018005.02.090)(cccarctgarctg5
12、005.02 .0ccarctgarctg2.105.02.0105.02 .0cccc4c1 )0025.01)(04.01(22 cccK2.502.128.14K不难看出，5 .2K就能同时满足相位裕度和增益裕度的要求。Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-100-80-60-40-20020100 101 102-270-225-180-135-90160 Bode DiagramFrequency (rad/sec)Phase(deg)Magnitude(dB)-40-30-20-1001020100 101-2
13、25-180-135-90图 5-48 例 5-9 的幅值裕度和相位裕度示意图例 5-10 已知一单位反馈系统的开环对数幅频特性如图5-49 所示（最小相位系统） 。试求：所示所示单位反馈系统已知已知已知已知例 5-11 设一单位反馈系统对数幅频特性如图5-50 所示(最小相位系统 )。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性如果系统是稳定的， 则求ttr)(时的稳态误差。161 10-3 10-2 10-1 100 101 102-40-20020406080图 5-50 最小相位系统的开环对数幅频特性解：由图得)51)(01.01 ()1 .01( )(jjjjK jG1lg20)51(1l
14、g20)01.01(1lg20)1 .01(1lg20lg20222K1 110010K10K )2.01)(1001 ()101 (10)( sssssG由于是最小相位系统， 因而可通过计算相位裕度是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知1c。在c处4.1065101.011 .0190)(arctgarctgarctgc则得6.73)(180c0 系统稳定单位斜坡输入时，系统的稳态误差为1.01011vssKe162 5.7.4 谐振峰值幅值和谐振峰值频率22 22 )2()1(1)(nnjG (5-22) 令22 22 )2()1 ()(nng (5-23) 012)2(2)2)(1(2)
15、(222nnnngdtd(5-24)或)1(4)21()(2222222nng (5-25) 221n， 220时)(g有最小值)( jG有最大值，这个最大值称为谐振峰值，用rM表示。707.0220 1212rM (5-26) 221nr谐振频率r5.7.5 标准二阶系统中阶跃瞬态响应与频率响应之间的关系书上例 5-13p203 S(S+2n)n2R(s)C(s)图3-8 标准形式的二阶系统方块图_在图 3-8 所示的标准二阶系统中，单位阶跃响应中的最大超调量可以精确地与频率响应中的谐振峰值联系在一起。因此，从本质上看，在频率响应中包含的系统动态特性信息与在瞬态响应中包含的系统的动态特性信息
16、是相同的。)2()(2nn sssG)2()(2nnjjjG163 设为截止频率，则有1 4)(2222nccn cjG22224nncc422244ncnc24)4(4422222 2nnn c)214(2422 nc24214(ncnarctg290)(根据相位裕度的定义nc carctg290180)(18022149024 arctg 242142arctg上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。00.20.40.60.811.21.41.61.820102030405060708090164 图 5-51 标准二阶系统的相位裕度与阻尼比之间的关系相位裕度与阻尼比直接相关。图5-51 表示了相位裕度与阻尼比的函数关系。对于标准二阶系统，当时，相位裕度与阻尼比之间的关系近似地用直线表示如下：100因此，相位裕度相当于阻尼比。对于具有一对主导极点的高阶系统，当根据频率响应估计瞬态响应中的相对稳定性（即阻尼比）时，根据经验，可以应用这个公式。221nr21nd对于小的阻尼比， 谐振频率与阻尼自然
