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1、 精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 66 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 1 页 共 6 页3.1 任意角三角函数任意角三角函数 错误错误解解题题分析分析一、知识导学一、知识导学1、角：角可以看成由一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的几何图形。角的三要素是：顶点、始边、终边。角可以任意大小，按旋转的方向分类有正角、负角、零角。2、弧度制：任一已知角的弧度数的绝对值，其中 是以作为圆心角时所对圆rll弧的长，为圆的半径。规定：正角的弧度数为正数，负角
2、的弧度数为负数，零角的弧度r数为零。用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。3、弧度与角度的换算：；1rad2360 orad1745. 01801o。用弧度为单位表示角的大小时，弧度（rad）可以省略不写。度oo 30.57180 rad不可省略。o4、弧长公式、扇形面积公式：,其中 为弧长，为圆的半, rl2|21 21rlrS扇形lr径。圆的周长、面积公式是弧长公式和扇形面积公式中当时的情形。25、任意角的三角函数定义：设是一个任意大小的角，角终边上任意一点 P 的坐标是，它与原点的距离是，那么角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割yx,)0( rr分别是。这六个函数统yr xr yx
3、 xy rx rycsc,sec,cot,tan,cos,sin称为三角函数。6、三角函数的定义域三角函数定义域xysinRxycosRxytan Zkkxx,2精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 66 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 2 页 共 6 页xycotZkkxx,xysec Zkkxx,2xycscZkkxx,7、三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值）可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正。二、疑难
4、知识导析二、疑难知识导析1、在直角坐标系内讨论角（1）角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就称这个角是第几x象限角（或说这个角属于第几象限）。它的前提是“角的顶点为原点，角的始边为轴的x非负半轴。否则不能如此判断某角为第几象限。若角的终边落在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限。（2）与角终边相同的角的集合表示。，其中为任意角。终边相同的角不一定相等，相等的角终边Zkk,360o一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差整数倍。o3602、值得注意的几种范围角的表示法“0 间的角”指；“第一象限角”可表示为oo90oo900；“小于 90 的角”可表示为。Zkkk,90360
5、360ooooo903、在弧度的定义中与所取圆的半径无关，仅与角的大小有关。rl4、确定三角函数的定义域时，主要应抓住分母为零时比值无意义这一关键。当终边在坐标轴上时点 P 坐标中必有一个为 0。5、根据三角函数的定义可知：（1）一个角的三角函数值只与这个角的终边位置有关，即角与的同名三角函数值相等；（2），故有)(360Zkkoryrx ,，这是三角函数中最基本的一组不等关系。1sin, 1cos6、在计算或化简三角函数关系式时，常常需要对角的范围以及相应三角函数值的正负情况精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 6
6、6 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 3 页 共 6 页进行讨论。因此，在解答此类问题时要注意：（1）角的范围是什么？（2）对应角的三角函数值是正还是负？（3）与此相关的定义、性质或公式有哪些？三、经典例题导讲三、经典例题导讲 例例 11 若 A、B、C 是的三个内角，且，则下列结论中正确的个数ABC) 2(CCBA是（ ） CAsinsinCAcotcotCAtantanCAcoscosA、1 B、2 C、3 D、4【错解错解】 ，故选 BCA QCAsinsinCAtantan【错因错因】三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位
7、导致应用错误【正解正解】法 1在中，在大角对大边，CA QABCACacsinsin,Q法 2 考虑特殊情形，A 为锐角，C 为钝角，故排除 B、C、D，所以选 A 。 例例 22已知角的终边关于轴对称，则与的关系为 。,y【错解错解】角的终边关于轴对称，+，（,y22k2) zk 【错因错因】把关于轴对称片认为关于轴的正半轴对称。yy【正解正解】角的终边关于轴对称,y 即)( ,22Zkk)( ,2zkk【说明说明】（1）若角的终边关于轴对称，则与的关系为,x)( ,2Zkk（2）若角的终边关于原点轴对称，则与的关系为,)( ,) 12(Zkk（3）若角的终边在同一条直线上，则与的关系为,)
8、( ,Zkk 例例 33 已知 ，试确定的象限。54 2cos,53 2sin【错解错解】，是第二象限角，即054 2cos, 053 2sin 2.,222zkkk从而.,244zkkk精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 66 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 4 页 共 6 页故是第三象限角或第四象限角或是终边在轴负半轴上的角。y【错因错因】导出是第二象限角是正确的，由即可确定，2054 2cos, 053 2sin而题中不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，
9、通过其值可进54 2cos,53 2sin一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间。2 2【正解正解】，是第二象限角，054 2cos, 053 2sin 2又由知43sin22 53 2sinzkkk,22432，故是第四象限角。zkkk,24234 例例 44已知角的终边经过，求的值。)0)(3 ,4(aaaPcot,tan,cos,sin【错解错解】ayxrayax5,3,422Q34 34cot,43 43tan,54 54cos,53 53sinaa aa aa aa【错因错因】在求得的过程中误认为0ra【正解正解】若，则，且角在第二象限0aar534 34cot,43 43tan,5
10、4 54cos,53 53sinaa aa aa aa若，则，且角在第四象限0aar534 34cot,43 43tan,54 54cos,53 53sinaa aa aa aa【 【说说明明】 】（ （1） ）给给出角的出角的终边终边上一点的坐上一点的坐标标，求角的某个三解函数，求角的某个三解函数值值常用定常用定义义求解；（求解；（2）本）本题题由于由于所所给给字母字母的符号不确定，故要的符号不确定，故要对对的正的正负进负进行行讨论讨论。 。aa 例例 55（1）已知为第三象限角，则是第 象限角，是第 象限角；22（2）若，则是第 象限角。4解解：（1）是第三象限角，即QZkkk,2322，
11、Zkkk,43 22Zkkk,34224当为偶数时，为第二象限角k2精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 66 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 5 页 共 6 页当为奇数时，为第四象限角k2而的终边落在第一、二象限或轴的非负半轴上。2y（2）因为，所以为第二象限角。423【 【点点评评】 】为为第一、二象限角第一、二象限角时时， ，为为第一、三象限角，第一、三象限角，为为第三、四象限角第三、四象限角时时， ，为为第二、第二、22四象限角，但是它四象限角，但是它们们在
12、以象限角平分在以象限角平分线为线为界的不同区域。界的不同区域。 例例 66一扇形的周长为 20，当扇形的圆心角等于多少时，这个扇形的面积最大？最cm大面积是多少？解解：设扇形的半径为，则扇形的弧长rcmcmrl)220(扇形的面积25)5()220(212rrrS所以当时，即时。cmr52,10rlcml2 max25cmS【 【点点评评】 】涉及到最大（小）涉及到最大（小）值问题时值问题时，通常先建立函数关系，再，通常先建立函数关系，再应应用函数求最用函数求最值值的方法确定最的方法确定最值值的条件及相的条件及相应应的最的最值值。 。 例例 77已知是第三象限角，化简。 sin1sin1 si
13、n1sin1 解解：原式 2222sin1)sin1 ( sin1)sin1 ( cossin2 cossin1sin1又是第三象限角，0cos所以，原式。tan2cossin2【 【点点评评】 】三角函数化三角函数化简简一般要求是：（一般要求是：（1）尽可能不含分母；（）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根式；（）尽可能不含根式；（3）尽可能使三）尽可能使三角函数名称最少；（角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的）尽可能求出三角函数式的值值。本。本题题的关健是如何的关健是如何应应用基本关系式脱去用基本关系式脱去根式，根式，进进行化行化简简。 。 例例 88 若角满足条件，则在第（ ）象限
14、0sincos, 02sinA、一 B、二 C、三 D、四解解：角在第二象限。故选 B。 0cos0sin sincos0cossin 0sincos02sin例 9 已知，且。coscos0tan精品系列资料精品系列资料 传播先进教育理念传播先进教育理念 提供最佳教学方法提供最佳教学方法联系地址：郑州市经五路 66 号河南电子音像出版社有限公司 邮编 450002 电话 400-688-1789第 6 页 共 6 页（1）试判断的符号；)cos(sin)sin(cos （2）试判断的符号。)coslg(sin解解：（1）由题意，0cos10sin1，所以。0)cos(sin, 0)sin(c
