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1、 -253- 第二十一章第二十一章 目标规划目标规划 1 引言 1线性规划的局限性 只能解决一组线性约束条件下，某一目标只能是一个目标的最大或最小值的问题。 2实际决策中，衡量方案优劣考虑多个目标 这些目标中，有主要的，也有次要的；有最大值的，也有最小值的；有定量的， 也有定性的；有相互补充的，也有相互对立的，LP 则无能为力。 3目标规划（Goal Programming） 美国经济学家查恩斯（A. Charnes）和库柏（W. W. Cooper）在 1961 年出版的管 理模型及线性规划的工业应用一书中，首先提出的。 4求解思路 （1）加权系数法 为每一目标赋一个权系数，把多目标模型转化
2、成单一目标的模型。但困难是要确 定合理的权系数，以反映不同目标之间的重要程度。 （2）优先等级法 将各目标按其重要程度不同的优先等级，转化为单目标模型。 （3）有效解法 寻求能够照顾到各个目标， 并使决策者感到满意的解。 由决策者来确定选取哪一个 解，即得到一个满意解。但有效解的数目太多而难以将其一一求出。 2 目标规划的数学模型 为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别， 先通过例子来介绍 目标规划的有关概念及数学模型。 例1 某工厂生产 I，II 两种产品，已知有关数据见下表 I II 拥有量 原材料 kg 2 1 11 设 备 hr 1 2 10 利润 元/件 8 10 试
3、求获利最大的生产方案。 解 这是一个单目标的规划问题，用线性规划模型表述为： 21108maxxxz+= +0,102112212121xxxxxx最优决策方案为：62, 3, 4* 2* 1=zxx元。 但实际上工厂在作决策方案时，要考虑市场等一系列其它条件。如 （i）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势，故考虑产品 I 的产量不大于 产品 II。 （ii）超过计划供应的原材料，需要高价采购，这就使成本增加。 （iii）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。 -254- （iv）应尽可能达到并超过计划利润指标 56 元。 这样在考虑产品决策时， 便为多目标决策问题。 目标规划方法是解决
4、这类决策问题 的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。 1. 正、负偏差变量 设d为决策变量的函数，正偏差变量0 ,max0ddd=+表示决策值超过目标值的部分， 负偏差变量0 ,min0ddd=表示决策值未达到目标值的部分， 这里0d表示d的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有 0=+dd。 2. 绝对（刚性）约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束； 如线性规划问题的所有约束 条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标 规划特有的， 可把约束右端项看作要追求的目标值。 在达到此目标值时允许发生正或
5、负 偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函 数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将 绝对约束变换为目标约束。如：例 1 的目标函数21108xxz+=可变换为目标约束561081121=+ddxx。 绝 对 约 束11221+ xx可 变 换 为 目 标 约 束1122221=+ddxx。 3. 优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题常常有若干目标。 但决策者在要求达到这些目标时， 是有主次或轻重 缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子1P，次位的目标赋于优先因子 L,2P，并规定qkPPkk, 2 , 1
6、,1L=+。表示kP比1+kP有更大的优先权。以此类推，若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别， 这时可分别赋于它们不同的权系数jw，这些都由决策者按具体情况而定。 4. 目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的 优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因此目标规划的目标函数只能是),(min+=ddfz。其基本形式有三种： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 )(min+=ddfz （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小， 这时 )(min+=d
7、fz （3）要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，这时 )(min=dfz 对每一个具体目标规划问题， 可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目标 函数，以下用例子说明。 例 2 例 1 的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品 II 的产 量不低于产品 I 的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于 56 元。求决策方案。 解 按决策者所要求的，分别赋于这三个目标321,PPP优先因子。这问题的数学-255- 模型是 +3322211)(mindPddPdP =+=+=+. 3 , 2 , 1, 0,5610810201122
8、133212221112121iddxxddxxddxxddxxxxii5目标规划的一般数学模型 设jx（nj, 2 , 1L=）是目标规划的决策变量，共有m个约束是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。设有l个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差为+ iidd ,（li, 2 , 1L=） 。设有q个优先级别，分别为qPPP,21L。在同一个优先级kP中，有不同的权重，分别记为), 2 , 1(,ljwwkjkjL=+。因此目标规划模型的一般数学表达式为 += =+=ljjkjjkjqkkdwdwPz11min =+=+=+=liddnjxligddxcmibxaiijnjiiijij
9、njijij, 2 , 1, 0, 2 , 1, 0, 2 , 1, 1,),(11LLLL建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一 定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。 3 求解目标规划的序贯式算法 序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序， 将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。 求解目标规划的序贯算法 对于qk, 2 , 1L=，求解单目标规划 =+=ljjkjjkjdwdwz1)(min （1） s.t. =njijijmibxa1, 1,),(L （2） =+=+njiiijijligddxc
10、1, 2 , 1,L （3） -256- *1)(sljjsjjsjzdwdw+ =+，1, 2 , 1=ksL， （4） njxj, 2 , 1, 0L= （5） liddii, 2 , 1, 0,L=+（6） 其最优目标值为* kz，当1=k时，约束（4）为空约束。当qk =时，* qz所对应的解*x为目标规划的最优解。 注 此时最优解的概念与线性规划最优解的概念已有所不同，但为方便起见，仍 称为最优解。 例 3 某企业生产甲、乙两种产品，需要用到CBA,三种设备，关于产品的赢利 与使用设备的工时及限制如下表所示。问该企业应如何安排生产，才能达到下列目标： 甲 乙 设备的生产能力（h） A
11、(h/件) 2 2 12 B(h/件) 4 0 16 C(h/件) 0 5 15 赢利（元/件） 200 300 （1）力求使利润指标不低于 1500 元； （2）考虑到市场需求，甲、乙两种产品的产量比应尽量保持 1:2； （3）设备A为贵重设备，严格禁止超时使用； （4） 设备C可以适当加班， 但要控制； 设备B既要求充分利用， 又尽可能不加班。 在重要性上，设备B是设备C的 3 倍。 建立相应的目标规划模型并求解。 解 设备A是刚性约束，其余是柔性约束。首先，最重要的指标是企业的利润， 因此，将它的优先级列为第一级；其次，甲、乙两种产品的产量保持 1:2 的比例，列为 第二级； 再次， 设
12、备BC,的工作时间要有所控制， 列为第三级。 在第三级中， 设备B的重要性是设备C的三倍，因此，它们的权重不一样，设备B前的系数是设备C前系数 的 3 倍。由此得到相应的目标规划模型。 )33()(min433322211+=dddPddPdPz （7） s.t. 122221+xx （8） 15003002001121=+ddxx （9） 022221=+ddxx （10） 164331=+ddx （11） 155442=+ddx （12） 0,21+ iiddxx，4 , 3 , 2 , 1=i （13） 序贯算法中每个单目标问题都是一个线性规划问题，可以使用 LINGO 软件进行求 解。
13、 求第一级目标。LINGO 程序如下： model: sets: variable/1.2/:x; -257- S_Con_Num/1.4/:g,dplus,dminus; S_con(S_Con_Num,Variable):c; endsets data: g=1500 0 16 15; c=200 300 2 -1 4 0 0 5; enddata min=dminus(1); 2*x(1)+2*x(2)j，0 0j，并且其最优目标值1 0=jV，则称决策单元0j是DEA有效的。 从上述定义可以看出，所谓DEA有效，就是指那些决策单元，它们的投入产出比 达到最大。因此，我们可以用DEA来对决策单元进行评价。 -268- （3）C2R模型的求解 从上面的模型可以看到，求解C2R模型，需要求解若干个线性规划，这一点可以用 LINGO软件完成。 例10（续例9
