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1、20142014 年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编年全国高考试卷平面几何与推理证明部分汇编1.（2014 安徽理安徽理 21） 设实数，整数，0c 1p nN证明：当且时，；1x 0x(1)1pxpx 数列满足，证明： na11pac1 11p nnnpcaaapp 11p nnaac【解析】 证明：用数学归纳法证明： 当时，原不等式成立2p 22(1)1212xxxx 假设时，不等式成立(2*)pk kkN，(1)1kxkx 当时，1pk12(1)(1)(1)(1)(1)1(1)1(1)kkxxxxkxkxkxkx 所以时，原不等式也成立1pk综合可得，当，对一切整数，不等式均成立1
2、0xx ，1p (1)1pxpx 证法一：先用数学归纳法证明1 p nac当时，由题设知成立1n 11pac1 p nac假设时，不等式成立(1*)nk kkN，1 p nac由易知1 11p nnnpcaaapp 0*nanN，当时，1nk11111pk kp kkapccaappp a 当得1 0p kac11110p kc pp a 由中的结论得11111ppk p kkacpap a 11pp kkcc p aa因此，即1p kac11p kac所以时，不等式也成立1nk1 r nac综合可得，对一切正整数 ，不等式均成立n1 p nac再由可得，即1111n p nnac ap a
3、11nna a1nnaa综上所述，11p nnaac*nN证法二：设，则，1 11( )pppcf xxxxcpp，pxc并且，11( )(1)10p ppcpcfxp xpppx 1 pxc由此可得，在上单调递增( )f x1 pc ，因而，当时，1 pxc11 ( )()ppf xf cc当时，由，即可知1n 110pac1pac，并且，从而1 21111 11111p ppccaaaaappp a121()paf ac112paac故当时，不等式成立1n 11p nnaac假设时，不等式成立，(1*)nk kkN，11p kkaac则当时，即有所1nk11()()()p kkf af a
4、f c112p kkaac以时，原不等式也成立1nk综合可得，对一切正整数 ，不等式均成立n11p nnaac2.（2014 安徽文安徽文 12） 如图，在等腰直角三角形中，斜边，过点作的垂线，垂足为；过点ABC2 2BC ABC1A作的垂线，垂足为；过点作的垂线，垂足为；，依此类推，设，1AAC2A2A1AC3A1BAa则_12123567AAaA AaA Aa， ，7a A1A4A3A2第（12）题图ABC【解析】1 4由得，由此可归纳出是2 2BC 112123222212ABaAAaA Aana以为首项，为公比的等比数列，因此12a 2 266 7121224aaq3.（2014 广东
5、理广东理 15） 如图，在平行四边形中，点在上且，与交于点，则ABCDEAB2EBAEACDEF_CDF AEF的面积 的面积=图 3FEDCBA【解析】9 由，面积之比为对应边的平方比，所以为CDFAEF3AECD9 4.（2014 广东文广东文 15）如图，在平行四边形中，点在上且与交于点，则ABCDEAB2EBAEACDEF_CDF AEF的周长 的周长图 3FEDCBA【解析】3 5.（2014 湖北理湖北理 15） 如图，为外一点，过点作的两条切线，切点分别为，过的中点作POPOA B，PAQ割线交于两点，若则OCD，13QCCD，_PB C第15题图A QDBPO【解析】4 由切割
6、线定理得，21 (13)4QAQC QD 2QA 为的中点，故QPA24PAQA4PBPA6.（2014 湖南理湖南理 12） 如图，已知，是的两条弦，则的半径等ABBCOeAOBC3AB 2 2BC Oe 于_OCBA图3【解析】3 2 设线段交于点延长交圆与另外一点，则，由三角形的AOBCDAOE2BDDCABD勾股定理可得，由双割线定理可得，则直径1AD 2BD DCAD DEDE，故填332AEr3 2 7.（2014 江苏理江苏理 21A） 如图，是圆的直径，是圆上位于异侧的两点，证明：ABOCD、OABOCBD 【解析】，又，OCOBOCBB BD OCBD 8.（2014 江苏理
7、江苏理 23）已知函数，设为的导数，0sin( )(0)xfxxx( )nfx1( )nfx*nN求的值122( )( )222ff证明：对任意，等式都成立*nN12( )( )4442nnnff【解析】 ,两边求导得0( )sinxfxx01( )( )cosfxxf xx两边再同时求导得 (*)122( )( )sinf xxfxx 将代入(*)式得 2x 122( )( )1222ff 下证命题：，恒成立1sin ,4cos ,41( )( )sin ,42cos ,43nnxnkxnknfxxfxx nkx nk *kN当时，成立0n 0( )sinxfxx当时，由(1)知成立1n 1
8、0( )( )cosxf xfxx当时，由(1)知成立2n 21( )2( )sinxfxf xx 当时，上式两边求导，即3n 322( )( )2( )cosxfxfxfxx 32( )3( )cosxfxfxx 假设当时命题成立，下面证明当时命题也成立nm(3)m1nm若，则，14mk *kN41mk*kN由两边同时求导得1( )( )cosmmmfxxfxx 1( )( )( )sinmmmxfxfxmfxx即，命题成立1(1)( )( )sinmmmfxxfxx同理，若，则，141mk *kN4mk*kN由两边同时求导得，命题成立1( )( )sinmmmfxxfxx1(1)( )(
9、)cosmmmfxxfxx若，则，142mk *kN41mk*kN由两边同时求导得，命题成立1( )( )cosmmmfxxfxx1(1)( )( )sinmmmfxxfxx 若，则，143mk *kN42mk*kN由两边同时求导得，命题成立1( )( )sinmmmfxxfxx 1(1)( )( )cosmmmfxxfxx 综上所述，命题对恒成立*n N代入得， 4x 12( )( )4442nnnff 两边同时取绝对值得12( )( )4442nnnff9.（2014 辽宁理辽宁理 22 文文 22） 如图，交圆于两点切圆于为上一点且连接并延长EPEC，PDDG，CEPGPDDG 交圆于点
10、作弦垂直垂足为AABEPF 求证：为圆的直径；AB 若，求证：ACBDABEDEPGFDCBA【解析】 因为，所以PDPGPDGPGD 由于为切线，故PDPDADBA 又由于,故PGDEGA DBAEGA 所以，DBABADEGABAD 从而BDAPFA 由于所以于是AFEP90PFA故是直径90BDAAB 连接BCDC.由于是直径，故AB90BDAACB 在与中，RtBDARtACB,ABBAACBD从而于是RtBDARtACB.DABCBA .又因为所以故，DCBDAB DCBCBA /DCAB由于所以为直角，ABEPDCEPDCE于是为直径，由得EDEDAB10. （2014 陕西理陕西
11、理 15B 文文 15B） 如图，中，以为直径的半圆分别交，于点，若ABC6BC BCABACEF ，则_2ACAEEF CBF EAEPGFDCBA【解析】3 四边形内接于圆，又为公共角，BCFEAEFACB A，又EFAEAEFACBBCAC62BCACAE，3EF 11. （2014 天津理天津理 6 文文 7） 如图是圆的内接三角形，的平分线交圆于点，交于点，过点的圆的ABCBACDBCEB 切线与的延长线交于点在上述条件下，给出下列四个结论：平分；ADFBDCBF；则所有正确结论的序号是（2FBFD FAAE CEBE DEAF BDAB BF ）FDCEBA(第6题图)ABCD【解
12、析】D 由平分知，由弦切角以及圆周角关系可知：ADBAC,BADCAD BDCD ，因此正确；FBDBADDBCDACBADDACFBDDBC 由切割线定理可直接得出正确；易证不正确；AEBEACEBDECEDE在和中，QABFBDFFBDBADBFDBFA ,，正确故选 DAFABABFBDFBFBDAF BDAB BF12. （2014 新课标新课标 1 理理 22 文文 22） 如图，四边形是的内接四边形，的延长线与的延长线交于点，且ABCDOeABDCE CBCEMEDCBAO证明：；DE 设不是的直径，的中点为，且，证明：为等边三角形ADOeADMMBMCADE【解析】 由题设得，四
13、点共圆，所以ABCDDCBE 由已知得，所以；CBEE DE 设中点为，连接，则由，知，BCNMNMBMCMNBC所以在直线上，又不是的直径，为OMNADOeMNMEDCBAO中点，故，ADOMAD即所以，故MNADADBCACBE 又，故由（1）知CBEE AE DE 所以为等边三角形ADE13. （2014 新课标新课标 2 理理 22 文文 22） 如图，是外一点，是切线，为切点，割线与POePAAPBC 相交于点，为的中点，的延长线Oe2BCPCPA，DPCAD 交于点证明：OeE；BEEC22AD DEPB【解析】 连接由题设知，故ABAC，PAPDPADPDA 因为，PDADACDCA ，PADBADPAB ，DCAPAB 所以，从而DACBAD BEEC因此BEEC 由切割线定理得2PAPB PC因为，所以PAPDDC2DCPBBDPB，由相交弦定理得，AD DEBD DC所以22AD DEPB14. （2014 重庆理重
