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1、 第六讲内容 力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提 升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图 31所示， 在板手的 A 点施加一力F，将使板手和螺母一起绕螺钉中心 O 转动，这就 是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动 效果不仅与力F 的大小有关，而且还与点 O 到力作用线的垂直距离 d有关。 当 d保持不变时，力F 越大，转动越快。当力F 不变时，d值越大，转动 也越快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此， 我们用F 与 d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕
2、O 点转动的 效应，并称为力F 对 O 点之矩，简称力矩，以符号 M O （F）表示，即（31） d F F M ) ( O O 点称为转动中心，简称矩心。矩心 O 到力作用线的垂直距离 d称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向 转动时，力矩为正，反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值， 因此，力矩可视为代数量。 由图 32可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量 为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即（32） 面积 OAB 2 ) ( O F M 图 3-1显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作 用线通过矩心
3、，即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿米（Nm）或千牛顿米（kNm） 【例31】 分别计算图33所示的F 1 、F 2 对O点的力矩。 【解】：由式（31） ，有 m kN 45 5 . 1 30 ) ( m kN 5 30 sin 1 10 ) ( 2 2 2 O 1 1 1 O d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R 来代替。 这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效 应由力对该点之矩来度量，因此，平面汇交力系的合力对平面内任一点之 矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十 分广泛
4、的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。 证明：如图 34所示，设在物体上的 A 点作用有两个汇交的力F 1 和 F 2 ，该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点 O 为矩心，过 O 点并 垂直于 OA 作为 y轴。从各力矢的末端向 y轴作垂线，令 Y 1 、Y 2 和 R y 分别 表示力F 1 、F 2 和R 在 y轴上的投影。由图 34可见 ob ob ob y 2 2 1 1 R Y Y 各力对 O 点之矩分别为 (a) OA OA O AOB 2 ) ( OA OA O AOB 2 ) ( OA OA O AOB 2 ) ( y O 2 2 2 2 O 1 1 1 1 O
5、 R b M Y b M Y b M R F F 根据合力矩定理有 2 1 y Y Y R 上式两边同乘以 OA 得 OA OA OA 2 1 y Y Y R 将（a）式代入得 ) ( ) ( ) ( 2 O 1 O O F M F M M R 以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为（33） ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O n O 2 O 1 O O F R M M M M M F F F L 虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用 于有合力的其它平面力系。 【例 32】 图 35所示每 1m 长 挡土墙所受土压力的合力为R，它的大小 R=20
6、0kN，方向如图所示，求土压力R 使 墙倾覆的力矩。 【解】：土压力R 可使挡土墙绕 A 点倾覆，求R 使墙倾覆的力矩， 就是求它对 A 点的力矩。由于R 的力臂求解较麻烦，但如果将R 分解为两 个分力F 1 和F 2 ，则两分力的力臂是已知的。为此，根据合力矩定理，合 力R 对 A 点之矩等于F 1 、F 2 对 A 点之矩的代数和。则m kN 41 . 146 2 30 sin 200 2 30 cos 200 3 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 A 1 A A b h M M M F F F R F【例 3-3】 求图 36所示各分布荷载对 A 点的矩【解】：沿直线平行分布的线荷载可
7、以合成为一个合力。合力的方向 与分布荷载的方向相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等 于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩 （1）计算图 36（a）三角形分布荷载对 A 点的力矩 m kN 3 1 3 2 2 1 ) ( A q M （2）计算图 36（b）均布荷载对 A 点的力矩为 m kN 18 5 . 1 3 4 ) ( A q M （3）计算图 36（c）梯形分布荷载对 A 点之矩。此时为避免求梯形 形心，可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别 为R 1 和R 2 ，则有 m kN 15 2 3 2 2 1 5 .
8、 1 3 2 ) ( A q M 第三节 力偶及其基本性质 一、力偶和力偶矩 在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、方向相反、作用线不 重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不 能使物体产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘（图 37（a） ） ， 木工用丁字头螺丝钻钻孔（图 37（b） ） ，以及用拇指和食指开关自来水 龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行 力称为力偶。用符号（F，F）表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离 d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。实践表明，当力偶的力F 越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的转
9、动 效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用F 与 d的乘积来度 量力偶对物体的转动效应，并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩， 用 表示，即 m（34） Fd m 式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转 动时，力偶矩为正；反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩 的单位与力矩相同。 二、力偶的基本性质 力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，现分述如下： 1力偶没有合力，不能用一个力来代替 由于力偶中的两个力大小相等、 方向相反、作用线平行，如果求它们在 任一轴 x上的投影，如图 38所示。 设力与轴 x的夹角为 ，由图可得 0 cos cos F F
10、X 这说明，力偶在任一轴上的投影等于零。 既然力偶在轴上的投影为零， ，所以力偶对物体只能产生转动效应，而 一个力在一般情况下，对物体可产生移动和转动两种效应。 力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即 力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶 平衡。 2力偶对其作用面内任一点之矩都 等于力偶矩，与矩心位置无关 力偶的作用是使物体产生转动效应， 所以力偶对物体的转动效应可以用力偶 的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。图39所示力偶（F，F） ，力偶臂为d，逆时针转向，其 力偶矩为 m=Fd，在该力偶作用面内任选一点 O 为矩心，设矩心与 F
11、的 垂直距离为 x。显然力偶对 O 点的力矩为 m Fd x F x d F F F M ) ( ) , ( O 此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩， 而与矩心的位置无关。 3同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同， 则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。 （其证明从略） 从以上性质还可得出两个推论： （1）用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如图 310（a）作用在方向盘上的两个力偶（P 1 ，P 1 ）与（P 2 ，P 2 ）只要 它们的力偶矩大小相等，转向相同，作用位置虽不同，但转动效应是相同 的。 （2）在保持力偶矩大小 和转向不
12、变的条件下，可以任意改变力偶 的力的大小 和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效应。例如图 310（b）所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的（F 1 ，F 1 ）或 （F 2 ，F 2 ）虽 然 d 1 和 d 2 不相等，但只要调整力的大小，使力偶矩 ， 2 2 1 1 d F d F 则两力偶的作用效果是相同的。 由以上分析可知，力偶对于物体的 转动效应完全取决于力偶矩的大小、 力偶的转向及力偶作用面，即力偶 的三要素。因此，在力学计算中， 有时也用一带箭头的弧线表示力偶， 如图 311所示，其中箭头表示力 偶的转向，m 表示力偶矩的大小。 第四节 平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成
13、 作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以 根据力偶等效性来进行。合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力 偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即（） i n 2 1 m m m m M L 【例】 如图所示，在物体同一平面内受到三个力偶 的作用，设 ，求其合成的结果。 m N 150 N, 400 N, 200 2 1 m F F 【解】：三个共面力偶合成的结果是一个合力偶，各分力偶矩为 m N 150 m N 200 30 sin 25 . 0 400 m N 200 1 200 3 2 2 2 1 1 1 m m d F m d F m 由式（）得合力偶为 m N 250 150 200 200 3 2 1 i m m m m M 即合力偶矩的大小等于 ，转向为逆时针方向，作用在原力偶系的 m N 250 平面内。
