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1、 第六讲内容 力矩与平面力偶系 第一节 力对点之矩 力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提 升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图 31所示, 在板手的 A 点施加一力F,将使板手和螺母一起绕螺钉中心 O 转动,这就 是说,力有使物体(扳手)产生转动的效应。实践经验表明,扳手的转动 效果不仅与力F 的大小有关,而且还与点 O 到力作用线的垂直距离 d有关。 当 d保持不变时,力F 越大,转动越快。当力F 不变时,d值越大,转动 也越快。若改变力的作用方向,则扳手的转动方向就会发生改变,因此, 我们用F 与 d的乘积再冠以适当的正负号来表示力F 使物体绕
2、O 点转动的 效应,并称为力F 对 O 点之矩,简称力矩,以符号 M O (F)表示,即(31) d F F M ) ( O O 点称为转动中心,简称矩心。矩心 O 到力作用线的垂直距离 d称为力臂。 式中的正负号表示力矩的转向。通常规定:力使物体绕矩心作逆时针方向 转动时,力矩为正,反之为负。在平面力系中,力矩或为正值,或为负值, 因此,力矩可视为代数量。 由图 32可以看出,力对点之矩还可以用以矩心为顶点,以力矢量 为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即(32) 面积 OAB 2 ) ( O F M 图 3-1显然,力矩在下列两种情况下等于零:(1)力等于零;(2)力的作 用线通过矩心
3、,即力臂等于零。 力矩的单位是牛顿米(Nm)或千牛顿米(kNm) 【例31】 分别计算图33所示的F 1 、F 2 对O点的力矩。 【解】:由式(31) ,有 m kN 45 5 . 1 30 ) ( m kN 5 30 sin 1 10 ) ( 2 2 2 O 1 1 1 O d F F M d F F M 第二节 合力矩定理 我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R 来代替。 这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应,而力使物体绕某点的转动效 应由力对该点之矩来度量,因此,平面汇交力系的合力对平面内任一点之 矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十 分广泛
4、的一个重要定理,现用两个汇交力系的情形给以证明。 证明:如图 34所示,设在物体上的 A 点作用有两个汇交的力F 1 和 F 2 ,该力系的合力为R。在力系的作用面内任选一点 O 为矩心,过 O 点并 垂直于 OA 作为 y轴。从各力矢的末端向 y轴作垂线,令 Y 1 、Y 2 和 R y 分别 表示力F 1 、F 2 和R 在 y轴上的投影。由图 34可见 ob ob ob y 2 2 1 1 R Y Y 各力对 O 点之矩分别为 (a) OA OA O AOB 2 ) ( OA OA O AOB 2 ) ( OA OA O AOB 2 ) ( y O 2 2 2 2 O 1 1 1 1 O
5、 R b M Y b M Y b M R F F 根据合力矩定理有 2 1 y Y Y R 上式两边同乘以 OA 得 OA OA OA 2 1 y Y Y R 将(a)式代入得 ) ( ) ( ) ( 2 O 1 O O F M F M M R 以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为(33) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( O n O 2 O 1 O O F R M M M M M F F F L 虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来,但可以证明这个定理同样适用 于有合力的其它平面力系。 【例 32】 图 35所示每 1m 长 挡土墙所受土压力的合力为R,它的大小 R=20
6、0kN,方向如图所示,求土压力R 使 墙倾覆的力矩。 【解】:土压力R 可使挡土墙绕 A 点倾覆,求R 使墙倾覆的力矩, 就是求它对 A 点的力矩。由于R 的力臂求解较麻烦,但如果将R 分解为两 个分力F 1 和F 2 ,则两分力的力臂是已知的。为此,根据合力矩定理,合 力R 对 A 点之矩等于F 1 、F 2 对 A 点之矩的代数和。则m kN 41 . 146 2 30 sin 200 2 30 cos 200 3 ) ( ) ( ) ( 2 1 2 A 1 A A b h M M M F F F R F【例 3-3】 求图 36所示各分布荷载对 A 点的矩【解】:沿直线平行分布的线荷载可
7、以合成为一个合力。合力的方向 与分布荷载的方向相同,合力作用线通过荷载图的重心,其合力的大小等 于荷载图的面积。 根据合力矩定理可知,分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩 (1)计算图 36(a)三角形分布荷载对 A 点的力矩 m kN 3 1 3 2 2 1 ) ( A q M (2)计算图 36(b)均布荷载对 A 点的力矩为 m kN 18 5 . 1 3 4 ) ( A q M (3)计算图 36(c)梯形分布荷载对 A 点之矩。此时为避免求梯形 形心,可将梯形分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载,其合力分别 为R 1 和R 2 ,则有 m kN 15 2 3 2 2 1 5 .
8、 1 3 2 ) ( A q M 第三节 力偶及其基本性质 一、力偶和力偶矩 在生产实践和日常生活中,经常遇到大小相等、方向相反、作用线不 重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不 能使物体产生移动效应。例如,司机用双手操纵方向盘(图 37(a) ) , 木工用丁字头螺丝钻钻孔(图 37(b) ) ,以及用拇指和食指开关自来水 龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行 力称为力偶。用符号(F,F)表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离 d称为力偶臂,力偶的两个力所构成的平面称为力偶作用面。实践表明,当力偶的力F 越大,或力偶臂越大,则力偶使物体的转
9、动 效应就越强;反之就越弱。因此,与力矩类似,我们用F 与 d的乘积来度 量力偶对物体的转动效应,并把这一乘积冠以适当的正负号称为力偶矩, 用 表示,即 m(34) Fd m 式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定:若力偶使物体作逆时针方向转 动时,力偶矩为正;反之为负。在平面力系中,力偶矩是代数量。力偶矩 的单位与力矩相同。 二、力偶的基本性质 力偶不同于力,它具有一些特殊的性质,现分述如下: 1力偶没有合力,不能用一个力来代替 由于力偶中的两个力大小相等、 方向相反、作用线平行,如果求它们在 任一轴 x上的投影,如图 38所示。 设力与轴 x的夹角为 ,由图可得 0 cos cos F F
10、X 这说明,力偶在任一轴上的投影等于零。 既然力偶在轴上的投影为零, ,所以力偶对物体只能产生转动效应,而 一个力在一般情况下,对物体可产生移动和转动两种效应。 力偶和力对物体的作用效应不同,说明力偶不能用一个力来代替,即 力偶不能简化为一个力,因而力偶也不能和一个力平衡,力偶只能与力偶 平衡。 2力偶对其作用面内任一点之矩都 等于力偶矩,与矩心位置无关 力偶的作用是使物体产生转动效应, 所以力偶对物体的转动效应可以用力偶 的两个力对其作用面某一点的力矩的代数和来度量。图39所示力偶(F,F) ,力偶臂为d,逆时针转向,其 力偶矩为 m=Fd,在该力偶作用面内任选一点 O 为矩心,设矩心与 F
11、的 垂直距离为 x。显然力偶对 O 点的力矩为 m Fd x F x d F F F M ) ( ) , ( O 此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩恒等于力偶矩, 而与矩心的位置无关。 3同一平面内的两个力偶,如果它们的力偶矩大小相等、转向相同, 则这两个力偶等效,称为力偶的等效性。 (其证明从略) 从以上性质还可得出两个推论: (1)用面内任意移转,而不会改变它对物体的转动效应。例如图 310(a)作用在方向盘上的两个力偶(P 1 ,P 1 )与(P 2 ,P 2 )只要 它们的力偶矩大小相等,转向相同,作用位置虽不同,但转动效应是相同 的。 (2)在保持力偶矩大小 和转向不
12、变的条件下,可以任意改变力偶 的力的大小 和力偶臂的长短,而不改变它对物体的转动效应。例如图 310(b)所示,在攻螺纹时,作用在纹杆上的(F 1 ,F 1 )或 (F 2 ,F 2 )虽 然 d 1 和 d 2 不相等,但只要调整力的大小,使力偶矩 , 2 2 1 1 d F d F 则两力偶的作用效果是相同的。 由以上分析可知,力偶对于物体的 转动效应完全取决于力偶矩的大小、 力偶的转向及力偶作用面,即力偶 的三要素。因此,在力学计算中, 有时也用一带箭头的弧线表示力偶, 如图 311所示,其中箭头表示力 偶的转向,m 表示力偶矩的大小。 第四节 平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成
13、 作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以 根据力偶等效性来进行。合成的结果是:平面力偶系可以合成为一个合力 偶,其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即() i n 2 1 m m m m M L 【例】 如图所示,在物体同一平面内受到三个力偶 的作用,设 ,求其合成的结果。 m N 150 N, 400 N, 200 2 1 m F F 【解】:三个共面力偶合成的结果是一个合力偶,各分力偶矩为 m N 150 m N 200 30 sin 25 . 0 400 m N 200 1 200 3 2 2 2 1 1 1 m m d F m d F m 由式()得合力偶为 m N 250 150 200 200 3 2 1 i m m m m M 即合力偶矩的大小等于 ,转向为逆时针方向,作用在原力偶系的 m N 250 平面内。