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1、第八章 圆锥曲线方程综合能力测试 本试卷分第卷( 选择题) 和第卷( 非选择题) 两部分。 满分 150 分。考 试时间 120 分钟。 第卷(选择题 共 60分) 一、选择题( 每小题只有一个选项是正确的，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1椭圆 =1 上一点 P 到两个焦点的距离的和为（ ） 12 13 2 2 y x A.26 B.24 C.2 D.2 13 2下列双曲线中，以 y x 为渐近线的是 ( ) 1 2 A. 1 B. 1 x2 16 y2 4 x2 4 y2 16 C. y 2 1 Dx 2 1 x2 2 y2 2 答案
2、：A 解析：由 y x 得 0，因此以 0 为渐近线的双曲线为 m(m0) 1 2 x 2 y 1 x 2 y 1 x2 4 y2 1 当 m4 时，方程为 1，故 选 A. x2 16 y2 4 3抛物线 y 2 4x，经过点 P(3，m)，则点 P 到抛物线焦点的距离等于 ( ) A. B4 C. D3 9 4 13 4 答案：B 解析：y 2 4x 的准线方程为 x 1， 则点 P 到它的距离为 314，故 选 B. 4从抛物线 y 2 4x 上一点 P 引其准线的垂线，垂足为 M，设抛物线的焦点为 F，且|PF|5，则 MPF 的面积为 ( ) A5 B. C20 D10 6 25 3
3、 4 答案：D 解析：由题意， 设 P( ，y 0 ) ， 则|PF|PM| 15，所以 y 0 4，S MPF |PM|y 0 | 10. y2 0 4 y2 0 4 1 2 5(4班做) 设向量 i、j 为直角坐标系的 x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若向量 a(x1) iyj，b(x1)iyj，且|a|b|1，则满足上述条件的点 P(x，y)的轨迹方程是 ( ) A. 1(y0) B. 1(x0) x2 1 4 y2 3 4 x2 1 4 y2 3 4 C. 1(y0) D. 1(x0) y2 1 4 x2 3 4 y2 1 4 x2 3 4 答案：B 解析：a(x1)iyj，b(x
4、1)i yj，|a|b| 1， 满足上述条件的点 (x 1)2 y2 (x 1)2 y2 P(x，y)的轨迹是以(1,0) 和(1,0) 为焦点的双曲线的右支，方程是 1(x0) ，故 选 B. x2 1 4 y2 3 4 5.(3班做)已知抛物线的焦点坐标是(0，3)，则抛物线的标准方程是（ ） A.x 2 =12y B.x 2 =12y C.y 2 =12x D.y 2 =12x 6(2009全国，8)双曲线 1的渐近线与圆(x3) 2 y 2 r 2 (r0)相切，则 r x2 6 y2 3 ( ) A. B2 C3 D6 3 答案：A 解析：双曲线的渐近线方程为 y x，即 x y0，
5、 圆心(3,0)到直线的距离 1 2 2 d ，r .故选 A. |3| (r(2)2 1 3 3 7(4班做)经过椭圆 y 2 1的一个焦点作倾斜角为 45的直线 l，交椭圆于 A、B 两点设 O 为 x2 2 坐标原点，则 等于 ( ) OA OB A3 B C 或3 D 1 3 1 3 1 3 答案：B 解析：由 y 2 1，得 a 2 2，b 2 1，c 2 a 2 b 2 1，焦点 为(1,0) x2 2 直线 l 不妨过右焦点，倾斜角为 45，直 线 l 的方程为 yx 1. 代入 y 2 1 得 x 2 2(x 1) 2 20， x2 2 即 3x 2 4x 0.设 A(x 1
6、，y 1 )，B(x 2 ，y 2 ) ， 则 x 1 x 2 0，x 1 x 2 ，y 1 y 2 (x 1 1)(x 2 1) x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 11 ， 4 3 4 3 1 3 x 1 x 2 y 1 y 2 0 . OA OB 1 3 1 3 7.(3班做) 已知 、 分别为椭圆 的左、右焦点，椭圆的弦 过焦点 ，若直线 的 1 F 2 F 2 2 1 16 9 x y DE 1 F DE 倾斜角为 ，则 的周长为( ) ( 0) a 2 DEF A64 B20 C16 D随 变化而变化 8(4班做)过双曲线 1(a0，b0)的右顶点 A 作斜率为1的直线，该直线与
7、双曲线的两 x2 a2 y2 b2 条渐近线的交点分别为 B、C.若 ，则双曲线的离心率是 ( ) AB 1 2 BC A. B. C. D. 2 3 5 10 答案：C 解析：直线 l：y x a 与渐近线 l 1 ：bx ay0 交于 B( ， )，l 与渐近线 l 2 ：bxay0 交于 C( a2 a b ab a b ， ) ，A(a,0)， ( ， ) ， ( ， )， ， a2 a b ab a b AB ab a b ab a b BC 2a2b a2 b2 2a2b a2 b2 AB 1 2 BC ，b2a， ab a b a2b a2 b2 c 2 a 2 4a 2 ，e
8、2 5， c2 a2 e ，故选 C. 5 8.(3 班做) 若双曲线 的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b 双曲线的离心率的取值范围是（ ） A B C D (1, 2 (1, 2 1 2, ) 2 1, ) 9已知抛物线 C 的方程为 x 2 y，过点 A(0，1)和点 B(t,3)的直线与抛物线 C 没有公共点，则实 1 2 数 t 的取值范围是 ( ) A(，1)(1，) B(， )( ，) 2 2 2 2 C(，2 )(2 ，) D(， )( ，) 2 2 2 2 答案：D 解析：如图， 设过 A 的直线方程为
9、y kx1，与抛物 线方程联立得 x 2 kx 0 ， k 2 20，k 2 ，求得 过 A 的抛物线的切线与 y3 的交点为( ，3) ， 则当过 点 1 2 1 2 1 4 2 2 A(0 ，1) 和点 B(t,3)的直线与抛物 线 C 没有公共点，实数 t 的取值范围是(， )( ，)，故选 D. 2 2 10(4 班做)已知以 F 1 (2,0)，F 2 (2,0)为焦点的椭圆与直线 x y40 有且仅有一个交点，则椭 3 圆的长轴长为 ( ) A3 B2 C2 D4 2 6 7 2 答案：C 解析：设椭圆长轴长为 2a( 且 a2) ， 则椭圆方程为 1. x2 a2 y2 a2 4
10、 由Error!， 得(4a 2 12)y 2 8 (a 2 4)y (16 a 2 )(a 2 4) 0. 3 直线与椭圆只有一个交点， 0， 即 192(a 2 4) 2 16(a 2 3)(16 a 2 )(a 2 4)0. 解得 a0(舍去) ，a2( 舍去) ，a . 7 长轴长 2a2 . 7 10(3 班做) 已知 P 是椭圆 1 9 25 2 2 y x 上的点，F 1 、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，若 1 2 1 2 1 2 | | | | PF PF PF PF uuur uuuu r uuur uuuu r ，则 F 1 PF 2 的面积为( ) A3 B2 C D
11、3 3 3 3 3 11已知点 F 1 ( ，0)、F 2 ( ，0)，动点 P 满足|PF 2 | 2 2 |PF 1 |2，当点 P 的纵坐标是 时，点 P 到坐标原点的距离是 ( ) 1 2 A. B. C. D2 6 2 3 2 3 答案：A 解析：由已知得 a1，c ，b1， 2 点 P 的轨迹为双曲线 x 2 y 2 1， 将 y 代入，得 x 2 ， 1 2 5 4 |OP| .故选 A. x2 y2 5 4 1 4 6 2 12已知点 P 是抛物线 y 2 4x 上一点，设点 P 到此抛物线准线的距离为 d 1 ，到直线 x2y100 的距离为 d 2 ，则 d 1 d 2 的
12、最小值是 ( ) A5 B4 C. D. 11 5 5 11 5 答案：C 解析：如下图点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离，过焦点 F 作直线 x2y100 的垂线，此时 d 1 d 2 最小， F(1,0) ， 则 d 1 d 2 ， 选 C. |1 10| 12 22 11 5 5 第卷(非选择题 共 90分) 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案填在 题中的横线上。) 13(4 班做)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1,0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A、B 两 点若 AB 的中点为(2,2)，则直线 l 的方程为_
13、答案：yx 解析：抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点 为 F(1,0)， 1，抛物 线方程为 y 2 4x.设 A(x 1 ，y 1 )、 p 2 B(x 2 ，y 2 ) ，则 y 1 y 2 4，y 4x 1 ，y 4x 2 ，得 y y 4(x 1 x 2 ) ， 2 1 2 2 2 1 2 2 (y 1 y 2 )(y 1 y 2 )4(x 1 x 2 ) ， 1，直线 l 的斜率为 1，且 过点(2,2)，直线方程为 y2x2，即 yx. y1 y2 x1 x2 13.(3 班做) 设焦点在x轴上的双曲线的虚轴长为2，焦距为 ，则该双曲线的渐近线方程是 3 2 14若抛物线 y 2
14、2px 的焦点与双曲线 y 2 1的右焦点重合，则实数 p_. x2 3答案：p4 解析：抛物线的焦点 F 为( ，0) ， p 2 双曲线 y 2 1 的右焦点 F 2 (2,0) ， x2 3 由已知得 2，p4. p 2 15下图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2m，水面宽 4m.水位下降 1m 后，水面宽 为_ 答案：2 m 6 解析：如图建立直角坐标系， 将 A(2，2) 代入 x 2 my ，得 m2 x 2 2y，代入 B(x 0 ，3) 得 x 0 6 故水面宽为 2 m. 6 16(4 班做)已知抛物线 y 2 2px(p0)，过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A、B 两点，则我们知道 为定值，请写出关于椭圆的类似的结论： 1 |AF| 1 |BF| _，当椭圆方程为 1时， x2 4 y2 3 _
