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1、1 浅谈简单几何模型的构建及运用 赵国清 近几年来，简单几何模型在中考数学中有着广泛的运 用。为了指导学生搞好中考复习，本文对简单几何模型的含 义、构建及运用作些探讨。 、 简单几何模型的含义 这里所说的简单几何模型，指的是从实际问题中抽象 构 建出的或从数学问题中人为构造出的简单图形。它具有两 个重要特征： 1、 这种简单图形必须是我们熟悉的、为解题目标服 务的“工具 ” 。 2、 它必须是能够沟通 题设与结论的“桥梁” 。 、 怎样构建简单几何模型 1、根据实际问题的题意抽象构建相应的图形，把实际 问题转化成几何题，再利用相关的知识与方法解之，从而解 决实际问题。 2、 由于数学问题中的条
2、件太分散或太隐蔽，此时不 妨人为地构造新的图形，或把分散的条件集中起来，或把 隐蔽的条件挖掘出来，或巧妙地沟通题设与结论的联系， 使原问题获解。 、 例举简单几何模型的运用。2 1、 三边关系模型 例 1、 （2009 年陕西）如图，在锐角 ABC中 4 AB 2 BAC=45 BAC的平分线交BC于点D, M, N分别是AD和 AB上的动点、则BM+MN的最小值是 -。 分析：此题的条件与结论之间的联系不明显且条件太 分散，我们不妨构造全等三角形和三边关系模型解之 即在AC上取一点E， 使AE=AN 则 AMEANE MN=ME 连接BE，则ME+BMBE 而E是AC边上的动点， 当且仅当B
3、EAC时，BE最小， 最小值为4。即MN+BM的最小值为4。 2、 直角三角形 例 2、 （2009 年、天津）在一次课外实践活动中，同学们要 测量某公园人工湖两侧 A、B 两个凉亭之间的距离。现测得 AC=30m，BC=70m CAB=120 请计算A.B两个凉亭之间 的距离.3 分析：为了沟通BC、BAC和AB之间的联系， 不妨构造直角三角形解之。即过C点作CDAB交BA的延 长线于D、由CAB=120 。 得CAD=60、从而有 15 2 1 AC AD 3 15 CD 2 2 2 BC CD BD 65 BD 从而 即A、B之间的距离是50m 50 AB 3、 全等三角形 例3、 （2
4、008年、鄂州市） 如图， ABC中 ， BAC=45 。 ， ADBC于D、BD=6，CD=4 则高AD的长是 -。 分析： 此题看似简单，实则较难， 难在条件B AC=45 如何用？ 我们不妨作 BEAC 于 E， 则可证AEFBEC AF=AC=10 而BDFADC 24 DF AD CD DF AD BD AD（AD10）=24 AD=12 4、 相似三角形 例 4、 （2008 年、云南）如图，在直角坐标系中，半 圆直径为 OC、半圆圆 心 D 的坐标为（0，2）、四边形 OABC4 是矩形、点 A 的坐标为（6，0）、 （1（ 略 （2（ 若过 A 和 B 的切线分别与半圆相切于
5、P 1 ，P 2 （点 P 1 ，P 2 与点 O，C 不重合）、 请求出点 P 1 ，P 2 的坐标、并说明理 由。 分析：在 2008 年的云南省中考中，此题的得分率较低， 原因是学生很难找到解决问题的突破口。我们不妨构造相似 三角形解之。连接 DP 1 和 DA ，过 P 1 作 P 1 M OA 于 M，P 1 NOC 于 N， 则P 1 ND P 1 MA 1 1 1 1 AP DP DM DN M P N P 又由AP 1 DAOD得 AP 1 =OA=6 设P 1 （x，y） 则， 3 1 6 2 3 1 x y y x 且 解之： 5 6 x 5 18 y 即P 1 （ ）由于
6、 P 1 与 P 2 关于直线 y=2 对称 P 2 （ ） 5 18 , 5 6 5 2 , 5 6 5、 圆 例 5、如图，四 边形 ABCD 中，已知 AB=AC=AD 且 BDC=15 则BAC= -5 分析：由 AB=AC=AD 知：B 、C、D 三点在同一个圆上 于是构造以 A 为圆心， 以 AB 为半径的 A 。 这样就有BAC=2BDC=30 6、 抛物线 例6、已知一元二次方程ax 2 -（2a+6）x+2=0的一个 根大于1，而另一个根小于1、求实数a的取值范围。 分析：令y= ax 2 -（2a+6）x+2（a0） 构建抛物线解之、 由已知得：当a0时， x=1时的函数值小于0、 即a-（2a+6）+20 从而 a4 当a0时， x=1时的函数值大于0、 即a-（2a+6）+20 从而 a0 综上所述：实数a的取值范围是：a4或a0 在这里需要说明的是：简单几何模型不是孤立的，而 是综合性的运用。教学及中考复习时，我们应该以题论题、 合理构建、抛砖引玉，最有效地培养和提高学生的解题能 力。
