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1、 2006年普通高等学校招生全国统一考试 （四川卷）理科数学及参考答案 第卷 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球是表面积公式) ( ) ( ) ( B P A P B A P 2 4 R S 如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半 径球的体积公式 ) ( ) ( ) ( B P A P B A P 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 R V n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率 其中 R 表示球的半径 k n k k n n P P C k P ) 1 ( ) ( 一选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分； 题 号 1 2 3
2、 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 C D D B D B A C A C A B （1）已知集合 ，集合 ，则集合 2 5 6 0 A x x x 2 1 3 B x x A B U （A） （B） 2 3 x x 2 3 x x （C） （D） 2 3 x x 1 3 x x （2）复数 的虚部为 3 (1 ) i （A）3 （B）3 （C）2 （D）2 （3）已知 ，下面结论正确的是 2 3 , 1 ( ) 2 , 1 x x f x x （A） 在 处连续 （B） ( ) f x 1 x (1) 5 f （C） （D）1 lim ( ) 2 x f x 1 lim (
3、) 2 x f x （4）已知二面角 的大小为 ， 为异面直线，且 ，则 所 l 0 60 , m n , m n , m n 成的角为 （A） （B） （C） （D） 0 30 0 60 0 90 0 120 （5）下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （A） （B） sin 6 y x sin 2 6 y x （C） （D） cos 4 3 y x cos 2 6 y x (6) 已知两定点 ，如果动点 满足 ，则点 2,0 , 1,0 A B P 2 PA PB 的轨迹所包围的图形的面积等于 P （A） （B） （C） （D） 4 8 9 （7）如图，已知正六边形 ，下列向量的数量积中
4、最大的是 1 2 3 4 5 6 PPPPPP （A） （B） （C） （D） 1 2 1 3 PP PP uuuu r uuu u r 1 2 1 4 PP PP uuuu r uuuu r 1 2 1 5 PP PP uuuu r uuuu r 1 2 1 6 PP PP uuuu r uuuu r （8）某厂生产甲产品每千克需用原料 A 和原料 B 分别为 、 千克，生产乙产品每千克需 1 a 1 b 用原料 A 和原料 B 分别为 、 千克。甲、乙产品每千克可获利润分别为 、 元。月 2 a 2 b 1 d 2 d 初一次性购进本月用原料 A、B 各 、 千克。要计划本月生产甲产品和乙
5、产品各多少千 1 c 2 c 克才能使月利润总额达到最大。在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为 千克、 x 千克，月利润总额为 元，那么，用于求使总利润 最大的数学模型中，约 y z 1 2 z d x d y 束条件为 （A） （B） （C） （D） 1 2 1 1 2 2 0 0 a x a y c bx b y c x y 1 1 1 2 2 2 0 0 a x b y c a x b y c x y 1 2 1 1 2 2 0 0 a x a y c bx b y c x y 1 2 1 1 2 2 0 0 a x a y c bx b y c x y (9) 直线 与抛物线
6、交于 两点，过 两点向抛物线的准线作垂线， 3 y x 2 4 y x , A B , A B 垂足分别为 ，则梯形 的面积为 , P Q APQB （A）48 （B）56 （C）64 （D）72 （10）已知球 的半径是 1， 、 、 三点都在球面上， 、 两点和 、 两点的 O A B C A B A C 球面距离都是 ， 、 两点的球面距离是 ，则二面角 的大小是 4 B C 3 B OA C （A） （B） （C） （D） 4 3 2 2 3 （11）设 分别是 的三个内角 所对的边，则 是 的 , , a b c ABC , , A B C 2 a b b c 2 A B （A）充要
7、条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件 （12）从 到 这 个数字中任取 个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数不能 0 9 10 3 被 整除的概率为 3 （A） （B） （C） （D） 19 54 35 54 38 54 41 60 第卷 二填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分；把答案填在题中的横线上。 （13）在三棱锥 中，三条棱 、 、 两两互相垂直，且 O ABC OA OB OC OA OB ， 是 边的中点，则 与平面 所成的角的大小是 （用反三角 OC M AB OM ABC arctan 2 函数表示）； （14）设离
8、散型随机变量 可能取的值为 1，2，3，4。 （ 1，2，3，4）。又 的数学期望 ，则 ( ) P k ak b k 3 E ; a b 1 10 （15）如图，把椭圆 的长轴 分成 等份，过每个分点作 轴的垂线交椭 2 2 1 25 16 x y AB 8 x 圆的上半部分于 七个点， 是椭圆的一个焦点，则 1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , P P P P P P P F; 1 2 3 4 5 6 7 PF PF PF PF PF PF PF 35 （16）非空集合 关于运算 满足：（1）对任意 、 ，都有 ；（2） G a b G a b G 存在 ，使得对一切 ，都有
9、 ，则称 关于运算 为“融洽集” c G a G a c c a a G 。 现给出下列集合和运算： 非负整数， 为整数的加法。 G 偶数， 为整数的乘法。 G 平面向量， 为平面向量的加法。 G 二次三项式， 为多项式的加法。 G 虚数， 为复数的乘法。 G 其中 关于运算 为“融洽集”的是、（写出所有“融洽集”的序号） G 三解答题：本大题共 6小题，共 74分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本大题满分 12分） 已知 是三角形 三内角，向量 ，且 , , A B C ABC 1, 3 , cos ,sin m n A A u r r 1 m n u r r （）求角
10、 ； A （）若 ，求 2 2 1 sin 2 3 cos sin B B B tanB 本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的 公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。满分 12分。 解：（） 1 m n u r r 1, 3 cos ,sin 1 A A 即 3 sin cos 1 A A 3 1 2 sin cos 1 2 2 A A 1 sin 6 2 A 5 0 , 6 6 6 A A 6 6 A 3 A （）由题知 ，整理得 2 2 1 2sin cos 3 cos sin B B B B 2 2 sin sin cos 2cos 0 B B B
11、 B cos 0 B 2 tan tan 2 0 B B 或 tan 2 B tan 1 B 而 使 ，舍去 tan 1 B 2 2 cos sin 0 B B tan 2 B （18）（本大题满分 12分）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”， 两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”，甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概 率分别为 ；在实验考核中合格的概率分别为 ，所有考核是否合格 0.9,0.8,0.7 0.8,0.7,0.9 相互之间没有影响 （）求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率； （）求这三人该课程考核都合格的概率。（结果保留三位小
12、数） 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、对立事件等概率的计算方法，考察应 用概率知识解决实际问题的能力。满分 12分。 解：记“甲理论考核合格”为事件 ，“乙理论考核合格”为事件 ，“丙理论考核合 1 A 2 A 格”为事件 ， 记 为 的对立事件， ；记“甲实验考核合格”为事件 ， 3 A i A i A 1,2,3 i 1 B “乙实验考核合格”为事件 ，“丙实验考核合格”为事件 ， 2 B 3 B （）记“理论考核中至少有两人合格”为事件 ，记 为 的对立事件 C C C 解法 1： 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P C P AA A A A A AA A AA A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 P AA A P A A A P AA A P AA A 0.9 0.8 0.3 0.9 0.2 0.7 0.1 0.8 0.7 0.9 0.8 0.7 0.902 解法 2： 1 P C P C 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 P A A A A A A AA A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 P A A A P A A A P AA A P A A A
