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1、初二数学期中复习专题六 (勾股定理与实际问题) 转化的思想 原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？” 时说“解题就是意味着把所要 解的问题转化为已经解过的问题 ”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化， 化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的可 见，转化是解数学问题的一种重要方法数学解题的过程实际就是转化的过程，换言之，解 题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化， 使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答 【知识要点】1.理解勾股定理及逆定理的函意及作用; 2.运用勾股定理的前提是有直角三 角形
2、;若没有直角,可以作垂直来构造直角三角形,有时需利用隐含的互余条 件来得到直角;注意生活中的方位角;同时不要忘记平面直角坐标系中的两轴 的垂直关系3.要注意勾股定理与直角三角形中的面积之间的相互关系 【典型例题】 （9分） 已知: 如图,四边形ABCD中,ADBC;AB=8,BC =15,AC=17,AD=9;试求CD长. (请同学们关注本题的解答格式与评分标准) 解:依题意可过D点作BC垂线,垂足为 H;(如图) 在ABC中,AC=17,AB=8,BC=15则有: 即: 2 2 2 17 8 15 2 2 2 AC AB BC ABC是直角三角形.(3分) ABBC 又 ADBC BADA则
3、四边形ABHD是长方形, AB=DC=8(6分) 那么 在直角三角形DHC中,DH=8,HC=BC-BH=15-9=6 DC= (9分) 2 2 2 2 8 6 10 DH HC 【基础训练题】 一. 选择题 1. 如图字母 B 所代表的正方形的 面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 2. 下列几组数中,不能作为直角三 角形三边长度的是 ( )A. a=7, b=24, c=25 B. a=1.5, b=2, c=2.5C. a= , b=2, c= D.a=15,b=8, c=17 3 2 4 5 3. 如图小方格都是边长为 1的正方形,则 四边形 ABCD 的
4、面积是 ( ) A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 4. 如果梯子的底端离建筑物 5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A. 12 米 B. 13 C. 14 米 D. 15 米 5. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为 58厘米,宽为 46厘米,则这台电视机的尺寸是(实 际测量的误差可不计) ( )A. 9 英寸(23 厘米) B. 21 英寸(54 厘米) C. 29英寸(74 厘米) D. 34英寸(87 厘米) 6 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25.
5、其中能作为直角 三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 等边三角形的三条高把这个三角形分成( )个直角三角形A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 8若等腰三角形中相等的两边长为 10cm,第三边长为 16 cm,那么第三边上的高为 ( )A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 9三角形的三边长为（a+b） 2 =c 2 +2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 10. 直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A
6、. ab=h 2B. a +b =2h 2 2 2C. + = D. + = a 1 b 1 h 1 2 1 a 2 1 b 2 1 h 【基础训练题】二1.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫 格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形使三角形的三边长为: 15 8 17 9 H D C B ADCBAB16925 3, , 使平行四边形有一锐角为45度,且面积为4. 2 5 2.小明家住在18层的高楼上,一天,他与妈妈去买竹竿,如果电梯的内空如图是长方体且长, 宽,高分别为1.5米,1.5米,2.2米.你能估计出小明买的竹竿最长是多少米? 3. 如图，
7、在边长为c的正 方形中，有四个斜边为c的全等直 角三角形，已知其直角边长 为a，b.利用这个图试说明勾股定 理?4. 如图在Rt 中， ABC CD是AB边上的高，若AD=8，BD=2 ，试求CD的长. 5 5在 中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，试求 的周长。 ABC ABC 6. 如图，在四边形 ABCD 中，A= ，B= D= ，AB=2，CD=1.则 BC 和 AD 的长分 0 60 0 90 别为多少？ 7. 如图在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，A= ，ADC= ，已知 0 60 0 150 四边形 ABCD 的周长为 32，求四边形 ABCD 的面积. 8
8、.如图等腰ABC 的底边长为 8cm，腰长为 5cm，一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当 P 运动几秒时，P 点与顶点 A 的连线 PA 与腰垂直. 2.2 1.5 1.5 CDCBA E A C B D A B C D A C 图 3 D B P P 9. 如图在ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线 AD=6，求 BC 的长. 10. 已知：正方形 ABCD 中 E 为 AD 的中点，CF=3DF, 求证：BEF 为直角 11. 已知：ABC 中，AD 是高，ABDC=AC+BD，求证：AB=AC 12. 如图，AB=AC=20，
9、BC=32，DAC=90，求 BD 的长 13. 如图，在ABC 中，AB=15， BC=14， AC=13，求ABC 的面积 14. 在等腰三角形中，一边长为4，另一边长为6，求底边上的高 15.AD 是ABC 的高，AB=10， AD=8，BC=12，试说明ABC 是等腰三角形 16一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车 能否通过厂门？说明理由 . A B C D E B E F D C A D A B C H A B C D D B C A D B C A c a b a c b b c b a a c 17. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出
10、水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及 水面，已知红莲移动的水平距离为2 米，问这里的水有多深？ 18. 如图，一个高3米，宽4米的大门，需要在对角的顶点间加一个加固木板求木板的长 大约为多少米？ 【基础训练题】三.1.一根旗杆高10米;折断后顶端落地离底端8米处;则旗杆折断处离地面 有( )米.2.已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm;一蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为( ) cm.3. 已知直角三角形中 30角所对的直角边长是 cm，则另一条直角边的长是（ 3 2 ） 3.ABC 中，AB15，AC13，高 AD12，则ABC 的周长为（ ）A42 B32 C42 或 32 D37
11、 或 33 4.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的 顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( )A. 9 分米 B. 15 分米 C. 5 分米 D. 8 分米 5 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一 条“路”他们仅仅少走了 步路（假设 2步为 1米） ，却踩伤了花草 6. 在ABC 中，C90， （1）已知 a2.4，b3.2，则c ；（2）已知 c17，b15，则ABC 面积等于 ；（3）已知A45，c18，则 a . 7 一个矩形的抽斗长为 24cm，宽为 7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 8
12、 在RtABC 中，C90，BC12cm，S ABC 30cm 2 ，则 AB . 9等腰ABC 的腰长 AB10cm，底 BC 为 16cm，则底边上的高为 ，面积为 . 10. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 11一天，小明买了一张底面是边长为 260cm 的正方形，厚 30cm 的床垫回家到了家门口， 才发现门口只有 242cm 高，宽 100cm你认为小明能拿进屋吗？ 【基础训练题】四1. 利用四个全等的 直角三角形可以拼成如图所示 的图形，这个图形被称为弦图观察 图形，验证：c 2 a 2 b 2 . 2如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚 宽 4m，高 3m，长
13、 20m，棚的 斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计 算阳光透过的最大面积. 4.下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题: 学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形 ABC 的两边长分别为 3和 4, 请你求出第三边.” 同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是 5”; 王华同学说: “第 三边长是 .” 还有一些同学也提出了不同的看法 7 （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么? （2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示) 5蚂蚁沿图中的折线从 A 点爬到 D 点，一共爬了多少厘
14、米？（小方格的边长为 1厘米） 6.如图，某会展中心在会展期间准备将高 5m,长 13m，宽 2m 的楼道上铺地毯,已知地毯每 平方米 18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13有一只小鸟在一棵高 4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树 12m，高 20m 的一棵大“路”4m3m 第 4 题图 D A C C B A D3m4m20m3m4m20m5m 13mD A B C D A B C A B C D 7c m A B C 树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以 4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少 几秒才可能到达大树和伙伴在一起？ 14 “中华人民共和国道路交
15、通管理条例”规定：小汽车在城街 路上行驶速度不得超过 km/h.如图，一辆小汽车在一条 70 城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检 测仪正前方 m 处，过了 2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 m，这辆小汽车 30 50 超速了吗？ 15将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地 面的高度为 320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂， 如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度 h.彩 旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）. 【基础训练题】五. 1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角 形 ABC 中，边长为无理数的边数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2
