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1、1 代数思想在小学数学中的渗透初探 李代凤 数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，是分析、 处理与解决数学问题的根本途径，是人类共同的思想源泉。古训说： “授之以鱼，不如授之以渔。 ”学习数学从根本上讲就是获得数学的 思想和方法，并用于指导工作和生活。数学知识是各种思想方法导 出的结果，而我们要教学生的是用这些思想方法去创造更新的知识。 数学发展到今天，已变成一个符号化的世界。数学符号化思想最初 表现为用记号或字母表示数的思想，慢慢发展为代数思想。 一、代数思想的重要性。 代数思想方法是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生 抽象思维能力重要素材。从算式到代数，是数学发展、是数学学习
2、 的重要转变，是人们的思考方式从具体到抽象、从特殊到一般、从 静止到变化的转变，其中一个重要标志就是用字母表示数。 “字母表 示数”即用字母代替数，也就是数字的一般化表示，它不仅是产生 符号化思想的基础，也是代数思想和函数思想的前奏。字母可以代 表任何数，因此可以表达一般规律，由此可以产生方程、函数等重 要的刻画现实世界数量关系和变化规律的重要模型。 “字母表示数”的发展过程在历史上持续了上千年。之所以出 现字母表示数的思想，一个重要的原因是“对具体数字的抽象和一 般规则的形成都要求有相应的表示方法，需要符号来表示任何数和 对于数的运算。 ” “字母表示数”是数学中真正的进展，它直接引发2 方
3、程思想的产生。而方程思想的出现使算术问题解答变得轻而易举。 （邵光华：作为教育任务的数学思想与方法 ，上海教育出版社， 2009年版，第76页） 小学数学主要以“算术”为主，小学阶段代数思想的直观渗透 是为后面学习代数式、方程、不等式、函数、相似图形的比例关系 等知识做铺垫，也是中学代数学习的重要基础。 二、小学代数思想渗透的一些现状。 实际教学中发现，小学生大脑中的算术思维根深蒂固，面对算 术不能解决的问题往往陷入了困境。或者简单的方程问题学生觉得 用算术更简单；或者复杂的方程问题学生理不清数量关系和等量关 系；或者直接给未知量假定一个数值进行算术演算，特殊值法一用 到底，很难从具体情况抽象
4、出一般规律；或者使用枚举发，重复地 进行算术演算，直到穷举出符合条件的答案。即使学生头脑中有代 数思想的一席之地，那也仅仅只限于“字母可以表示任何数”的表 面层次。 例如：看到13+=21，不管什么阶段的学生，他都不会觉得 是一个数学符号，不会觉得可以像字母x一样表示未知数，更不 会去想这是不是一个方程。学生会根据算式各部分之间的关系，一 个加数等于和减另一个加数求得=2113=8。 另外，不要忽略学生对于新知识的陌生感。我们现在看3+5是 8，但学生看到的是3加5的计算过程。因此不难理解学生认为x+3 是一个算式而不是一个结果。学生想：X可以代表任何数，但总无3 具体数目，怎么会是结果呢？所
5、以，进一步，学生不理解字母可以 像数字一样进行四则运算。所以最终，学生可能会填比x多5的数 是x+5，但却不懂x+ 是 的多少倍。为此很有必要在小学阶段，适 9 7 9 1 当地渗透代数思想的不同层面的意义。 三、字母表示数的意义分类。 认为字母表示数只是以字母代表某个数或泛指一般数，那是片 面的。字母代表数的真正价值在于：字母能和数字一起进行四则运 算、乘方、开方，进行指数、对数、三角运算，以及微分、积分运 算等。字母表示数可以分为四个层次： 1、用字母泛指某个数集中的一个数。正如张三、李四可以泛指 某一个人。还包括一些特殊字符、e等。 2、专指特定的数：方程中的未知数都是具体问题中的特定的
6、数， 只是暂时不知道，临时用字母代替。 3、作为变量：比如用字母表示两个相关联变量的关系，刻画正、 反比例关系；比如2n表示所有偶数，其中n为自然数；再如函数概 念中的字母。4、作为不定元参与数学运算。比如：修同一段路，甲队单独8 天完成，乙队单独需10天完成，两队合修一天完成它的几分之几？ 可以设这段路全长x米，则甲每天修x8= x米，乙每天修 x米， 8 1 10 1 两队合修每天共修 x+ x= x米，占全长的 8 1 10 1 40 9 xx= x = 。而在实际操作中，我们往往把这段路程的全 40 9 40 9 x 1 40 9 长看作是整体“1” 。4另外，字母除了代表数，还可以表
7、示其他数学对象，如算式、 代数式、函数等。 四、小学阶段代数思想的渗透。 第一学段（13年级）的学习，用图形符号代替用字母x表示 数的思想。不提倡过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，应 尽量避免形式化的抽象表达形式。代数思想的渗透，不需要学生知 道是什么，只要学生能通过图像、颜色、声音等建立初步的符号意 识，能用符号代替繁杂的文字叙述。例如：37=21；+ =21；+=+。又比如“搭配中的学问”中，用各种符 号表示菜名或服装。再比如将两两握手问题抽象成两点之间连线的 问题。 第二学段（46年级） ，要让学生理解字母表示数的思想。字 母或含有字母的式子可以表示数，也可以表示数量关系或变化规律
8、。 例如：x21可以作为整体或两个数的差表示一个数即结果，也可 以表示x与5的相差关系或者每年妈妈都比儿子大21岁的规律。表 示数对应的是方程中的解，表示数量关系或变化规律对应的是函数 思想的初步。 这一学段，方程思想的重要性不言而喻，要使学生会用方程刻 画具体情景中的等量关系，进而解决问题。这里要强调的是字母作 为不定元参与数学运算思想的重要性。这种思想实际就是凡是不知 道的量都用字母表示，然后根据数量关系，用字母直接进行数学运 算。5 代数方法几乎贯穿于整个数学的全部，不仅作为一种语言，更 作为一种解决问题的工具，代数思想在小学的渗透具有深远意义。 这其中还有很多问题值得深入思考：代数思想在小学阶段渗透的深 度和广度问题；中学数学中的一些代数概念和方法，如变元、整体 代换法、换元等是否可以引入；如何在新课标的指导下处理中小学 的数学教学衔接问题；关于代数的衔接内容是什么路漫漫其修 远兮，吾将上下而求索，至懂方休！
