《无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限》由会员分享，可在线阅读，更多相关《无穷小与无穷大、极限的四则运算与复合函数的极限（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2017/9/2 第一章 2、 无穷大 3、 无穷小与无穷大的关系 1、 无穷小 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四 无穷小与无穷大 (P.23) 2017/9/2 当 1、 无穷小 定义 1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小 ; 函数 时为无穷小 ; 函数 当 )x(或为 时的 无穷小 . 时为无穷小 . )x(或机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 说明 : 除 0 以外任何 很小的常数 都 不是无穷小 ! 因为 当 时 , 显然 C 只能是 0 ! C C 时 , 函数 (或 ) x则称函数 为 定义 1. 若 (或 ) x则 时的 无穷
2、小 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 其中 为 0xx 时的无穷小量 . 定理 1-3-2 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) (P.23) Axfxx)(lim0 Axf )( ,证 : Axfxx)(lim0,0,0 当 00 xx 时 ,有 Axf )(Axf )(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 2、 无穷大 定义 2 . 若 任给 M 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大 , 使对 若在定义中将 式改为 则记作 )(l i m()( 0xfxxx)( Xx )(
3、 x)(li m( xfx(正数 X ) ,记作 ,)( Mxf 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 注意 : 1. 无穷大不是很大的数 , 它是描述函数的一种状态 . 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如 , 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 例 . 证明 证 : 任给正数 M , 要使 即 只要取 ,1M 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0xx为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 、无穷小与无穷大的关系
4、若 为无穷大 , )(1xf 为无穷小 ; 若 为无穷小 , 且 ,0)( xf 则 )(1xf 为无穷大 . 则 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 . 定理 1-3-3. 在自变量的同一变化过程中 , 说明 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 P.24 2017/9/2 内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 3. 无穷小与无穷大的关系 作业 P25 4; 7 第五节 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 第四节、极限的四则运算与复合函数的极限 定 理1-4-1 。时，当；特别；则：时，设或当BAxgxfBkAxkfBAxgxf
5、BAxgxfBxgAxfxxx)()(lim0)3()(lim()()(l i m )2()()(l i m )1(,)(lim,)(lim)(0例 1： 。的条件不能少中法则但时，当)0)3(012131lim0103121lim,1103121lim131lim,021lim1111Bxxxxxxxxxxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 运用四则运算求极限的例子 例 2： 。的图形上看得非常清楚这一点从函数即时，当且有定义，时，当解：？求xxyxxxxxxxxxxxxxyxxxxx1s i n01s i nlim,01s i n0)11s i n(|1s i n
6、01s i n1s i n01s i nlim00不存在）。（却是错误的但xSi nxSi nxxSi nxxxxx1lim0)1lim()lim(1lim0000机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 运用四则运算求极限的例子（续 1） 例 3 ),()()(lim)(;lim00111000为常数其中。，则：设求证：nnnxxnnnnnnnxxaZnxPxPaxaxaxaxPxx解 ： 解 ： nxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxx00000)lim()lim()lim(limlim00000)()lim()lim()lim()lim()lim()lim()lim()(
7、lim)(lim00011010011101110111000000000xPaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaaxaxaxaxPnnnnnxxnxxnnxxnxxxxnnxxnnxxnnnnxxnxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 运用四则运算求极限的例子（续 2） 例 4： ;765432lim323 xxxxx求极限：52116514132lim765432lim)3,2,1(01lim116514132765432:323323323323xxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxnx法则，立即可得：运用极限的和、商运算而但又法则。不能用上面的极限运算都不
8、存在，时，分子、分母的极限当解机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 运用四则运算求极限的例子（续 2） 例 4： );1311(lim 31 xxx求极限：1331lim2lim12lim121)1()1(12131131113lim11lim2112123232323311）（）（原式故但不能用法则。均无极限和解：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 运用四则运算求极限的例子（续 2） 例 5： 。求极限： )1(lim xxx 就错了！原式则，但如果原式解：0lim1lim021011111lim11li
9、m)1(11limxxxxxxxxxxxxxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大量与无穷小量的性质： 性质 1： 有限个无穷小之和是无穷小； 性质 2： 无穷小与有界量之积是无穷小； 性质 3： 无穷小的倒数是无穷大，反之亦然。 运算法则，立得；证明：由极限的四则。的无穷小量是当即：时，当即：此时，时，当使得必对于正数则：时，使得：当是有界量，即：设)()(0)()(lim|)()(|0,0,0|)(|)()(|)(|0,0,0|)(|0,0,0;|)(|,0)(,0)(lim00010100xxxfxxfxxfxxxMMxMxfxMxxxMxxxMxfxMxf
10、xxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 ;0s i n1lim xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 ;01s inlim0 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 ;01c oslim0 xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 ;010421131lim4213lim4343242xxxxxxxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 1342lim)(421311342)(4213042
11、13lim1342lim244224424224xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx即：是一无穷大量是一无穷小量解：？求：机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 无穷大小量性质例子 34003004123134lim123134lim42422424xxxxxxxxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 一般有如下结果： 为非负常数 ) mmmxaxaxa 110limnnn bxbxb 110机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 复合函数的极限 定理 AufxufAufuuuxuuuxxuuxxlim)(lim)(lim)()(lim000000 ，设不能少！注：条件 0uu .00,02)(uuuf设：.01,00)(xxxu2)(lim 0 ufu00l i m ( ) 00xuxuu 0 0 , ( ) 2 0 .xf u xx 0)(lim 0 xufx)(lim00000)(lim20)(limxuuuxxufxuf机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 例 5. 求 解 : 令 932 xxu已知 ux 3lim 61 原式 = 6166机动 目录 上页 下页 返回 结束 2017/9/2 例 8 . 求 解 :
