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1、浅析高中数学数列求和问题的解题技巧和方法 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数 学竞赛中都占有重要的地位，同时数列求和及综合应用是高中数学考试的必考 内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中、期末还是会考、高考， 都是高中数学的必考内容之一。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数 列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面我们结合具体实例来研究求和的方法： 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法，将数列转 化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n项和公式求得。 1、等差数列求和公式
2、： d n n na a a n S n n 2 ) 1 ( 2 ) ( 1 1 2、等比数列求和公式： ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 3、 ) 1 ( 2 1 1 n n k S n k n 4、 ) 1 2 )( 1 ( 6 1 1 2 n n n k S n k n 5、 2 1 3 ) 1 ( 2 1 n n k S n k n 例1. ，求 的前n项和。 3 log 1 log 2 3 x n x x x x 3 2 解：由 2 1 2 log log 3 log 1 log 3 3 2 3 x x
3、x 由等比数列求和公式得 1 （利用常用公式） n n x x x x S 3 2 x x x n 1 ) 1 ( 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 n n 2 1 例2求 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 99 100 L 解：原式 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1 ) (4 3 ) (6 5 ) (100 99 ) 3 7 11 199 L L由等差数列求和公式，得原式 50 (3 199) 5050 2 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于 求数列a n b n 的前n项和，其中 a n、 b n分别
4、是等差数列和等比数列。 例3. 求和： 1 3 2 ) 1 2 ( 7 5 3 1 n n x n x x x S 解：由题可知， 的通项是等差数列2n1的通项与等比数列 的 1 ) 1 2 ( n x n 1 n x 通项之积 设 n n x n x x x x xS ) 1 2 ( 7 5 3 1 4 3 2 （设制错位） 得 n n n x n x x x x x S x ) 1 2 ( 2 2 2 2 2 1 ) 1 ( 1 4 3 2 （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得： n n n x n x x x S x ) 1 2 ( 1 1 2 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 1 (
5、 ) 1 ( ) 1 2 ( ) 1 2 ( x x x n x n S n n n 例4. 求 的和。 2 3 3 5 (2 1) n x x x n x L 解： 当 时， ； 1 x 2 1 1 2 2 (1 ) (2 1) 1 (1 ) 1 n n n x x x n x S x x x 当 时， 1 x 2 n S n 小结：错位相减法的步骤是：在等式两边同时乘以等比数列 的公比；将两 n b 个等式相减；利用等比数列的前n项和公式求和。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来 排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到n个 。 )
6、( 1 n a a 例5. 求证： n n n n n n n C n C C C 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 5 3 2 1 0 证明：设 n n n n n n C n C C C S ) 1 2 ( 5 3 2 1 0 把式右边倒转过来得:（反序） 0 1 1 3 ) 1 2 ( ) 1 2 ( n n n n n n n C C C n C n S 又由 可得 m n n m n C C n n n n n n n C C C n C n S 1 1 0 3 ) 1 2 ( ) 1 2 ( + （反序相加） n n n n n n n n n C C C C n S 2 ) 1 (
7、 2 ) )( 2 2 ( 2 1 1 0 n n n S 2 ) 1 ( 例6. 求 的和 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 1 10 2 9 3 8 10 1 L 分析：由于数列的第 项与倒数第 项的和为常数1，故采用倒序相加法求和 k k 解：设 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 10 1 10 2 9 3 8 10 1 S L 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 9 8 1 10 1 2 9 3 8 10 1 S L 两式相加，得 2 1 1 1 10 5 S S L ， 小结：对某些具有对称性的数列，可运
8、用此法。 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开， 可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。 例7 求数列的前n项和： ， 2 3 1 , , 7 1 , 4 1 , 1 1 1 2 n a a a n 解：设 ) 2 3 1 ( ) 7 1 ( ) 4 1 ( ) 1 1 ( 1 2 n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得（分组） ) 2 3 7 4 1 ( ) 1 1 1 1 ( 1 2 n a a a S n n 当a1时， （分组求 2 ) 1 3 ( n n n S n 2 ) 1 3 ( n n 和）
9、当 时， 1 a 2 ) 1 3 ( 1 1 1 1 n n a a S n n 2 ) 1 3 ( 1 1 n n a a a n 例8 求数列 ， 的前 项和 1 1 1 1 1 2 4 6 2 4 8 16 2 n n L ， ， ， ， L n n S 分析：此数列的通项公式是 ，而数列 是一个等差数列，数列 1 1 2 2 n n a n 2 n 是一个等比数列，故采用分组求和法求解。 1 1 2 n 解： 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 (2 4 6 2 ) ( 1) 2 2 2 2 2 2 n n n S n n n L L 小结：在求和时，一定要认真观察数列的通项公
10、式，如果它能拆分成几项的和，而 这些项分别构成等差数列或等比数列，那么我们就用此方法求和。 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中 的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目 的。通项分解（裂项）如： （1） ) ( ) 1 ( n f n f a n （2） o o o o o n n n n tan ) 1 tan( ) 1 cos( cos 1 sin （3） 1 1 1 ) 1 ( 1 n n n n a n （4） ) 1 2 1 1 2 1 ( 2 1 1 ) 1 2 )( 1 2 ( ) 2 ( 2 n n n
11、 n n a n （5） ) 2 )( 1 ( 1 ) 1 ( 1 2 1 ) 2 )( 1 ( 1 n n n n n n n a n (6) n n n n n n n n S n n n n n n n n n a 2 ) 1 ( 1 1 , 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1 ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 ) 1 ( 2 1 则 例9求数列 的前n项和 , 1 1 , , 3 2 1 , 2 1 1 n n 解：设（裂项） n n n n a n 1 1 1 则 （裂项求和） 1 1 3 2 1 2 1 1 n n S n ) 1 ( ) 2 3 ( ) 1 2 ( n n 1
12、1 n例10在数列a n 中， ，又 ，求数列b n 的 1 1 2 1 1 n n n n a n 1 2 n n n a a b 前n项的和 解： 2 1 1 2 1 1 n n n n n a n （裂项） ) 1 1 1 ( 8 2 1 2 2 n n n n b n 数列b n 的前n项和（裂项求和） ) 1 1 1 ( ) 4 1 3 1 ( ) 3 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( 8 n n S n ) 1 1 1 ( 8 n 1 8 n n 例11. 已知 ， 2 2 2 1 1 2 ( 1)(2 1) 6 n n n n L 求 的和 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 2 1 ( ) 1 1 2 1 2 3 1 2 n n n N L L 分析：首先将数列的通项公式化简，然后注意到它可写成两项的差，在求和的过程 中，中间的项相互抵消了，从而可求出原数列的前n项和。 解： ， 2 2 2 2 1 2 1 6 1 1 2 ( 1) ( 1)(2 1) 6 n n n a n n n n n n
