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1、1 2017-11-11【双曲线】 1.双曲线方程为 2 2 2 1 x y ，则它的右焦点坐标为 （ ）C A、 2 ,0 2 B、 5 ,0 2 C、 6 ,0 2 D、 3,0 【解析】双曲线的 2 2 1 1, 2 a b ， 2 3 2 c ， 6 2 c ，所以右焦点为 6 ,0 2 . 【误区警示】本题考查双曲线的交点，把双曲线方程先转化为标准方程，然后利用 2 2 2 c a b 求出 c 即可得出交 点坐标.但因方程不是标准形式，很多学生会误认为 2 1 b 或 2 2 b ，从而得出错误结论. 2.已知直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C
2、交于 A，B 两点， 为 C 的实轴长的 2倍， | | AB C 的离心率为 (B ) （A） （B） （C） 2 （D） 3 2 3 3.若双曲线 2 2 y b - 2 x 4 =1(b0)的渐近线方程式为 y= 1 x 2 ，则等于 。 【答案】1 【解析】由题意知 1 2 2 b ，解得 b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 4.已知双曲线 2 2 2 2 1 x y a b 的离心率为 2，焦点与椭圆 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 2 2 1 25 9 x y ；渐近线方程为 。 答案：（ 4 ，0） 3 0 x y m 【提高】 5.已知
3、 1 F 、 2 F 为双曲线 C: 2 2 1 x y 的左、右焦点，点 P 在 C 上， 1 F P 2 F = 0 60 ，则 1 2 | | | | PF PF g （ ） (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考 查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析 1】.由余弦定理得 cos 1 F P 2 F = 2 2 2 1 2 1 2 1 2 | | | | | | 2 | | | PF PF F F PF PF 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 2
4、 2 2 2 2 1 cos 60 2 2 2 PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF 1 2 | | | | PF PF g 4 【解析 2】由焦点三角形面积公式得： 1 2 0 2 2 0 1 2 1 2 60 1 1 3 cot 1 cot 3 sin 60 2 2 2 2 2 F PF S b PF PF PF PF 1 2 | | | | PF PF g 4 6.已知椭圆 与双曲线 有公共的焦点， 的一条渐近线与以 的长轴为 2 2 1 2 2 : 1( 0) x y C a b a b 2 2 2 : 1 4 y C x 2 C 1 C 直径的圆相交于
5、两点，若 恰好将线段 三等分，则 （C ） , A B 1 C AB A B C D 2 13 2 a 2 13 a 2 1 2 b 2 2 b 7.设 1 F 、 2 F 分别为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b 的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点 P，满足 2 1 2 PF F F ， 且 2 F 到直线 1 PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 （A）3 4 0 x y （B）3 5 0 x y （C） 4 3 0 x y （D）5 4 0 x y 解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出 a 与 b之间的等量关系，可
6、知答案选 C，本题2 主要考察三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考察，属中档题 8.设双曲线的一个焦点为 F ，虚轴的一个端点为 B ,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的 离心率为 （ ） （A） 2 （B） 3 （C） 3 1 2 （D） 5 1 2 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在 x轴上，设其方程为： 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b ， 则一个焦点为 ( ,0), (0, ) F c B b 一条渐近线斜率为： b a ，直线 FB的斜率为： b c ， ( ) 1 b b a c ， 2 b ac 2 2
7、0 c a ac ，解得 5 1 2 c e a . 9.设 O 为坐标原点， 1 F , 2 F 是双曲线 2 2 2 2 x y 1 a b （a0，b0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足 1 F P 2 F =60，OP= 7a ,则该双曲线的渐近线方程为 （ ） （A）x 3 y=0 （B） 3 xy=0 （C）x 2y =0 （D） 2x y=0 解析：选 D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、 渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 【椭圆】 10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ，点 P 在椭圆上，若 P、
8、F 1 、F 2 是一个直角三角形的三个顶点， x y 2 2 1 16 9 则点 P 到 x 轴的距离为 9 4 11已知椭圆C的方程 ，试确定m的取值范围，使得对于直线 ，椭圆C上有不同两点关于直 x y 2 2 1 4 3 y x m 4 线对称 分析：椭圆上两点 ， ，代入方程，相减得 又 ( , ) x y 1 1 ( , ) x y 2 2 3 1 2 1 2 ( )( ) x x x x 4 1 2 ( ) y y ( ) y y 1 2 0 ， ， ，代入得 。又由 解得交点 。 交点在椭圆内， x x x 1 2 2 y y y 1 2 2 y y k x x 1 2 1 2
9、 1 4 y x 3 y x y x m 3 4 ( , ) m m 3 则有 。得 。 ( m) ( m) 2 2 3 1 4 3 m 2 13 2 13 13 13 12已知椭圆 （ ）过点 ，且离心率 2 2 2 2 : 1 x y C a b 0 a b 3 (1, ) 2 1 2 e （1）求椭圆方程；（2）若直线 （ ）与椭圆交于不同的两点 、 ，且线段 的垂直平分线 : l y kx m 0 k M N MN 过点 ，求 的取值范围 1 ( ,0) 8 G k 解：（1） 2 2 1 4 3 x y （2）设 ， 联立方程， 由 ，得 而 的 1 1 ( , ) M x y 2
10、2 ( , ) N x y 2 2 2 (3 4 ) 8 4 12 0 k x kmx m 0 2 2 4 3 m k MN 中点 由于 ，得 整理得 ， 2 2 4 3 ( , ) 4 3 4 3 km m P k k PG l 2 2 3 4 3 1 4 1 4 3 8 m k k km k 2 4 8 3 0 k km 即 代入可得 ，即 因此， 的取值范围是 或 2 1 (4 3) 8 m k k 2 2 2 2 (4 3) 4 3 64 k k k 2 1 20 k k 5 10 k 5 10 k 3 13.（2010上海）已知椭圆 的方程为 2 2 2 2 1( 0) x y a
11、b a b ， (0, ) A b 、 (0, ) B b 和 ( ,0) Q a 为 的三个顶点. （1）若点 M 满足 1 ( ) 2 AM AQ AB uuuu r uuu r uuu r ，求点 M 的坐标； （2）设直线 1 1 : l y k x p 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线 2 2 : l y k x 于点 E .若 2 1 2 2 b k k a ，证明： E为 CD 的中点； （3）设点 P在椭圆 内且不在 x 轴上，如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ，使得 l 与椭圆 的两个交点 1 P、 2 P 满 足 1 2 PP PP PQ uuu r uuur u
12、uu r ？令 10 a ， 5 b ，点 P的坐标是（-8，-1） ，若椭圆 上的点 1 P、 2 P 满足 1 2 PP PP PQ uuu r uuur uuu r ， 求点 1 P、 2 P 的坐标. 解析：(1) ( , ) 2 2 a b M ； (2) 由方程组 1 2 2 2 2 1 y k x p x y a b ，消 y 得方程 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) 2 ( ) 0 a k b x a k px a p b ， 因为直线 1 1 : l y k x p 交椭圆 于 C 、 D 两点，所以0，即 2 2 2 2 1 0 a k b p ，设 C(x
13、1 ,y 1 )、D(x 2 ,y 2 )，CD 中点 坐标为(x 0 ,y 0 )，则 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 x x a k p x a k b b p y k x p a k b ，由方程组 1 2 y k x p y k x ，消 y 得方程(k 2 k 1 )xp，又因为 2 2 2 1 b k a k ， 所以 2 1 0 2 2 2 2 1 1 2 2 0 2 2 2 1 a k p p x x k k a k b b p y k x y a k b ，故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 内，可以求得直线 OF 的斜率 k 2 ，由 1 2 PP PP PQ uuu r uuur uuu r 知 F 为 P 1 P 2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率 2 1 2 2 b k a k ，从而得直线 l 的方程 1 (1, ) 2 F ，直线 OF 的斜率 2 1 2 k ，直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k ， 解方程组 2 2 1 1 2 1 100 25 y x x y ，消 y：x 2 2x480，解得 P 1 ( 6,4)、P 2 (8,3) 14.已知两点 F 1 (-1,0)及 F 2 (1,0),点 P 在以
