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1、恒成立问题 要点提炼 恒成立问题是高考的一种重要题型，涉及到函数、不等式、数列、解析几何等知识。 函数的单调性、奇偶性、周期性的定义中都隐含着恒成立的要求，恒成立问题渗透着特殊 与一般、化归、数形结合、函数与方程等数学思想方法。这类题型的考察，有利于考查学 生的灵活性、创造性和综合解题能力。因此此类题型成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： 1、函数、方程、不等式 采用解法有以下几种： （1）函数最值法： 恒成立 ； 恒成立 ； x f a min x f a x f a max x f a （2）变量分离法：第一步把 转化为 （或 ）第二步运用 0 , a
2、x f x g a x g a （1） ； （3）函数的值域、单调性、奇偶性、周期性法； （4）图象法。 2、数列型 运用特殊与一般的思维，理科也可用数学归纳法。 3、几何型 运用特殊与一般的思维，或一般转化为函数的问题。 经典讲练 例1 ：已知不等式 对 恒成立，其中 求实数 的取值范 0 1 2 2 ax x 2 , 1 x 0 a a 围 分析：思路1、 思路 2、 思路3、 【变式练习：】 ，该如何处理？ 0 1 2 2 ax x 0 1 2 3 ax x 0 1 2 ln ax x 【小结：】解决恒成立问题的实质是合理转化到函数，通过函数性质（最值）或图像进行求解例2：已知函数 ，
3、，其中 ， 1 2 ) ( 2 ax x x f x a x g ) ( 0 a 0 x 1）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； 2 , 1 x ) ( ) ( x g x f a 2）对任意 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围； 4 , 2 , 2 , 1 2 1 x x ) ( ) ( 2 1 x g x f a 【分析：】例3 设函数 ，对任意 ，都有 在 恒成立， b x x a x h ) ( 2 , 2 1 a 10 ) ( x h 1 , 4 1 x 求实数 的取值范围 b 分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数以本题为例，实质还是通过函数求最
4、值解决 【合作探究：】 已知 试求 的取值范围，使 对任意 恒成立 2 1 f x x mx m 3 f x 1,1 x 已知 试求 的取值范围，使 对任意 恒成立 2 1 f x m xm x 3 f x 1,1 m 已知 试求 的取值范围，使 对任意 恒成立 2 1 f x m mx m 3 f x 1,1 x 已知 试求 的取值范围，使 对任意 恒成立 2 1 f x x mx x 3 f x 1,1 m 2 1 g m xm x 【能力形成：】1. 在区间 上满足不等式 恒成立，求实数 的取值范围 1 t , t 1 | 1 3 | 3 x x t 2.对于任意的 ，不等式 恒成立，则
5、实数 的取值范围 , 4 2 x 2 4 2 sin cos 2sin p x x x p 为 . 3.已知函数 ，( x ax x f 2 ) ( ) 0 a R a 且 （1） 对于任意的实数 ，比较 与 的大小； 2 1 ,x x ) ( ) ( 2 1 2 1 x f x f ) 2 ( 2 1 x x f （2） 若 时，有 ，求实数 的取值范围。 1 , 0 x 1 | ) ( | x f a 4.已知二次函数 2 f x ax bx c （1）若 ，试判断函数 零点个数； 1 0 f f x (2) 若对 且 ， ，试证明 ，使 成立； 1 2 , , x x R 1 2 x x
6、 1 2 f x f x 0 1 2 , x x x 0 1 2 1 2 f x f x f x (3) 是否存在 ，使 同时满足以下条件 , , a b c R ( ) f x 对 ， ，且 ； x R ( 4) (2 ) f x f x ( ) 0 f x 的最小值是 对 ,都有 若存在，求出 的值，若不存在， x R 2 1 0 ( ) ( 1) 2 f x x x , , a b c 请说明理由热点考向聚焦 热点考向 1 构造一次函数型 例 1、若不等式 ，对满足 的所有 都成立，求 的取值范围。 1 1 2 2 x m x 2 m m x 【思路拓展】解本题的关键是将看来是解 的不等
7、式问题转化为以 为变量， 为参数的 x m x 一次函数恒成立问题，在利用一次函数的图象或单调性解题。给定一次函数 ，若 在 内恒有 ，根据函数的图象（线段）可得 0 a b ax y x f y n m, 0 x f 结论等价于： ，如果 ，等价于： ，这称为一次函数的保号 0 0 n f m f 0 x f 0 0 n f m f 性。 【变式训练】 设0 ,若满足不等式 的 一切实数x，亦满足不等式 a 4 5 b a x 2 1 2 a x 求正实数 b的取值范围。 热点考向 2 构造二次函数型 例 2已知函数 的定义域为 ，求实数 的取值范围。 8 6 2 m mx mx y R m
8、 【思路拓展】本题是一般的二次函数恒成立问题，要注意对二次项系数是否为 0进行讨论。恒成立的充要条件为： ； 0 , 2 c bx ax R x 或 0 0 c b a 0 4 0 2 ac b a 恒成立的充要条件为： 。 0 , 2 c bx ax R x 或 0 0 c b a 0 4 0 2 ac b a 【变式训练】 已知函数 ，当 时，恒有 ，求实数 的取值范围。 2 2 2 kx x x f 1 x k x f k 热点考向 3 用函数图像解决恒成立问题 例 3 设 ，若不等式 恒成立，求 的取值范围。 4 , 0 x ax x x 4 a 【变式训练】 已知当 时，不等式 恒成
9、立，求实数 的取值范围。 2 , 1 x x x a log 1 2 a 热点考向 4 方程中的恒成立问题 例 4 关于 的方程 恒有解，求 的取值范围。 x 0 4 3 4 9 x x a a 【思路拓展】若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量 的范围所求，且变量通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒等式问题转化成函数的最值问题求解。 【变式训练】 若对于 ，方程 都有实根，求实根的范围。 1 0 m 0 1 2 2 m mx x 热点考向 5 特殊与一般思想解恒成立问题 例 5是否存在常数 使得不等式 ，对任意整数 c y x y y x x
10、 c y x y y x x 2 2 2 2 恒成立？证明你的结论。 y x, 【思路拓展】本题是两边夹的问题，右边寻找最小值 ，左边寻找最大值 ，可得 。 3 2 3 2 c 3 2 本题还可以换元令 ，问题化为 ，令 ，得 ， x y t t t c t t 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 t c 3 2 再用比差法证明。 【变式训练】若 为偶函数，求 的值。 x x x f cos sin 热点考向 6 分离变量法解决恒成立问题 例 6若对一切实数 ，不等式 均成立，求实数 的取值范围。 x 1 4 4 2 2 2 4 x m x x m【思路拓展】本题首先注意到 为正数，变
11、量分离后，再用函数的单调性求 的取值范围。 m m 【变式训练】 若 对任意实数 都有 ，求 的范围。 3 2 3 1 2 2 2 x x mx x y x 5 y m 热点考向 7 数列中的恒成立问题 例 7设 为常数，且 ，假设对任意的 ， 0 a 1 2 1 2 1 3 5 1 0 1 n a a n n n n n n 1 n 恒有 ，求实数 的取值范围。 1 n n a a 0 a 【思路拓展】本题是数列有关的恒成立问题，确定数列 ，实质是利用了 n 2 3 的单调性，从而为确定 的范围作铺垫。单调数列实际上是关于 的不等式恒 n n a 2 3 0 a n 成立。 【变式训练】 已
12、知 定义在 上，且有 ，若数列 x f 1 , 1 1 2 1 , 1 f xy y x f y f x f 满足： 。 n x f 2 1 1 1 2 , 2 1 n n x x x x （1）求数列 的通项公式；（2）是否存在整数 M，使不等式 . n x f 2 1 1 1 x f x f对任意 恒成立？若存在，求出 M 的最大值；若不存在，说明理由。 M x f n 1 N n 热点考向 8向量与解析几何中的恒成立问题 例 8求证：不论 为何值，直线 必过定点。 m 0 3 4 2 1 2 m y m x m 【变式训练】 已知向量 ，| |1，对任意 tR，恒有| t | |，则下列
13、结论正确 a r e r e r a r e r a r e r 的是 （1) (2) ( ) (3) ( ) (4)( )( ) a r e r a r a r e r e r a r e r a r e r a r e r 综合练习 1 1、若不等式 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围为 n a n n 1 1 2 1 n a 2、在 这四个函数中，当 时，使 x y x y x y y x 2 cos , , log , 2 2 2 1 0 2 1 x x 恒成立的函数的个数是 2 2 2 1 2 1 x f x f x x f 3、若关于 的不等式 在 R 恒成立，则 的最大值是
