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1、上机实习一 P75l 例3-5已知描述我国各省居民消费的八项指标，请同学们用 SPSS软件完成如下任务 1）通过求相关系数，用系统聚类法完成对八个指标的聚类。 2）通过用类平均法，用系统聚类法完成对省份的聚类。 复习 问题1将 类 与合并成 ，其中样品数分别为 且 p G q G r G , , p q r n n n ，用重心法求某 与 的距离为 r p q n n n = + k G r G 2 2 2 2 ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) c k r k r p q p q c c c r r r r D k r X X X X n n n n D k p
2、D k q D q p n n n n = - - = + - 问题2将 类 与合并成 ，其中样品数分别为 且 p G q G r G , , p q r n n n ，用类平均法求某 与 的距离为 r p q n n n = + k G r G 2 2 2 2 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) p q G ij i G j G p q p q G G G r r D p q d n n n n D k r D k p D k q n n = = + 问题1 1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况， 的 1
3、2 ( , , ) p X X X X L 联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是 的子向量的 1 2 ( , , ) p X X X X L 概率分布，其概率密度函数的维数小于p。 2设二维随机向量 服从二元正态分布，写出其联合分布。 1 2 ( ) X X 解：设 的均值向量为 ，协方差矩阵为 ，则其联 1 2 ( ) X X 1 2 2 1 12 2 21 2 合分布密度函数为 。 1/2 1 2 2 2 1 12 1 12 2 2 21 2 21 2 1 1 ( ) exp ( ) ( ) 2 2 f x x x 3已知随机向量 的联合密度函数为 1 2 ( ) X X 1
4、 2 1 2 1 2 2 2 2( )( ) ( )( ) 2( )( ) ( , ) ( ) ( ) d c x a b a x c x a x c f x x b a d c 其中 ， 。求 1 a x b 2 c x d （1）随机变量 和 的边缘密度函数、均值和方差； 1 X 2 X （2）随机变量 和 的协方差和相关系数； 1 X 2 X （3）判断 和 是否相互独立。 1 X 2 X （1）解：随机变量 和 的边缘密度函数、均值和方差； 1 X 2 X 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2( )( ) ( )( ) 2( )( ) ( ) ( ) ( ) d x c d c x
5、a b a x c x a x c f x dx b a d c - - + - - - - - = - - 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2( )( ) 2( )( ) 2( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d c c d c x a x b a x c x a x c dx b a d c b a d c 1 2 1 2 2 2 2 0 2( )( ) 2( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d c c d c x a x b a t x a t dt b a d c b a d c 2 2 1 2 1 2 2 2 2 0 2( )( ) ( ) 2
6、( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d c d c d c x a x b a t x a t b a d c b a d c b a 所以 由于 服从均匀分布，则均值为 ，方差为 。 1 X 2 b a 2 12 b a 同理，由于 服从均匀分布 ，则均值为 2 X 2 1 2 1 , ( ) 0 x x c d f x d c 其它 ，方差为 。 2 d c 2 12 d c （2）解：随机变量 和 的协方差和相关系数； 1 X 2 X1 2 cov( , ) x x 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2( )( ) ( )( ) 2( )( ) 2 2 ( ) ( ) d
7、b c a d c x a b a x c x a x c a b d c x x dxdx b a d c ( )( ) 36 c d b a 1 2 1 2 cov( , ) 1 3 x x x x （3）解：判断 和 是否相互独立。 1 X 2 X 和 由于 ，所以不独立。 1 X 2 X 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) x x f x x f x f x 4设 服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相 1 2 ( , , ) p X X X X L 互独立的随机变量。 解： 因为 的密度函数为 1 2 ( , , ) p X X X X L 1/2 1
8、 1 1 1 ( ,., ) exp ( ) ( ) 2 2 p p f x x x x 又由于 2 1 2 2 2 p O 2 2 2 1 2 p L 2 1 2 1 2 2 1 1 1 p O 则 1 ( ,., ) p f x x 2 1 1/2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 exp ( ) ( ) 2 2 1 p p p x x L O 2 2 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 exp . 2 2 2 2 p p p p p x x x L 2 1 2 1 ( ) 1 exp ( ). ( ) 2 2 p
9、i i p i i i x f x f x 则其分量是相互独立。 6 渐近无偏性、有效性和一致性； 7 设总体服从正态分布， ，有样本 。 （由于 是相互独立的正 ( , ) p N X 1 2 , ,., n X X X X 态分布随机向量之和）问 服从何分布。 X 解 1 1 1 ( ) n n n i i i i i E E n E n n X X X 2 2 1 1 1 1 1 ( ) n n n i i i i i D D n D n n n X X X 所以 。 ( , ) p N n X 8证明 为 的无偏估计 1 n S 方法1： 1 1 ( )( ) 1 n i i i n
10、X X X X1 1 1 n i i i n n XX XX1 1 ( ) ( ) 1 n i i i E E n n XX XX 1 1 1 n i i i E nE n XX XX。 1 1 1 ( 1) 1 1 n i n n n n n 方法2： 1 ( ) n i i i S X -X)(X -X1 ( ( n i i i X - X ) X - X )1 1 ( )( ) 2 ( )( ) ( ) n n i i i i i n X - X - X - X- X )(X X 1 ( )( ) 2 ( ) ( ) n i i i n n X - X - X )(X X )(X 1 (
11、 )( ) ( ) n i i i n X - X - X )(X 1 1 ( ) ( )( ) ( ) 1 1 n i i i E E n n n S X - X - X )(X 。 1 1 ( )( ) ( ) 1 n i i i E nE n X - X - X )(X 故 为 的无偏估计。 1 n S 9.设 是从多元正态分布 抽出的一个简单随机样本，试求 (1) (2) ( ) n X ,X ,.,X ( , ) p N X 的分布。 S 证明： 设 为一正交矩阵，即 。 * * * * * * ( ) * * * 1 1 1 ij n n n L L L L I 令 ， 1 2 n 1 2 n =( )= X X X L L ( 1,2,3,4, ) , i n i X L 由于独立同正态分布且为正交矩阵 所以 。且有 1 2 ( ) n L 独立同正态分布 ， ， 。 1 1 n n i i n 1 1 ( ) ( ) n n i i E E n n ( ) Var n Z 1 ( ) ( ) ( 1,2,3, , 1) n a aj j j E E r a n L 1 1 n aj j n n r 1 0 n aj nj i n r r 1 ( ) ( ) n a aj j j Var Var r 2 2 1 1 n n aj
