《关于二次函数在闭区间上的最值估计问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于二次函数在闭区间上的最值估计问题（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、关于二次函数在闭区间上的最值估计问题关于二次函数 在 上的最值问题，大家已经比较清楚， c bx ax x f 2 ) ( ) , ( 那么，在闭区间 上的最值情况如何呢？本文通过讨论，将给出一个定性的估计奎屯王新敞新疆 1 , 1 命题 1 如果二次函数 ， ， 在 上的最 n mx x x f 2 0 ) ( R n m , | ) ( | 0 x f 1 , 1 大值为 ，那么奎屯王新敞新疆 0 M 2 1 0 M 证明：（用反证法证明）假设结论不成立，即奎屯王新敞新疆 2 1 0 M 因为 的对称轴为 ， ) ( 0 x f 2 m x 当 ，即 时， 在闭区间 上为单调函数， 1 |
2、 2 | m 2 | | m ) ( 0 x f 1 , 1 则有 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 n m n m 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 n m n m ，此与 矛盾； 1 2 1 m 2 1 | | m 2 | | m 当 ，即 时， 在闭区间 上为单调递减函数，在 1 | 2 | m 2 | | m ) ( 0 x f 2 , 1 m 闭区间 上为单调递增函数， 1 , 2 m 则有，矛盾； 2 1 4 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 n m n m n m 2 1 4 2 1 2 1 2 3 2 n m n 0 4 2 2 m 0 2 m 综
3、上述 成立奎屯王新敞新疆 2 1 0 M命题 2 如果二次函数 ， ， 在 上的最 n mx x x f 2 0 ) ( R n m , | ) ( | 0 x f 1 , 1 大值为 ，且 ，那么奎屯王新敞新疆 0 M 2 1 0 M 2 1 ) ( 2 0 x x f 证明： 因为 的对称轴为 ， ) ( 0 x f 2 m x 当 ，即 时， 在闭区间 上 1 2 m 2 m ) ( 0 x f 1 , 1 为单调递增函数（如图（1） ） ，则有 或 2 1 1 2 1 1 n m n m 2 1 1 2 1 1 n m n m ，此与 无公共元素，所以无解； 2 1 m 2 m 当 ，
4、即 时， 在闭区间 0 2 1 m 2 0 m ) ( 0 x f 上为单调递减函数，在闭区间 上为单调递增 2 , 1 m 1 , 2 m 函数（如图（2） ） ， 则有 或 2 1 4 2 1 1 2 n m n m 2 1 4 2 1 1 2 n m n m ，此与 无公共元素，所以无解； 0 4 m 2 0 m 当 ，即 时， 在闭区间 上为单调递减函 1 2 0 m 0 2 m ) ( 0 x f 2 , 1 m 数，在闭区间 上为单调递增函数（如图（3） ） ， 1 , 2 m 则有 或 2 1 4 2 1 1 2 n m n m 2 1 4 2 1 1 2 n m n m ，此与
5、 有公共元素 0， 4 0 m 0 2 m 所以 ，所以奎屯王新敞新疆 2 1 , 0 n m 2 1 ) ( 2 0 x x fx=-m21-1xOy 图 （3）x=-m21-1xOy 图 （1）x=-m21-1xOy 图 （2）当 ，即 时， 在闭区间 1 2 m 2 m ) ( 0 x f 上为单调递减函数（如图（4） ） ，则有 1 , 1 或 2 1 1 2 1 1 n m n m 2 1 1 2 1 1 n m n m ，此与 无公共元素，所以无解； 2 1 m 2 m 综上述， 成立奎屯王新敞新疆 2 1 ) ( 2 0 x x f 推论 1 二次函数 ， 在 上的最大值为 ，那
6、 c bx ax x f 2 ) ( | ) ( | x f 1 , 1 M 么奎屯王新敞新疆 | | 2 1 a M 证明：另 ，则奎屯王新敞新疆 n a c m a b , c bx ax x f 2 ) ( ) ( 0 x af 从而有， 的最大值 就是 的最大值奎屯王新敞新疆 | ) ( | x f M | ) ( | | | | ) ( | 0 0 x f a x af 由命题 1知， 奎屯王新敞新疆 M | | 2 1 | | 0 a M a 推论 2 二次函数 ， 在 上的最大值为 ，且 c bx ax x f 2 ) ( | ) ( | x f 1 , 1 M ，那么奎屯王新敞
7、新疆 | | 2 1 a M ) 2 1 ( ) ( 2 x a x f 证明：另 ，则 n a c m a b , c bx ax x f 2 ) ( ) ( 0 x af 从而有， 的最大值 就是 的最大值奎屯王新敞新疆 | ) ( | x f M | ) ( | | | | ) ( | 0 0 x f a x af 由命题 1知， ，所以 ， M | | 2 1 | | 0 a M a 2 1 0 M 由命题 2知， ，所以奎屯王新敞新疆 2 1 ) ( 2 0 x x f ) 2 1 ( ) ( 2 x a x f 又因为 ，所以 | ) ( | 0 x af | ) ( | 0 x af ) 2 1 ( ) ( 2 x a x f 图（4）x=-m21-1xOy所以 奎屯王新敞新疆 ) 2 1 ( ) ( 2 x a x f
