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1、第四节第四节 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 课课前学案前学案 基基础诊础诊断断 课课堂学案堂学案 考点通关考点通关 高考模高考模拟拟 备备考套餐考套餐 1理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件。 考 纲 2 了解复数的代数表示法和几何意义，会进行复数代数形式的四则导 学 运算。 3了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。 课前学案课前学案 基础诊断基础诊断 夯基固本夯基固本 基础自测基础自测 1复数的有关概念 (1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的1实部 b0 ，则 abi 为实数；若 b0，则 abi 为虚数；虚部 。若3_ 和2
2、_a0，且 b0 若4_，则 abi 为纯虚数。 ac 且 bd a，b，c，dR)。 (2)复数相等：abicdi?5_(ac，bd 6(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭?_( a，b，c，dR)。 x 轴 (4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。7_y 轴除去原点 叫做虚轴。实轴上的点都表示9_实数 叫做实轴，8_；除原纯虚数 10点外 ，虚 轴上 的点 都表 示_ ； 各象 限内 的点 都表 示11非纯虚数 _ 。 |z| 或13(5)复数的模：向量OZ的模 r 叫做复数 zabi 的模，记作12_22|abi| a b 14_ ，即|z|abi|_ 。 2复数的
3、几何意义 一一对应(1)复数 zabi 复平面内的点 Z(a，b)(a，bR)。 一一对应平面向量OZ a，bR)。 (2)复数 zabi 15_( 3复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)则： (ac)(bd)i 加法：z1z2(abi)(cdi)16_； (ac)(bd)i 减法：z1z2(abi)(cdi)17_； (acbd)(adbc)i 18乘法：z1z2(abi)(cdi)_； ?acbd?bcad?i z1abi?abi? cdi?22c d除法：z19_(ccdi?cdi? cdi?2di0)。 (2)复数加法的运算定律
4、 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有 z1z220z2z1 z1(z2z3) _ ，(z1z2)z321_ 。 1个分类复数的分类 对复数 zabi(a，bR)， 当 b0时，z为实数； 当 b0时，z为虚数； 当 a0，b0 时，z为纯虚数。 2个技巧复数的运算技巧 (1)设 zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法。 (2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化。 3个结论复数代数运算中常用的三个结论 1i1i(1)(1i) 2i；i；i； 1i1i2(2)baii(abi)；
5、 (3)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i，i4ni4n1i4n2i4n30，nN*。 1已知 aR，i 为虚数单位，若(12i)(ai)为纯虚数，则 a的值等于( ) A6 B2 C2 D6 ?a20，解析：由(12i)(ai)(a2)(12a)i 是纯虚数，得?由此解得 a?12a0， 2。 答案：B 2若 a，bR，i 为虚数单位，且 (ai)ibi，则( ) Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 解析：由(ai)ibi，得1aibi，根据两复数相等的充要条件得 a1，b1。 答案：D 53i3i 是虚数单位，复数( ) 4iA1i B1i C1i D1i 5
6、3i?53i?4i?205i12i3i21717i解析：171i。 24i?4i? 4i?16i答案：C z4若复数 z满足2i，则 z对应的点位于第_ 象限。 1i 解析：z2i(1i)22i，因此 z对应的点为(2,2)，在第二象限内。 答案：二 3i5若复数 z满足 zii，则|z|_ 。 3i解析：因为 zii13ii14i，则|z| 17。 答案： 17 课堂学案课堂学案 考点通关考点通关 考点例析考点例析 通关特训通关特训 考点一考点一 复数的有关概念 z1z1【例 1】 (1)已知 aR，复数z12ai，z212i，若z为纯虚数，则复数z的22虚部为( ) 2A1 Bi C.5
7、D0 (2)复数 z满足(z3)(2i)5(i 为虚数单位)，则 z的共轭复数z为( ) A2i B2i C5i D5i z12ai?2ai? 12i?22a4az1解析：(1)由z55i 是纯虚数，得 a1，此时z512i22i，其虚部为 1。 5(2)由题意得 z32i，所以 z5i。故 z5i，应选 D 项。 2i答案：(1)A (2)D ?名师点拨 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。 (2)解题时一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形
8、式，以确定实部和虚部。 10通关特训 1 (1)设 i 是虚数单位，若复数 a(aR)是纯虚数，则 a 的值为3i( ) A3 C1 B1 D3 (2)若复数 z1i(i 为虚数单位)，z是 z的共轭复数，则 z2 z2的虚部为( ) A0 C1 B1 D2 10?3i?10解析：(1)aa(a3)i 为纯虚数，a30，即 a3，3i?3i?3i?(2)z2z2(1i)2(1i)20，z2 z2的虚部为 0，故选 A。 答案：(1)D (2)A 故选 D。 考点二考点二 复数的几何意义 【例 2】 (1)如图，在复平面内，点 A 表示复数 z，则图中表示 z的共轭复数的点是( ) AA CC
9、( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 BB DD (2)已知复数 z的共轭复数 z12i(i 为虚数单位)， 则 z在复平面内对应的点位于 (3)若复数 z满足(34i)z|43i|，则 z的虚部为( ) A4 C4 4B5 4D.5 解析：(1)复数 z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称。 (2)由z12i，得 z12i，故复数 z对应的点(1，2)在第四象限。 (3)(34i)z|43i|， 5?34i?534z55i。 34i?34i? 34i?4故 z的虚部为5，选 D 项。 答案：(1)B (2)D (3)D ?名师点拨 对复数几何意义的理解及应用 (1)复数
10、 z、复平面上的点 Z 及向量OZ相互联系，即 zabi(a，bR)? Z(a，b)? OZ。 (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。 通关特训 2 (1)若复数 z满足 iz24i，则在复平面内， z对应的点的坐标是( ) A(2,4) B(2，4) C(4，2) D(4,2) (2)设复数 z1i(i 为虚数单位)，z的共轭复数为 z，则|(1z)z|( ) A. 10 C. 2 B2 D1 24i?24i?i?解析：(1)由 iz24i，得 zi42i，故 z对应点的坐标为i?i?(4，
11、2)。 (2)依题意得(1z)z(2i)(1i)3i，|(1z)z|3i| ?3?212 10，故选 A。 答案：(1)C (2)A 考点三 复数代数形式的运算 【例 3】 (1)已知 i 是虚数单位，则(2i)(3i)( ) A55i C55i 12i(2)2( ) ?1i?1A12i 1C12i B75i D75i 1B12i 1D12i (3)若 i(xyi)34i，x，yR，则复数 xyi 的模是( ) A2 B3 C4 D5 解析：(1)(2i)(3i)65ii255i。 12i12i?12i?i2i1(2)212i。 2?1i?2i?2i?i34i(3)由已知得 xyii43i，
12、故|xyi| 42?3?25。 答案：(1)C (2)B (3)D ?名师点拨 复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略 (1)复数的乘法。复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可。 (2)复数的除法。除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数， 解题中要注意把 i 的幂写成最简形式。 (3)利用复数相等求参数。 abicdi? ac，bd(a，b，c，dR)。 通关特训 3 (1)若复数 z满足 z(2i)117i(i 为虚数单位)，则 z为( ) A35i C35i B35i D35i ?1i?2 014?(2)i 为虚数单位，则?( ) ?1i?Ai Ci B1 D1 117i?117i? 2i?1525i解析：(1)由题意知 z535i，故选 A。 2i?2i? 2i?1i?2 0142 0142?(2)?ii 1，故选 B。 1i?答案：(1)A (2)B
