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1、一、知识点巩固（一）函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意：如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式函数定义域的求法： (1)分式
2、的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.例题：1.求下列函数的定义域（用区间表示）：（1） ； （2） ；32xy )1(2xy（3） ； （4） |)1(0x52.求函数 y= 的定义域212x3.求函数 的定义域6542y复合函数的定义域的求法已知函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 ,则函数 的定)(xfba)(xgnm)(xgf义域为
3、 ，解不等式，最后结果才是.),(nmg例题：1.已知函数 的定义域为（1，3） ，求函数 的定义域)(xf )2()1()xfxfF2.已知函数 的定义域为（2, 5） ，函数 的定义域为（-1,3） ，求函数g的定义域)(xgf3.已知函数 的定义域为(1,3),求函数 的定义域；)1(f )(xf已知函数 的定义域为(3,4),求函数 的定义域x 12函数值域的求法（1）直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数等，其值域可通过观察直接得到。例 求函数 ， 的值域)3,2(,1xy 2,1xy（2）配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一例 求函
4、数 的值域Rxxy,52（3）根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用.例:求 的值域321xy（4）反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 求函数 值域。6543xy6435yx分母不等于 0，即可得 53y例题：1. 求下列函数的值域（用区间表示）：（1） ； ， ，32xyR4,1(x4,1(x（2） 1（3） ； （3）2xy 5482xy（三）函数单调性设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 ，1x2当 时，都有 f( )f(
5、 )，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数，区间 D1x2称为 y=f(x)的单调增区间.当 时，都有 f( )f( )，那么就说 f(x)在这个区间上是减函数，区1x212间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.注意：（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 ， ；当 时，总有 f( )1x21x21xf( )或 f( )f( )x12x（二）图象的特点如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左
6、到右是下降的.(三)函数单调区间与单调性的判定方法(1) 定义法：任取 ， D，且 ；2 作差 f( )f( )；3 变形（通常是因式分解1x21x1x2和配方）；4 定号（即判断差 f( )f( )的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间 D 上的单调性） (2)图象法(从图象上看升降)复合函数 y=fg(x)在公共定义域上的单调性的判断 对于函数 y=f(u)和 u=g(x)，如果 u=g(x)在区间(a,b)上是具有单调性，当x(a,b)时，u(m,n)，且 y=f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y=f(g(x)在区间(a,b)JP具有单调性的规律见下表：y=f
7、(u) 增 减u=g(x) 增 减 增 减y=f(g(x) 增 减 减 增以上规律还可总结为：“同增异减” 例题1.判断下列函数在区间 的单调性,0（1） （2）4xy42xy2.求下列函数的单调区间（1） （2） 3232xy3.判断并证明函数 的单调性),()(3是 常 数aRxf三、课堂练习312 1233121221 2212213(), ,()()()43,0,()0()(fxaxffxaxxxxffffaQ在 上 是 增 函 数 。 证 明 如 下设 是 R上 任 意 两 个 实 数 ， 且 则即在 R上 是 增 函 数1、求下列函数的定义域：（1） （2） 4152xy 325x
8、y2、设函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为_ _ _；函数)(f0， )(f的定义域为_； (xf3、求下列函数的值域：（1） 23y ()xR （2） 23yx 1,2x （3）1x（6） 245 4、求下列函数的单调区间： 23yx 23yx 5、函数 在 上是单调递减函数，则 的单调递增区间是 )(f),0)1(2f6、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） 3)5(1xy， 52xy； 1xy ， )1(2xy ； f)(， 2)(g ； f)(， 3()g； 215x， 5xf。 A、 B、 、 C、 D、 、7、若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（ ）1)(2m
9、f RmA、 B、 C、 D、40m404408、函数 的定义域是（ ）)(2xxfA、 B、 C、 D、2,), ),2(),(U2,9、函数 ，若 ，求 )2(1)(xf 3)(xf10、讨论函数 在(0,+)上的单调性f课后作业1、函数 的定义域为（）1yxA B C D.|x |0 |10x 或 |1x 2、下列函数中，定义域为 的是（ ）),(1xy、 21xy、 21xy、 31xyD、3、下列各组函数是同一函数的是 （ ） 与 ； 与 ；3()f()g()f2()g 与 ； 与 。0x01x21x(1ttA. B. C. D.4、下列函数中，在 上单调递减的是（ ）),(3xyA、 21xyB、 2xyC、 2xyD、5、设函数 是 上的减函数，则有 （ ）()fabRA. B. C. D. 12a212a 12a6、函数 是将函数 （ ） )(xyxyA.左移 1 个单位、上移 2 个单位得到的 B.右移 2 个单位、上移 1 个单位得到的C.下移 2 个单位、右移 1 个单位得到的 D.上移 2 个单位、右移 1 个单位得到的7、已知 f(x)是定义在(2，2)上的减函数，且 ，实数0)()1(mff的取值范围m8、判断函数 在区间 的单调性并证明xf3)(2),2(
