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1、第三章 功和能3-1 汽车在平直路面上行驶，若车与地面间的摩擦力恒定，而空气阻力与速度的平方成正比设对于一辆质量为 1500kg 的汽车总的阻力（其中 F 以 N 为单位， v 以 m/s 为单位） ，求当车速为 60 28130v.Fkm/h，加速度为 1.0m/s2 时，汽车引擎所损耗的瞬时功率分析 作用力的瞬时功率等于该力与物体获得的速度的乘积解 当汽车的加速度为 a 时，引擎牵引力为 F1，应用牛顿第二定律，运动方程为 maF1则 21 8130v.根据瞬时功率的定义，汽车引擎所损耗的瞬时功率为 W103.8 3601360183015 422 )(.()vvmaFP3-2 如习题 1
2、-7 所述，若海岸高 h = 10 m，而猛烈的大风使船受到与绳的牵引方向相反的恒定的作用力 F = 5000 N，如图 3-2 所示当岸上的水手将缆绳由 50 m 收到 30 m 后，求缆绳中张力的改变量，以及在此过程中水手所作的功分析 水手拉缆绳的过程中，是通过缆绳将力作用在船上实现船体运动作的功由于缆绳中的张力是变力，直接计算它的功比较困难根据动能定理，合外力的功等于物体动能的增量，船在此过程中开始前和结束Fh 图 3-2 后都保持静止，船只在水平方向发生位移，水平方向只受缆绳张力水平分量和恒定阻力 F 作用，则水手通过缆绳张力所作的功的量值应等于恒力 F 所作的负功解 缆绳长度由 l1
3、=50 m 收到 l2=30 m 的过程中，位移为 s，水手作的功为 J 10.35J 1031050 22 ()hllFsW设此过程中开始前缆绳张力为 FT1、结束后为 FT2，它们的水平方向分量都应与恒力 F 等大而反向，因此有lh12T lh2T则 N 20 1501305 22212T12 hllF3-3 质点沿 x 轴运动，由 x1 = 0 处移动到 x2 = 4 m 的过程中，受到力的作用，其中 x0 = 2 m， F0 = )1(0F8 N，作出 F x 曲线，求在此期间力 F 对质点所作的功分析 当质点沿 x 轴作直线运动时，如果外力是质点位置坐标 x 的函数 ，)(xF质点从
4、位置 x1 运动到 x2 的过程中，根据功的定义，该力所作的功为 ，即21dxW)( F 0 x0 x2 x图 3-3为 F x 图像中 x1 到 x2 区间曲线 与 x 轴线包围面积的代数和)(F解 根据题意， F x 曲线如图 3-3 所示按照功的定义，有0J 428 2d1d02121)( )()(xFxWxx由图 3-3 可见， x1 到 x2 区间曲线 与 x 轴线包围面积的代数和为零，与)(上面的计算结果一致3-4 在 x 轴线上运动的物体速度为 v = 4 t 2 + 6（其中 v 以 m/s 为单位，t 以 s 为单位） ，作用力 （其中 F 以 N 为单位， t 以 s 为单
5、位）沿 x 轴3tF正向试求在 t1 = 1 s 和 t2 = 5 s 期间，力 F 对物体所作的功分析 当质点沿 x 轴作直线运动时，如果外力是时间 t 的函数 ，根)(tF据功的定义 ，无法直接积分计算，通常可利用微分关系式21dxFW)(，将积分变量转换为时间 t 进行计算积分变量代换后，积分ttxdv的上下限也要作相应的代换解 根据功的定义 J 921834d18624 d6d21 212121 23 tt ttx tttFW)( )()v3-5 在光滑的水平桌面上固定有如图 3-5(a)所示的半圆形屏障，质量为 m的滑块以初速 v0 沿屏障一端的切线方向进入屏障内，滑块与屏障间的摩擦
6、系数为 ， （1 ）证明当滑块从屏障另一端滑出时，摩擦力对它所作的功为；（2）说明上述结果为什么与圆弧半径无关)(1e20mW分析 当外力无法表示成位移的函数时，功就不能直接由定义式积分进行计算如果能确定物体初末状态的速度，可以应用动能定理，求出物体动能的增量就等于合外力对物体所作的功证 （1）首先应计算出滑块从屏障另一端滑出时的速度设滑块在屏障中位于如图 3-5(b)所示的位置，在竖直方向无运动，在水平面内受到屏障压力 FN 和摩擦力 Ff 作用，此时速度为 v，设屏障半径为 R，应用牛顿第二定律所得运动方程为法向：2mFN切向： tdfv由于 Ff FN，得 Rt2利用关系式 ，上式可写为
7、ddvvRtt(1)v由初末条件：当 时， ；当 时， ，将上式分离变量并积分：00v(2)0d0v得滑块从屏障另一端滑出时的速度为(3)e0vFfv0 v FN （a） （b）图 3-5则摩擦力在此期间所作的功为 )(1e2121200vvmW（2）由（1 ）和（2）式可以看出，当滑块发生角位移 时，速度的变化d只与角位移 有关，与半径无关，因此（3）式给出的末速度也只与半圆的张d角有关，这就导致最终结果与圆弧半径无关了3-6 一个质点在指向中心的平方反比力 的作用下，作半径为 r 的2rkF/圆周运动，求质点运动的速率和总机械能 （提示：选取距力心无穷远点的势能为零 ）分析 与物体间距离平
8、方成反比的力是自然界中普遍存在的一种力，例如万有引力和电荷间的库仑力如果该力指向中心，计算势能时，从空间任意一点到势能零点（无穷远点）积分的路径方向与力的作用方向相反，积分表达式的矢量乘积变为标量乘积后要取负号解 质点只在指向中心的力 的作用下作圆周运动，当速率为 v 时，2rkF/法向加速度为 ，则质点的法向运动方程为r/2vrmk22v得 选取距力心无穷远为势能零点，则势能为 rkErrd2pF总机械能为 rkrkm221pkv3-7 在力 的作用下，质点在 xy 平面内运动，(1) 分别计算)(jiFyx质点由原点 O 经路径 OBA 和路径 OA 移动到达 A 点该力所作的功，其中 A
9、B是以 O 为圆心 R 为半径的一段圆弧，如图 3-7（a）所示；(2)计算沿任意路径由位置 P(x1 , y1)到 Q(x2 , y2)该力所作的功，并由此证明该力是保守力分析 解 （1）根据功的定义，经路径 OBA 该力所作的功为 BAOBOBAWsFssFd d 1由于力 ，即沿原点指向质点所在位置的方向，所以有rjiFkyxk)(从图 3-7（a）可以看出，在路径 OB 上，力的方向与位移方向rsd相同 ；在路径 BA 上，力的方向与位移方向垂直，xk，因此可得0rFs 201 1d d kRxkWROBBAOB sFs同理，经路径 OA 该力所作的功为 201 krkROAAOA r
10、s（2） P 点的径矢大小为 r1， Q 点的径矢大小为 r2，则 ，11yx取任意路径 L 如图 3-7（b）所示，则yxry y AL FR ds F Pr1 r dr Qr2O OB x x （a） （b）图 3-7 )()()( 212121 d d2yxkrkrWrLL Fs结果表明，沿任意路径力 F 所作的功与路径无关，只与 P 点和 Q 点的位置有关，表明力 F 为保守力3-8 沿 x 轴运动的某粒子的势能是其位置 x 的函数BAxU2)(据此所作的势能曲线如图 3-8 所示(1)试求粒子势能最小值所对应的运动的平衡位置；(2)当粒子的总能量 时，粒子将被约束在一定范围内振动，求
11、AE82粒子往返运动的转折位置分析 是粒子物理、固体物理和材料科学中描述粒子间相互nmxBAU)(作用经常出现的势能函数，对它的研究和讨论有十分重要的实际意义这里仅就最简单的情况，即 进行分析，获得粒子运动状态的初步印象12,当粒子的能量比较小时，将在平衡位置附近作简谐振动，因此平衡位置和往返运动的转折位置就有重要意义解 （1）由 可得势能0dxU)(函数最小值的位置，即 2d23xBAx)(解得 （2）在往返运动的转折点处，粒子的速度为零，即动能为零，总能量应等于粒子的势能，即 ABxU822)(图 3-8 可得 0822ABx解得 x17.B362.3-9 马拉雪橇上坡，从坡底到坡顶是一段
12、半径为 R 弧长为 的圆弧形山6坡假设马的拉力始终沿圆弧的切线方向，雪橇的质量为 m，雪橇与雪地间的滑动摩擦系数为 ，求在这段路程中马所作的功分析 在物体运动过程中，有摩擦力等非保守力存在时，应用功能原理计算外力的功比较便捷，外力和非保守内力的功等于物体系机械能的增量解 以雪橇为研究对象，受力情况如图 3-9 所示，如果始末时刻雪橇为静止状态，在上坡过程中，马的拉力的功和摩擦阻力的负功之和等于雪橇重力势能的增量由于此过程雪橇高度的增加为 ，因此重力势能的增量为)cos(61R当雪橇所在位置的法线方向与竖直方向夹角为 时，摩擦力)cos(61mgR ，位移 ，应用功能原理，马的拉力的功为gFNf
13、 ds)cosin( )cos(61 6106f mgRmgRgW3-10 用 的初速度将一质量为 的物体竖直上抛，所/s 20v kg 50.达到的高度是 ，求空气对它的平均阻力16h分析 物体所受到的空气阻力是外力，重力是物体和地球组成的系统的内力，根据功能原理，空气阻力所作的功应等于系统机械能的增量应在选取了势能零点后，确定系统的初末状态的机械能，计算出系统机械能的增量F FNFfR mg6图 3-9 解 取物体抛出点为重力势能零点，则物体初始机械能为 ，达201vmE最高点时机械能为 ，设空气对它的平均阻力为 F，应用功能原理得mghE2 201vmghF则 N 1.35 896502
14、0 ).(.)(hv3-11 质量分别为 m1、 m2 的二物体与劲度系数为 k 的弹簧连接成如图 3-11（ a）所示的系统，物体 m1 放置在光滑桌面上，忽略绳与滑轮的质量及摩擦当物体达到平衡后，将 m2 往下拉 h 距离后放手，求物体 m1、 m2 运动的最大速率分析 应用机械能守恒定律解力学问题时，系统的选取十分重要选定系统后，要区分内力和外力、保守力和非保守力以及作功的力和不作功的力仅当外力和非保守内力所作的功均为零时，才能应用机械能守恒定律本题中m1、 m2 二物体连接在一起，位移大小、速率和加速度的大小都相同忽略绳与滑轮的质量及摩擦的情况下，张力 FT 和 FT 为一对内力，大小相等，方向分别与物体运动方向相同和相反，因此系统运动过程中二力的功之和为零解 以弹簧与二物体组成的弹性系统以及物体与地球组成的重力系统为研究对象，二物体受力情况如图 3-11（b）
