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1、- 1 -北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2015.1第卷（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1设集合 ， ，则集合 （ ）1,0A2|BxABI（A） （B） 1,0（C ） 0,1（D） 1,3在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b ， c. 若 ， ，则（ 2ab3sin4B）（A） 3（B） 6（C ） 3sinA（D） 2sin3A4执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ）（A）（B） 5（C ） 6（D） 72设命题 ：
2、 平面向量 和 ， ，则 为（ ）pab|abp（A） 平面向量 和 ，|ab （B） 平面向量 和 ，ab|（C ） 平面向量 和 ，ab|ab（D） 平面向量 和 ， | aba=2，x=3开始yx=x+1103x输出 x结束否是- 2 -5设函数 ， ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）()3cosfxbxR0b()fx（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件8. 设 D 为不等式组 表示的平面区域，点 为坐标平面 内一点，若对于1,2xy (,)BabxOy区域 D 内的任一点 ，都有 成立，则 的最大值等于（ ）(,)AOur
3、（A）2 （B）1（C ）0 （D）36一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A）最长棱的棱长为 6（B）最长棱的棱长为 3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形（D）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线 ，点 ，O 为坐标原点，若在抛物线 C 上存在一点 ，使得2:4Cyx(,0)PmQ，则实数 m 的取值范围是（ ）90OQP=o（A） (4,8) （B） (4,)+（C ） （D） 8侧(左)视图正(主)视图俯视图2 211 111- 3 -第卷（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9
4、. 复数 ，则 _2i1z|z10设 为双曲线 C： 的左、右焦点，点 P 为双曲线 C 上一点，如果12,F21(0)6xya，那么双曲线 C 的方程为_；离心率为_.12|4P11在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么_ xyz12 如图，在 中，以 为直径的半圆分别交 ， 于ABCABC点 ， ，且 ，那么 _； _EF2EF13现要给 4 个唱歌节目和 2 个小品节目排列演出顺序，要求 2 个小品节目之间恰好有 3 个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是_. （用数字作答）14. 设 P，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正
5、方体绕着直线 PQ 旋转 （ ）2x3ya 21258zEFCBA - 4 -角后能与自身重合，那么符合条件的直线 PQ 有_条. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 , xR 的部分图象如图所示.()23sincos42xfx（）求函数 的最小正周期和单调递增区间；（） 设点 B 是图象上的最高点，点 A 是图象与 x 轴的交点，求 的值. BAOtan16 （本小题满分 13 分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果 获利 40% 不赔不赚 亏损 20%概 率 121
6、838（2）购买基金：投资结果 获利 20% 不赔不赚 亏损 10%概 率 p13q（）当 时，求 q 的值；14p=（）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于 ，求 的取值范围； 45p（）丙要将家中闲置的 10 万元钱进行投资，决定在 “投资股市”和“购买基金”这A xBOy- 5 -两种方案中选择一种，已知 ， ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投12p=6q资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由17 （本小题满分 14 分）如图，在四棱柱 1DCBA中， 底面 ABCD， ， BCAD/，90o且 ，点 E 在棱 A
7、B 上，平面 与棱 相交于点 F.12AB1E1（）证明： 平面 ；1F1（）若 E 是棱 AB 的中点，求二面角 的余弦值；1ACD（）求三棱锥 的体积的最大值.1BA18 （本小题满分 13 分）已知函数 和 的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相2()(0)fxab(lngx同.（）若点 P 的坐标为 ，求 的值；1(,)e,ab（）已知 ，求切点 P 的坐标.ab19 （本小题满分 14 分）已知椭圆 C： 的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点 满216xy (,0)4Pm足条件 .|FAeP（）求 m 的值；B CD A B1 C1 E F A1 D1- 6 -（）设过
8、点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 和 的面积分别为PFN， ，求证： .1S212|SPN20 （本小题满分 13 分）设函数 ，对于任意给定的 位自然数 （其中 是个位数()9)fxm012mnaL1a字， 是十位数字， ） ，定义变换 ： . 并规2aLA012()()()nfff定 记 ， ， ， ， (0)A10()nA21()nLkk（）若 ，求 ；0505（）当 时，证明：对于任意的*()mN位自然数 n均有1()0mA；3m（）如果 ，写出 的所有可能取值.（只需写出结论）*01(,3)nNn- 7 -北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末高
9、三数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1 C 2D 3A 4C 5 C 6D 7B 8A二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 10 12146xy511 12 74 313 14 6 3注：第 10，12 题第一问 2 分，第二问 3 分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：因为 ()23sincos42xxfx 2 分= ， 4 分si()26所以 .41T故函数 的最小正周期为 . 6 分()fx由题
10、意，得 ，226xkk - 8 -解得 ，42+33kxk 所以函数 的单调递增区间为 . 9 分()f 42,+,()3kkZ（）解：如图过点 作线段 垂直于 轴于点 .BCx由题意，得 ， ， 34TA2所以 .tanO 13 分 16 （本小题满分 13 分）（）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以 + + =1. 2 分p13q又因为 ， 4=所以 = 3 分 q512（）解：记事件 A 为 “甲投资股市且盈利”，事件 B 为“乙购买基金且盈利”，事 件 C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 4 分则 ，且
11、A，B 独立. B=U由上表可知， ， . 1()2P()p=所以 5 分()+(1)p=-. 6 分2因为 ，4()5PC+所以 . 7 分3p又因为 ， ，1q=0A xO CBy- 9 -所以 .23p所以 . 8 分5（）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记 X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 的分布列为：X4 0 2P1283 9 分 则 . 10 分13540()284EX假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记 Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元） ，所以随机变量 的分布列为：YY 2 0 1P136 11 分则 . 12 分1520()36EY
12、因为 ，X所以丙选择“投资股市” ，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大 13 分17 （本小题满分 14 分）（）证明：因为 1DCBA是棱柱，所以平面 平面 .又因为平面 平面 ，平面 平面 ，I1EF1ABCDI11EFA所以 . 2 分1AFC又因为 平面 ， 平面 ，1B1- 10 -B CA1 D1D A B1 C1 E F xyzM 所以 平面 . 4 分1AF1BCE（）解：因为 底面 D， ，90Ao所以 ， ， 两两垂直，以 A 为原点，以 ， ， 分别为 轴、 轴1 BD1xy和 轴，如图建立空间直角坐标系. 5 分z则 ， ， ，1(0,2)A(,0)E(2,10)C所以 ,
