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1、第 1 页 版权所有 不得复制年 级 高二 学科 数学内容标题 复数的有关概念和复数的代数表示法及几何意义编稿老师 李小强一、教学目标：理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念. 二、教学重、难点复数及其相关概念的理解，区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系是教学重点；复数及其相关概念的理解是教学难点.三、知识要点分析：（一）数系的扩充和复数的概念1复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数 i 可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如 ()abiR且的数叫做复数，并且把 ()zabR且的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的 a 叫做复数的实部，b 叫复数的虚部注意复数 132
2、i的虚部是 3，而不是 3i.2复数相等的充要条件abicdiac且 ()bdacR且注意事项：（1）复数 abi0)(0)(biaib实 数 纯 虚 数虚 数 非 纯 虚 数（2）复数集 CR实 数 集虚 数 集（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.（二）复数的几何意义1复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是：复数集 abiCR且|与坐标系中的点集 ()|abR且，可以建立一一对应的关系.即复数集 i且| 坐标系中的点集 ()|ab且1sur对 应2建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是，y
3、 轴的单位是 i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点 (0)且对应复数 0.即：复数 复平面内的点 .biazsur对 应 )b,a(z第 2 页 版权所有 不得复制3由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：即：复数 平面向量 biaz1sur对 应 Oz在这些意义下，我们就可以把复数 abi说成点 z 或向量 ，这给研究复数运算的几何意义带来了方便.4复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数 abi的模为 2zab，复数zabi的模也称为复数的绝对值.【典型例题】考点一：复数的概念及其代数形式的研究：例 1. 设 z 为实数时，实数 a 的值是（ ）22a5(15)4aiA. 3 B. 5
4、 C. 3 或5 D. 3 或 5解：复数 a+bi 为实数，则 b=0，所以 有意义24210且选 A例 2实数 m 取何值时，复数 是22z=(+5m6)(-5)i（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数解： 2z=(+56)(-1)i因为 mR，所以 z 的实部为 ，虚部为 .2-1（1）要使 z 为实数，则虚部为 2=3-50且所以 m=5 或 m=3 时 z 为实数（2）要使 z 为虚数，则 2m1 且 m -所以 m5 且 m3 时 z 为虚数 .（3）要使 z 为纯虚数，则25602所以 m=2 时 z 为纯虚数.说明：复数的虚部为 0 是复数为实数的充分必要条件，无论实部是什么；复
5、数虚部不为 0是复数为虚数的充分必要条件；复数的实部为 0，虚部不为 0 是复数为纯虚数的充分必要条件，应注意两个条件都成立.复数 a+bi（a,b 为实数）中实部为 a，虚部为 b，虚部是一个实数.考点二：复数坐标形式的研究：例 3在复平面内，复数 表示的点位于第二象限.试求实223aaiz()数 a 的取值范围 .解：根据复数的几何意义，复数 表示的点就是 P22i.22a)且第 3 页 版权所有 不得复制要使 P 位于第二象限，需使20213aa,且所以 时 z 表示的点 P 位于第二象限.21a例 4. 复数 对应的点在虚轴上，求实数 a 的值.22ai()()解：复数 对应的点在虚轴
6、上，所以z 20解得:a=0 或者 a=2.说明：原点既在实轴上也在虚轴上.所以虚轴上的点可以表示实数，虚轴上的点除了原点以外表示纯虚数.考点三：复数向量形式的研究：例 5. 复平面内， O 为坐标原点，向量 对应的复数是 32i .如果点 A 关于原点的urOA对称点为 B，求出 B 对应的复数.解：由于 A，B 关于原点对称，A 对应的复数为 32i，所以 A 的坐标为（3，2）所以 B 的坐标是（3，2） ，所以 B 对应的复数为3+2i.考点四：复数的比较与相等：例 6. 若不等式 ，求实数 m 的值.2234310mimi()()且解：复数之所以可以比较大小是因为两个复数都是实数所以
7、要使不等式 .22ii且必须使 21034m且解得：m=3考点五：复数的模的考查：例 7. 已知复数 z 满足 z+|z|=2+8i，求 z.解：z 为复数，|z|为非负实数.所以 z+|z|=2+8i 可以化为 z=2|z|+8i28|(|)2 2641715zzzii|本节涉及的思想方法：1. 方程的思想方法.2. 不等式的方法.3. 一一对应的数学思想.第 4 页 版权所有 不得复制【模拟试题】 （答题时间：90 分钟）一、选择题 1复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个分别为 ,21,21ii那么第四个顶点对应的复数是（ ）A. i2 B. i2 C. i2 D. i2若复数（m
8、23m4）（m 25m6） 是虚数，则实数 m 满足（ ）A. m1 B. m6 C. m1 或 m6 D. m1 且 m6 3下列命题中，假命题是（ ）A. 两个复数不可以比较大小 B. 两个实数可以比较大小C. 两个虚数不可以比较大小 D. 一虚数和一实数不可以比较大小4. 在复平面内，复数 z=sin 2i cos 2 对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限5. 已知 0a，复数 的实部为 a，虚部为 1，则 z的取值范围是（ ）A (1)， B (13)， C (5)， D (13)，二、填空题6. 复数 2()()()aaiaR不是纯虚数，则有 _.7. 已
9、知复数 z 与（z +2） 28i 均是纯虚数，则 z = .三、解答题8. 已知复数 z1，z 2 满足 ，且 为纯虚数，求证：21215021z为实数.21z39. 已知关于实数 yx,的方程组 iibyxai89)4()(,3有实数根，求实数,ab的值.10. 已知 a 为实数，问复数 对应的点在第几象限？复22zi数 z 对应的点的轨迹是什么？11. 若复数 z 满足|z| 23|z|+20，复数 =3+4i，复数 z， 在复平面内对应的点分别是 P，Q.则|PQ| 的最大值是多少？12. 已知复数 z1=2cos+1+（4sincos）i （， 为锐角） ， ，若 ，23i12z求
10、+.第 5 页 版权所有 不得复制【试题答案】一、选择题1. C 解析：三个复数对应的三个点分别为 A（1，2） ，B（2，1） ，C （1，2） ，若 D 点使 ABCD 为正方形，则 AC 和 BD 的中点为同一个点，所以 D（2，1）对应的复数为 2i2. D 解析：（m 23m4）（m 25m 6） i是虚数，则 m25m60，所以m1 且 m63. A 解析：两个复数都是实数时两个复数可以比较大小4. D 解析：sin20，cos2 0，所以 z=sin 2icos 2 对应的点位于第四象限.5. C 解析： 2115Qzaaz| |二、填空题6. 解析：复数 不是纯虚数，则 ，2i
11、R()(|)()20a所以 a0 且 a27. 解析：设 z=bi，则（z+2） 28i=（bi+2） 28i=4b 2+（4b8）i 也是纯虚数，所以 4b 2=0 且 4b80，所以 b=2，即 z=2i三、解答题：8. 证明：由题意可知 （k 为实数） ，则iz2121zki代入 1250得 22z)i()ki(化简得： 2249iz0k112248,893,3Rizkm且且9. 解：a、b、x、y 为实数则且5x3a1429248yabxb10. 解：设 z=x+yi，由22(1)3( 1ay得：z 的实部为正数，虚部为负数，所以表示 z 的点在第四象限内.22xa4)y2x3(1ya且所以复数 z 对应的点的轨迹是一条射线，其方程是 y=2x（x3）第 6 页 版权所有 不得复制11. 解：依题意：1|z|2.点 P 在以原点为圆心，半径为 1 和 2 的两圆围成的圆环上，=3+4i 对应的点 Q 的坐标是（ 3，4） ，|=5 ，所以|PQ|的最大值是 5+2=7.12. 解：因为 ，所以12z ,且1coscos1224in33in由 ， 为锐角，所以 ，且6所以 .且223
