空间向量及其运算专题

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1、空间向量 编辑教师 苏立艳11.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律： ;abrr加法结合律： ;数乘分配律：()()cr .()abrr2.共线向量与共面向量: (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意两个向量总是共面的(3)共线向量定理：对空间任意两个向量 的充要条件是存在实数 使 ;(0),/abrr、

2、 abr推论：如果 为经过已知点 A 且平行于已知非零向量 的直线，那么对任一点 O，点 P 在直线 上的充要条件是存l ar l在实数 ,满足等式 .其中向量 叫做直线 的方向向量.tOPturrl(4)共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 ，使 . abrpr,abr ,xypaybur推论：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 ，使 或对空间MPABr任一定点 O，有 .MxAyBurru3.空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序,abcr ur实数组 x、 y、 z，使 .pxy

3、zr其中 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量,abcr ,cr推论：设 O、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、 y、 z, 使 (这里隐含 x+y+z1).Pxyzuur注：设四面体 ABCD 的三条棱，空间向量 编辑教师 苏立艳2其中 Q 是BCD 的重心，则向量 用 即证. ,ABbCcDdurru1()3AabcurrQAMurQ4.两个向量的数量积(1)向量 的数量积 ,abrcos,;abrrg(2)向量的数量积的性质: ( 是单位向量)； .,ee0;abr2ar(3)向量的数量积满足如下运算律:交换律: ; 与实数相乘的结合律 = ;

4、abr ()r()r(分配律: . 注: 向量的数量积不满足结合律即()car )(abcrr5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常用 来表示在,ijk空间选定一点 O 和一个单位正交基底，如图，以点 O 为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴: 轴、,ijrkx轴、 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点 O 叫原点，向量 都叫做坐标向量，yz ,ijr通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称 xOy 平面、 yOz 平面、z0x 平面作空间直角坐标系 Oxyz 时，一般使x Oy=1350,yOz=90 0对于空间

5、任一向量 ，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组 ,使 ,有序实数组ar 123ar123iajkr叫做 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，记为 = 对于空间任一点 A，对应一个向量 ，123,ar12(,) u于是存在唯一的有序实数组 x，y，z，使 ，即点 A 的坐标为 .Aiyjzurk(,)xyz空间向量的直角坐标运算:设 =(a1,a2,a3), ，则123(,)b , ,123(,)ababr ()aRr ar123,()babR312b空间向量 编辑教师 苏立艳3 1230ababr 2213aar(用到常用的向量模与向量之间的转化： )2r 2321321|,cos

6、 babbarr设 ，则 =12(,)(,)AxyzBz21(,)(,)ABOxyzurr2121(,)xyz这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标则 ，这就是空间两点间的距离公式222111()()()ABdrr6. 法向量：若向量 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ，记作 ，如果aar, 那么向量 叫做平面 的法向量.arr法向量的用法：利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设 是平面 的法向量，AB 是平面 的一条射线，其中 ，nr A则点 B 到平面 的距离为 . (实质是 在法向量 方向上的投影的绝对值)|ABnuru

7、利用法向量可求二面角的平面角定理：设 分别是二面角 中平面 的法向量，则 所成的角,mnurl,mnur就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.lcos|arcos|arrmunr直线 与平面 所成角 ( 为平面 的法向量).ABin|ABur异面直线 间的距离 ( 的公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为12,l|CDdr12,lnrCD、 12,ld空间向量 编辑教师 苏立艳4间的距离). (实质是 在公垂向量 方向上的投影的绝对值 )12,lCDurnr基础训练1. 判断题（ ）（ ） 若 ， ， ， 则 、 、 共 面 。pxaybxR

8、abp()（ ）（ ） 若 、 、 共 面 ， 则 存 在 ， ， 使 。2yxayb2 .在以下四个式子中正确的有（ ）a+bc， a（ bc） ， a（ bc） ， |ab|=|a|b|A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个3.设向量 a、b、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A.a+b，ba，a B.a+b，ba，bC.a+b，ba，c D.a+b+c，a+b，c4 .已知向量 (1，3，2)， (2，0，2)， (0，2，1)， ，则 的模rbrrmur23abcrmur为( )(A) (B) (C)12 (D)1375 . 如图，已知空间四边形 ABCD，M、

9、G 分别是 BC、C D 的中点，连结 AM、AG、MG，则 + B等于( ) (A) (B) (C) (D) 1()2D 12B6 . 若 、 、 三个单位向量两两之间夹角为 ,则| + + |()OAurBCr 60oOurCr(A)6 (B) (C)3 (D)637.已知 a=（1，0） ，b= （m，m ） （m 0） ，则a，b=_.8 A 是BCD 所在平面外一点，M、N 分别是ABC 和ACD 的重心，若 BD=4，试求 MN 的长. _ ABCDE FNM空间向量 编辑教师 苏立艳59 已 知 、 、 两 两 之 间 的 夹 角 为 ， 模 都 为 ， 求abc abc6012

10、|.10.若 a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且 ab，则 x= ,y= .11 .在四面体 O-ABC 中， =a, =b, =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点，则 = (用 a,b,c 表示).AOBCOE12 已知四边形 ABCD 中， = 2 ， =5 +6 8 ，对角线 AC、 BD 的中点分别为 E、 F，ururabcr则 =_EFur13 若 A(1， 2，3) 、B(2，4，1)、C(x ，1，3)是直角三角形的三个顶点，则 x 14 ,0),6),23)(0,47)D这四个点是否共面_ _.(注:共面填“是”,不共面填“否”)15 . 如图直角梯

11、形 OABC 中，COAOAB ，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1 ，以 OC、OA、OS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系 O-xyz.求 的大小（用反三角函数表示）；SBur与 的 夹 角设 (1,),:npqnSr满 足 平 面 求 OA 与平面 SBC 的夹角 （用反三角函数表示）；O 到平面 SBC 的距离.;nr的 坐 标 设 _. (1,).:kskrur满 足 且 填 写 kr的 坐 标 为异面直线 SC、OB 的距离为_.（注：只要求写出答案）空间几何中的向量方法16. 如下图，直棱柱 ABCA1B1C1 的底面ABC 中， CA=CB=1，BCA=

12、90，棱AA1=2，M、N 分别是 A1B1、A1A 的中点.（1）求 BN 的长；高考资源网（2）求异面直线 BA 与 1CB1 的余弦值；C1A1B1BCA空间向量 编辑教师 苏立艳6（3）求证：A 1BC1M.17 .如图，在正四棱柱 中，已知 ， 、 分别为 、1DCBA2AB,51EFD1上的点，且B1 .1FDE（）求证： 平面 ；高考资源网（）求点 到平面 的距离.A强化训练 1.有 4 个命题：若 p=xa+yb，则 p 与 a、b 共面；若 p 与 a、b 共面，则 p=xa+yb；若 =x +y ，则 P、M、A、B 共面；若 P、M、A、B 共面，则 =x +y .MPA

13、 MPAB其中真命题的个数是 .答案 22 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA 1=1，则 AC1与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）A. B. C. D.3232433在下列命题中：高考资源网若 、 共线，则 、 所在的直线平行；abab若 、 所在的直线是异 面直线，则 、 一定不共面；ab若 、 、 三向量两两共面，则 、 、 三向量一定也共面；cc已知三向量 、 、 ，则空间任意一个向量 总可以唯一表示 pczbyaxp其中正确命题的个数为 （ A ）A.0 B.1 C.2 D.3图9CDFE1A1BC空间向量 编辑教师 苏立艳74.下列是

14、真命题的命题序号是 . 答案 分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量若|a|=|b|，则 a，b 的长度相等而方向相同或相反若向量 ， 满足| | |，且 与 同向，则 ABCDABCDABABCD若两个非零向量 与 满足 + =0，则 参考答案基础训练1 1 解：（1）正确。（ ） 错 。 当 与 不 共 线 时 成 立 。2ab2 A 解析：根据数量积的定义， bc 是一个实数，a+bc 无意义.实数与向量无数量积，故a（bc）错，|a b|=|a|b|cosa，b| ，只有 a（bc ）正确.答案：A 3 答案：C 解析：由已知及向量共面定理，易得 a+b，ba，c 不共面，故可作为空间的一个基底，故选 C4 B 5 A 6 B 7 答案：458 解：连结 AM 并延长与 BC 相交于 E，连结 AN 并延长与 CD 相交于 E，则 E、F 分别是 BC 及3CD 的中点.现 在 = = = （ ） = = （ ） =MNA32FA32FA32C（ ）