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1、二次函数的几何应用一、选择题（2011安顺）正方形 ABCD 边长为 1，E、F、G、H 分别为边 AB、BC、CD、DA 上的点，且AE=BF=CG=DH设小正方形 EFGH 的面积为 y，AE=x则 y 关于 x 的函数图象大致是（C）A、 B、C、 D、二、填空题（2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4，M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点，且始终保持 AMMN当 BM=2时，四边形 ABCN 的面积最大考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。点评：本题考查了二次函数的性质的运用关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式三、
2、解答题1. （ 2011 江苏淮安，26，10 分）如图，已知二次函数 y= -x2+bx+3 的图象与 x 轴的一个交点为A(4,0)，与 y 轴交于点 B.(1)求此二次函数关系式和点 B 的坐标；(2)在 x 轴的正半轴上是否存在点 P，使得 PAB 是以 AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。专题：综合题。分析：（1）把点 A 的坐标代入二次函数，求出 b 的值，确定二次函数关系式，把 x=0 代入二次函数求出点 B 的坐标 （2）作 AB 的垂直平分线，交 x 轴于点 P，求出点 P 的坐标，若点 P 的横坐标是正数，那么点
3、P 就符合题意，这样的点是存在的解答：解：（1）把点 A（4，0）代入二次函数有： 0=16+4b+3,得：b=所以二次函数的关系式为：y=x 2+ x+3当 x=0 时，y=3, 点 B 的坐标为（0，3） （2）如图：作 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 P，连接 BP，则：BP=AP设 BP=AP=x，则 OP=4x，在直角OBP 中，BP 2=OB2+OP2即：x 2=32+（4x） 2, 解得：x= ，OP=4 =所以点 P 的坐标为：（ ，0）点评：本题考查的是二次函数的综合题， （1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点 B 的坐标 （2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求
4、出点 P 的坐标2. （2011 江苏淮安，28，12 分）如图，在 Rt ABC 中， C=90， AC=8， BC=6，点 P 在 AB 上， AP=2.点E、 F 同时从点 P 出发，分别沿 PA、 PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A、 B 匀速运动，点 E 到达点 A 后立即以原速度沿 AB 向点 B 运动，点 F 运动到点 B 时停止，点 E 也随之停止.在点 E、 F 运动过程中，以 EF 为边作正方形 EFGH，使它与 ABC 在线段 AB 的同侧，设 E、 F 运动的时间为 t 秒（ t0） ，正方形 EFGH 与 ABC 重叠部分面积为 S.(1)当 t=1 时，正方
5、形 EFGH 的边长是 ；当 t=3 时，正方形 EFGH 的边长是 ；(2)当 0 t2 时，求 S 与 t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中，当 t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。分析：（1）当时 t=1 时，可得，EP=1，PF=1，EF=2 即为正方形 EFGH 的边长；当 t=3 时，PE=1，PF=3，即 EF=4；（2）正方形 EFGH 与ABC 重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：当 0t 时；当 t 时；当 t2 时；依次求
6、 S 与 t 的函数关系式；（3）当 t=5 时，面积最大；解答：解：（1）当时 t=1 时，则 PE=1，PF=1，正方形 EFGH 的边长是 2；当 t=3 时，PE=1，PF=3，正方形 EFGH 的边长是 4；（2）：当 0t 时， S 与 t 的函数关系式是 y=2t2t=4t2；当 t 时， S 与 t 的函数关系式是： y=4t 2 = t2+11t3；当 t2 时； S 与 t 的函数关系式是 y= （t+2） （t+2） （2t） （2t）=3t；（3）当 t=5 时，最大面积是： S=16 = ；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼
7、了学生运用综合知识解答题目的能力3. （2011江苏宿迁，27，12）如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，P 为 AB 的中点，Q 为边 CD 上一动点，设 DQ=t（0t2） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N，过 Q 作 QEAB 于点E，过 M 作 MFBC 于点 F（1）当 t1 时，求证：PEQNFM；（2）顺次连接 P、M、Q、N，设四边形 PMQN 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式，并求S 的最小值考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。专题：代数几何综合题。分析：（1）由
8、四边形 ABCD 是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由点 P 是边 AB 的中点，AB=2，DQ=AE=t，又由勾股定理求得 PQ，由PEQNFM 得到 PQ 的值，又 PQMN 求得面积 S，由 t 范围得到 S 的最小值解答：证明：（1）四边形 ABCD 是正方形，A=B=D=90，AD=AB，QEAB，MFBC，AEQ=MFB=90，四边形 ABFM、AEQD 都是矩形，MF=AB，QE=AD，MFQE，又PQMN，EQP=FMN，又QEP=MFN=90，PEQNFM；（2）点 P 是边 AB 的中点， AB2， DQ AE t PA1， PE1
9、 t， QE2由勾股定理，得 PQ 2PEQ 4)1(2t PEQ NFM MN PQ 4)1(2t又 PQ MN S MNPQ2 )(2t 1t2 t 50 t2当 t1 时， S 最小值 2综上： S t2 t 5， S 的最小值为 2点评：本题考查了正方形的性质， （1）由四边形 ABCD 是正方形得到A=B=D=90，AD=AB，又由EQP=FMN，而证得；（2）由勾股定理求得 PQ，由PEQNFM 得到 PQ 的值，又 PQMN 求得面积S，由 t 范围得到答案4. （2011 南昌，25，10 分）如图所示，抛物线 m： y=ax2+b（ a0， b0）与 x 轴于点 A、 B（点
10、 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为C1，与 x 轴的另一个交点为 A1（1）当 a=1， b=1 时，求抛物线 n 的解析式；（2）四边形 AC1A1C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由；（3）若四边形 AC1A1C 为矩形，请求出 a， b 应满足的关系式考点：二次函数综合题专题：代数几何综合题分析：（1）根据 a=1， b=1 得出抛物线 m 的解析式，再利用 C 与 C1关于点 B 中心对称，得出二次函数的顶点坐标，即可得出答案；（2）利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可证明；（3）利用矩形性
11、质得出要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB=BC，即可求出解答：解：（1）当 a=1， b=1 时，抛物线 m 的解析式为： y= x2+1令 x=0，得： y=1 C（0，1） 令 y=0，得： x=1 A（1，0） ， B（1，0） ， C 与 C1关于点 B 中心对称，抛物线 n 的解析式为： y=（ x2） 21= x24 x+3；（2）四边形 AC1A1C 是平行四边形理由： C 与 C1、 A 与 A1都关于点 B 中心对称， AB=BA1， BC=BC1，四边形 AC1A1C 是平行四边形（3）令 x=0，得： y=bC（0， b） 令 y=0，得： ax2+b=
12、0， aby， 0，abA，aB， aA2， OBCB22.要使平行四边形 AC1A1C 是矩形，必须满足 AB=BC， ab2， ab24， ab3 a、 b 应满足关系式ab3点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键5.（2011宁夏，26，10 分）在等腰ABC 中，AB=AC=5，BC=6动点 M、N 分别在两腰 AB、AC 上（M不与 A、B 重合，N 不与 A、C 重合） ，且 MNBC将AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为P（1）当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上？（
13、2）当 MN=x，MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积为 y，试写出 y 与 x 的函数关系式当 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？考点：翻折变换（折叠问题） ；二次函数的最值；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质。分析：（1）首先连接 AP，交 MN 于 O，由 MNBC将AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为P，即可得AMNABC， 21APBCMN，则可求得当 MN 为何值时，点 P 恰好落在 BC 上；（2）此题需要分为当 AO AD 时与当 AO AD 时去分析，首先由AMNABC，求得各线段的长，然后求MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积，即可得关于 x
14、 的二次函数，根据二次函数求最值的方法，即可求得答案解答：解：（1）连接 AP，交 MN 于 O，将AMN 沿 MN 所在的直线折叠，使点 A 的对应点为 P，OA=OP，APMN，AN=PN，AM=PM，MNBC，AMNABC，AOMN， 21APOBCMN，BC=6，MN=3，当 MN=3 时，点 P 恰好落在 BC 上；（3）过点 A 作 ADBC 于 D，交 MN 于 O，MNBC，AOMN，AMNABC， ADOBCMN，AB=AC=5，BC=6，ADBC，ADB=90，BD= 21BC=3，AD=4， 46AOx，AO= 32x，S AMN = 1MNAO= x 32x=1x2，当
15、 AO 2AD 时，根据题意得：S PMN =SAMN ，MNP 与等腰ABC 重叠部分的面积为 SAMN ，y= 31x2，当 AO= AD 时，即 MN= 21BC=3 时，y 最小，最小值为 3；当 AO 21AD 时，连接 AP 交 MN 于 O，则 AOMN，MNBC，APBC，AMNABC，PEFPMNAMN， ADBCMN， POEF，即： 46x， x，AO= 32x， AOEF，EF=2x6，OD=ADAO=4 32x，y=S 梯形 MNFE= 21（EF+MN）OD= 1（2x6+x）（4 32x）=（x4） 2+4，当 x=4 时，y 有最大值，最大值为 4，综上所述：当 x=4 时，y 的值最大，最大值是 4点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识解题的关键是方程思想、分类讨论思想与数形结合思
