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1、1332正视图 侧视图俯视图图 12011 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)数学(理工农医类)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1若 , 为虚数单位,且 则,abRi()aibiA , B 11,aC D,2设集合 则 “ ”是“ ”的2,MNaNMA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3设图 1 是某几何体的三视图,则该几何体的体积为A 92B 8C 4D 3614通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:男 女 总计爱好 40 20 60不
2、爱好 20 30 50总计 60 50 110由 算得, 22nadbcKd22104307.865K2()Pk0050 0010 00013841 6635 10828参照附表,得到的正确结论是A再犯错误的概率不超过 01% 的前提下,认为“ 爱好该项运动与性别有关”B再犯错误的概率不超过 01%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”C有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关 ”5设双曲线 的渐近线方程为 ,则 的值为219xya320xya2A4 B3 C2 D16由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为,0xycosyxA B
3、1 C D12 3237设 m1,在约束条件 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值范围为1yxmA (1, ) B ( , ) 212C (1,3 ) D (3, )8设直线 x=t 与函数 的图像分别交于点 M,N,则当 达到最小时 t 的值2()fx()lngxMN为A1 B C D12522二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应号后的横线上。(一)选做题(请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数)在极坐标
4、系(与直角cos,1inxy坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ,则 C1 与 C2 的交点个数为 cosin010设 ,且 ,则 的最小值为 。,xyR22()(4)xy11如图 2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=4,ADBC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F,则 AF 的长为 。(二)必做题(1116 题)12设 是等差数列 ,的前 项和,且 ,nSna()Nn14,7a则 = 913若执行如图 3 所示的框图,输入 , ,1x23,2x则输出的数等于 。14在边长为 1 的正三角形 ABC 中,
5、 设 则2,3,BCDAEuvuv_ADBEuv315如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内,用 A 表示事件 “豆子落在正方形 EFGH 内” , B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内 ”,则(1)P(A)= _; (2)P (B|A)= 16对于 ,将 n 表示 ,当 时,*N12100 .2kkkkkaaai,当 时, 为 0 或 1记 为上述表示中 ai 为 0 的个数(例如:iaik1()In),故 , ),则021,42I(4)2I(1) _;(2) _;()()1mIn三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分
6、,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC()求角 C 的大小;()求 sinA-cos(B+ )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小。3418 (本小题满分 12 分)某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据:日销售量(件) 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变) ,设某天开始营业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于 2 件,则当天进货补充至 3 件,否则不进货,将频率视为概率。()求当天商品不进货的概
7、率;()记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的分布列和数学期型。19 (本小题满分 12 分)如图 5,在圆锥 中,已知 = ,O 的直径 , 是 的中点, 为 的中PO22ABCDAC点4()证明:平面 平面 ;PODAC()求二面角 的余弦值。B20 (本小题满分 13 分)如图 6,长方体物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为v(v0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:cR(1)P 或 P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与 S 成正比,比例系数vc为 ;(2)其它面的淋雨量之和,其值为 ,记
8、 y 为 E 移动过程中的总淋雨量,当移动距012离 d=100,面积 S= 时。3()写出 y 的表达式()设 0v10,0c5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v,使总淋雨量 y 最少。21 (本小题满分 13 分)如图 7,椭圆 的离心率为 ,x 轴被曲线 截21:(0)xyCab3222:Cyxb得的线段长等于 C1 的长半轴长。5()求 C1,C 2 的方程;()设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别l与 C1 相交与 D,E(i)证明:MDME;(ii)记MAB,MDE 的面积分别是 问:是否存在直线
9、l,使得 ?请说明理12,S1273S由。22 (本小题满分 13 分)已知函数 , .3()fx()gx()求函数 的零点个数。并hf说明理由;()设数列 ( )满足 , ,证明:存在常数 M,使得 na*N10()a1()(nnfag对于任意的 ,都有 nM参考答案一、选择题:6DABCCDAD二、填空题92 109 11 1225 13 14 15 (1) 16 (1)2(2)1093232342,()4三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 (本小题满分 12 分)解析:(I)由正弦定理得 sinsico.CAC因为 0,A所以 0.
10、s0,tan1,4C从 而 又 所 以 则(II)由(I)知 34B于是3sinco()sinco()s2().610,46623AAA Q从 而 当 即 时2sin()取最大值 2综上所述, 3sico()4AB的最大值为 2,此时 5,.312B18解(I) (“当天商品不进货 ”) (“当天商品销售量为 0 件” ) (“当天商品销售PPP量为 1 件” ) .1025()由题意知, 的可能取值为 2,3.X(“当天商品销售量为 1 件” ))( ;41205(“当天商品销售量为 0 件” ) (“当天商品销售量为 2 件” ) (“当P3PP天商品销售量为 3 件” ) .39故 的分
11、布列为X2 3P41的数学期望为 .E19解法 1:连结 OC,因为 ,OACD是 的 中 点 ,所 以 ACOD.又 底面O,AC 底面O ,所以 ,PP因为 OD,PO 是平面 POD 内的两条相交直线,所以 平面 POD,而 平面 PAC,所以平面 POD 平面 PAC。AC(II)在平面 POD 中,过 O 作 于 H,由(I )知,平面7,PODAC平 面所以 平面 PAC,又 面 PAC,所以HP.PAOH在平面 PAO 中,过 O 作 于 G,连接 HG,则有 平面 OGH,PA从而 ,故 为二面角 BPAC 的平面角。G在 2,sin45.RtD中在 2 10, .52PODt
12、PH中在 26, .31ARtAG中在05,sin.63OHtOH中所以 210cos1si .25G故二面角 BPAC 的余弦值为 0.解法 2:(I)如图所示,以 O 为坐标原点,OB、OC、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则,(0,)(1,0)(,)(0,1)(,2)OAP 1(,0)D设 是平面 POD 的一个法向量,1nxyz则由 ,得110,DnPurr10,2.xyz所以 111,(,)zxyn取 得设 是平面 PAC 的一个法向量,22()n8则由 ,220,nPACurr得 2.xzy所以 22,.1,yz取得 。2(1)n因为 1,0(,)0
13、,所以 从而平面 平面 PAC。2.POD(II)因为 y 轴 平面 PAB,所以平面 PAB 的一个法向量为 3(0,1).n由(I)知,平面 PAC 的一个法向量为 2(,1)n设向量 的夹角为 ,则23n和 2310cos.|5由图可知,二面角 BPAC 的平面角与 相等,所以二面角 BPAC 的余弦值为 .20 (本小题满分 13 分)解:(I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为 ,31|20vc故 ,10315(|)(3|1)2yvcvc(II)由(I)知当 时,(0)5;y当 55(13c)10,3vc.vcv时故(),51,0.ycvv(1)当 时,y 是关于 v 的减函数
14、,03故当 min,2.cv时(2)当 时,在 上,y 是关5c0,于 v 的减函数,9在 上,y 是关于 v 的增函数,,10c故当 min50,.vc时21 ()由题意知 .1,2,2,23babaae 解 得又从 而故 C1,C 2 的方程分别为 .1,42xyx() (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程为 .kxy由 得12xyk.0设 是上述方程的两个实根,于是2121,),(),(xyxBA则.,21kx又点 M 的坐标为(0,1) ,所以 2122121 )()(xkxkxyBA .2k故 MAMB,即 MDME.(ii)设直线 MA 的斜率为 k1,则直线 MA 的方程为 解得1,12xykxky由,1021yx或则点 A 的坐标为 .),(k又直线 MB 的斜率为 ,1同理可得点 B 的坐标为 ).,(21k于是22 11 11| |2 |kSMAkn