2011年数学理(湖南)

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1、1332正视图 侧视图俯视图图 12011 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若 ， 为虚数单位，且 则,abRi()aibiA ， B 11,aC D,2设集合 则 “ ”是“ ”的2,MNaNMA充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件3设图 1 是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A 92B 8C 4D 3614通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男 女 总计爱好 40 20 60不

2、爱好 20 30 50总计 60 50 110由 算得， 22nadbcKd22104307.865K2()Pk0050 0010 00013841 6635 10828参照附表，得到的正确结论是A再犯错误的概率不超过 01% 的前提下，认为“ 爱好该项运动与性别有关”B再犯错误的概率不超过 01%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关 ”5设双曲线 的渐近线方程为 ，则 的值为219xya320xya2A4 B3 C2 D16由直线 与曲线 所围成的封闭图形的面积为,0xycosyxA B

3、1 C D12 3237设 m1，在约束条件 下，目标函数 z=x+my 的最大值小于 2，则 m 的取值范围为1yxmA （1， ） B （ ， ） 212C （1,3 ） D （3， ）8设直线 x=t 与函数 的图像分别交于点 M,N,则当 达到最小时 t 的值2()fx()lngxMN为A1 B C D12522二、填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。（一）选做题（请考生在 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数）在极坐标

4、系（与直角cos,1inxy坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，曲线 C2 的方程为 ，则 C1 与 C2 的交点个数为 cosin010设 ,且 ，则 的最小值为 。,xyR22()(4)xy11如图 2，A,E 是半圆周上的两个三等分点，直径 BC=4，ADBC,垂足为 D,BE 与 AD 相交与点 F，则 AF 的长为 。（二）必做题（1116 题）12设 是等差数列 ，的前 项和，且 ，nSna()Nn14,7a则 = 913若执行如图 3 所示的框图，输入 ， ,1x23,2x则输出的数等于 。14在边长为 1 的正三角形 ABC 中,

5、 设 则2,3,BCDAEuvuv_ADBEuv315如图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用 A 表示事件 “豆子落在正方形 EFGH 内” ， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE（阴影部分）内 ”，则（1）P（A）= _; （2）P （B|A）= 16对于 ,将 n 表示 ,当 时，*N12100 .2kkkkkaaai,当 时, 为 0 或 1记 为上述表示中 ai 为 0 的个数（例如：iaik1()In）,故 , ）,则021,42I(4)2I（1） _;（2） _;()()1mIn三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分

6、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c，且满足 csinA=acosC（）求角 C 的大小；（）求 sinA-cos（B+ ）的最大值，并求取得最大值时角 A、B 的大小。3418 （本小题满分 12 分）某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件） 0 1 2 3频数 1 5 9 5试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变） ，设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。（）求当天商品不进货的概

7、率；（）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期型。19 （本小题满分 12 分）如图 5，在圆锥 中，已知 = ，O 的直径 , 是 的中点， 为 的中PO22ABCDAC点4（）证明：平面 平面 ;PODAC（）求二面角 的余弦值。B20 （本小题满分 13 分）如图 6，长方体物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v0） ，雨速沿 E 移动方向的分速度为 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：cR（1）P 或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与 S 成正比，比例系数vc为 ；（2）其它面的淋雨量之和，其值为 ，记

8、 y 为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距012离 d=100，面积 S= 时。3（）写出 y 的表达式（）设 0v10,0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度 v，使总淋雨量 y 最少。21 （本小题满分 13 分）如图 7，椭圆 的离心率为 ，x 轴被曲线 截21:(0)xyCab3222:Cyxb得的线段长等于 C1 的长半轴长。5（）求 C1，C 2 的方程；（）设 C2 与 y 轴的焦点为 M，过坐标原点 O 的直线 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别l与 C1 相交与 D,E（i）证明：MDME;（ii）记MAB,MDE 的面积分别是 问：是否存在直线

9、l,使得 ?请说明理12,S1273S由。22 （本小题满分 13 分）已知函数 ， .3()fx()gx（）求函数 的零点个数。并hf说明理由；（）设数列 （ ）满足 ， ，证明：存在常数 M,使得 na*N10()a1()(nnfag对于任意的 ，都有 nM参考答案一、选择题：6DABCCDAD二、填空题92 109 11 1225 13 14 15 （1） 16 （1）2（2）1093232342,()4三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 12 分）解析：（I）由正弦定理得 sinsico.CAC因为 0,A所以 0.

10、s0,tan1,4C从 而 又 所 以 则（II）由（I）知 34B于是3sinco()sinco()s2().610,46623AAA Q从 而 当 即 时2sin()取最大值 2综上所述， 3sico()4AB的最大值为 2，此时 5,.312B18解（I） （“当天商品不进货 ”） （“当天商品销售量为 0 件” ） （“当天商品销售PPP量为 1 件” ） .1025（）由题意知， 的可能取值为 2,3.X（“当天商品销售量为 1 件” ）)( ;41205（“当天商品销售量为 0 件” ） （“当天商品销售量为 2 件” ） （“当P3PP天商品销售量为 3 件” ） .39故 的分

11、布列为X2 3P41的数学期望为 .E19解法 1：连结 OC，因为 ,OACD是 的 中 点 ,所 以 ACOD.又 底面O，AC 底面O ，所以 ，PP因为 OD，PO 是平面 POD 内的两条相交直线，所以 平面 POD，而 平面 PAC，所以平面 POD 平面 PAC。AC（II）在平面 POD 中，过 O 作 于 H，由（I ）知，平面7,PODAC平 面所以 平面 PAC，又 面 PAC，所以HP.PAOH在平面 PAO 中，过 O 作 于 G，连接 HG，则有 平面 OGH，PA从而 ，故 为二面角 BPAC 的平面角。G在 2,sin45.RtD中在 2 10, .52PODt

12、PH中在 26, .31ARtAG中在05,sin.63OHtOH中所以 210cos1si .25G故二面角 BPAC 的余弦值为 0.解法 2：（I）如图所示，以 O 为坐标原点，OB、OC、OP 所在直线分别为 x 轴、y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则，(0,)(1,0)(,)(0,1)(,2)OAP 1(,0)D设 是平面 POD 的一个法向量，1nxyz则由 ，得110,DnPurr10,2.xyz所以 111,(,)zxyn取 得设 是平面 PAC 的一个法向量，22()n8则由 ，220,nPACurr得 2.xzy所以 22,.1,yz取得 。2(1)n因为 1,0(,)0

13、,所以 从而平面 平面 PAC。2.POD（II）因为 y 轴 平面 PAB，所以平面 PAB 的一个法向量为 3(0,1).n由（I）知，平面 PAC 的一个法向量为 2(,1)n设向量 的夹角为 ，则23n和 2310cos.|5由图可知，二面角 BPAC 的平面角与 相等，所以二面角 BPAC 的余弦值为 .20 （本小题满分 13 分）解：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 ，31|20vc故 ，10315(|)(3|1)2yvcvc（II）由（I）知当 时，(0)5;y当 55(13c)10,3vc.vcv时故(),51,0.ycvv（1）当 时，y 是关于 v 的减函数

14、，03故当 min,2.cv时（2）当 时，在 上，y 是关5c0,于 v 的减函数，9在 上，y 是关于 v 的增函数，,10c故当 min50,.vc时21 （）由题意知 .1,2,2,23babaae 解 得又从 而故 C1，C 2 的方程分别为 .1,42xyx（） （i）由题意知，直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 .kxy由 得12xyk.0设 是上述方程的两个实根，于是2121,),(),(xyxBA则.,21kx又点 M 的坐标为（0，1） ，所以 2122121 )()(xkxkxyBA .2k故 MAMB，即 MDME.（ii）设直线 MA 的斜率为 k1，则直线 MA 的方程为 解得1,12xykxky由,1021yx或则点 A 的坐标为 .),(k又直线 MB 的斜率为 ，1同理可得点 B 的坐标为 ).,(21k于是22 11 11| |2 |kSMAkn