奥数讲座一次不定方程

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1、奥数讲座一次不定方程第 1 页 共 9 页奥数讲座一次不定方程经验谈一次不定方程是一元一次方程的拓展，就是在一元一次方程这个最基础的平面上向上跨了一个台阶，它的解答需要将许多基础的知识进行扩展、综合，也就是要在把基础知识牢牢掌握的前提下进行的升华。思维在解题中得到锻炼，解题又使知识在思维中得到巩固。多多思考，多多练习对学习是大有裨益的。内容综述：我们曾在课堂上学过一元一次方程，例如解方程 ，解这个方程可得。如果未知数的个数不只一个，而是二个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，例如 就是一个二元一次方程。显然这个方程有无数多组解。比如等。这种未知数的个数多于方程的个数的方程（或方程组）

2、就叫做不定方程（或方程组）。不定方程（组），顾名思义，就是方程（组）的解不确定，有的方程（组）有无数多组解，有的方程（组）没有解，有的方程（组）有限组解。我们经常关心这类方程（组）的整数解、正整数解或者有理数解。本期主要研究整系数一次不定方程的整数解，下面若不加声明，方程的系数都是整数。要点讲解：1、二元一次方程的整数解例 1 求方程 的整数解解 若 x,y 为整数解，则方程左边为偶数，而右边是奇数，不能成立，所以方程无整数解。由上例可以得到下面的定理定理 1 若二元一次不定方程 ，a 和 b 的最大公约数不能整除 c，则方程没有整数解。由此，当 a,b 的最大公约数能够整除 c 时，可以用这

3、个最大公约数去除方程两边，从而使 x 和 y 的系数的最大公约数为 1，这样，为了解二元一次不定方程，只要考虑 x,y 的系数的最大公约数是 1（即这两个系数互质）的情形就可以了，一般地，有定理 2 若整数 a,b 互素，则方程 有整数时，同时方程 也有整数解。若 是方程 的一个整数解，则 是方程 的一个整数解。 例 2 求方程 的整数解解 设 x,y 是已知方程的整数解由 x,y 之中较小的系数 4 去除各项得奥数讲座一次不定方程第 2 页 共 9 页把 和 中的整数分离出来，得 因为 5-y 和 x 都是整数，则 也是整数，设 ，k 为整数，则，把 代入已知方程得所以 是方程的整数解，并且

4、当 k 取遍所有整数时，就得到方程的所有整数解。当 k=0，得 x=4,y=1，这是方程的一组解，而解的表达式中 k 的系数 5 与 4，也是已知方程中 y 与 x 的系数。一般地。有下面的规律。定理 3 如果 a，b 互素，且方程 有一组整数解 ，则此方程的所有整数解可表示为。这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明。由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解。例 3 求方程 的正整数解。解 因 3 和 5 互素，所以原方程有整数解，首先观察出方程 的一组整数解。显然， 即 x=2,y=-1 是方程的一组解。于是 x=56,y=-28 是已知方程的一

5、组解，故原方程的所有整数解为为求正整数解，可以解不等式组得 。即 k=-10,-11,此时原方程的正整数解为奥数讲座一次不定方程第 3 页 共 9 页说明 对于系数较大的不定方程，用观察法去求其特殊解比较困难，这时可以用分离整数法或辗转相除法求其特解。例 4 求方程 的所有正整数解。 解 用 x,y 中较小的系数除方程各项得分离整数为 因为 x,y 是整数，故 也是整数，于是有 。再用较小的系数 5 除以方程各项，得含 （整数），由此得由观察和 是方程的一组解，将 代入得 y=2,y=2 代入得 x=25，于是方程有一组解 x=25,y=2，所以原方程的一切整数解为（t 为整数）由于要求方程的

6、正整数解，所以解不等式，得 t 只能取 0，1，因此得原方程的正整数解为例 5 求方程 的所有整数解。解 先利用辗转相除法求方程 的一组整数解。， 奥数讲座一次不定方程第 4 页 共 9 页 为用 41 和 177 表示，把代入得把代入得即 ，由此可知， 是方程 的一组解。于是是原方程的一组整数解，于是原方程的所有整数解为（k 为整数）2、一次不定方程组的整数解解不定方程组 的基本思想仍然是消元。通过消去未知数 z，将问题转化为解不定方程例 6 某自然数与 13 的和是 5 的倍数，并且与 13 的差是 6 的倍数，求这样的自然数中最小的 3 个。 解，设这个自然数为 x,依题意得两式相减，消

7、去 x，得可解得整数解(k 为整数)代回或均得 由 ，得 ，解得 k=1，-1，-2，故 x 最小的 3 个值是7，37，67。3、多元一次不定方程的整数解奥数讲座一次不定方程第 5 页 共 9 页对于多元一次不定方程可以把方程化为二元方程来求解。例 7 求方程 的整数解。解 方程变形为 ，设 （t 为整数） 则 对于方程可以观察出 x=-t，y=t 是其一组解，因而方程的所有整数解为（ 为整数） 对于方程可以观察出 是它的一组解，因而方程的所有整数解为（ 为整数）将 代入，得原方程的所有整数解为（ 均为整数） 例 8 （百钱买百鸡）今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只。用 10

8、0 个钱，买 100 只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解，设公鸡、母鸡、小鸡各买了 x,y,z 只，由题意列方程组化简得 得 即 由观察可得 是方程 的一组解，于是是方程 的一组解，因而 的所有整数解为（t 为整数）由题意知， ，所以奥数讲座一次不定方程第 6 页 共 9 页解之得故由于 t 是整数，故 t 只能取 26，27，28，而且 x,y,z 还应满足t x y z26418 7827811 812812 484即可能有三种情况：4 只公鸡，18 只母鸡，78 只小鸡；或 8 只公鸡，11 只母鸡，81 只小鸡；或 12 只公鸡，4 只母鸡，84 只小鸡。思维训练题A 级1、下列

9、不定方程（组）中，没有整数解的是（ ）（A） （B）（C） （D）2、有面额为壹圆、贰圆、伍圆的人民币共 10 张，购买一把价值为 18 元的雨伞，不同的付款方式共有（ ）（A）1 种 （B）2 种 （C）3 种 （D）4 种3、在方程 的正整数解中，使 的值最小的解是_。4、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的 3 倍，那么这样的两位数的个数是_。5、（1）求方程 的所有正整数解。（2）求方程组 的正整数解。B级奥数讲座一次不定方程第 7 页 共 9 页6、有甲、乙、丙 3 种商品，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲 4件、乙 10 件、丙 1 件共需

10、 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需（ ）（A）6 元 （B）8 元 （C）9 元 （D）10 元7、现有 3 个既约真分数 、 、 （a,b,c 都是自然整数）。如果这 3 个分数的分子都加上 c，分母不变，则所得 3 个分数的和为 6，那么原来的 3 个既约分数的乘积是（ ）（A） （B） （C） （D）8、99 名学生去划船，大船每只可乘坐 12 人，小船每只可乘坐 5 人，如果这些学生把租来的船都坐满，那么大船和小船应分别租_只。9、旅游团一行 50 人到一旅馆住宿，旅游馆的客房有三人间、二人间、单人间三种，其中三人间的每人每天 20 元，二人间的每人每天 30 元，单人间的每

11、天 50 元，如果旅游团共住满了 20 间客房，问三种客房各住几间？怎样消费最低？参考答案A级1、（C），提示：显然（A）有解（0，0），（B）有解（5，4），（D）有解（0，-1，1），故选（C）。2、（C），提示；设壹圆、贰圆、伍圆的人民币各需 x,y,z 张，依题意得，问题转化为求上述方程所组成方程组的非负整数解。3、x=16,y=19，提示：不定方程 的整数解为 为求正整数解，解不等式 解得 ，即 k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5，而，故 k=-1 时， 最小。4、27，提示；设两位数为 ，依题意得 ，即 7a=2b，因为 7与 2 互素，所以 2|a，7|b 又 1

12、a9,0b9,所以只有 a=2,b=7，故只有 =27。奥数讲座一次不定方程第 8 页 共 9 页5、（1）可以观察 x=-1,y=9，是方程的一组整数解，则方程的解为 （k 为整数），为求正整数解，需解不等式组 解得 于是 k=1，即原方程只有一组正整数解 x=2,y=4。（2）消去 Z，得 。 方程的所有整数解为 （k 为整数）代入原方程组，得所有整数解为（k 为整数）由 ，得 得 k=-1,0。故原方程组有两组正整数解 B组6、（A）提示：设甲、乙、丙三种的单价分别为 x,y,z 元，则有 由此得 ，故 。7、（B），提示；由题设有 ，即 ，由 、 均为既约真分数知，a 为 1 或 2，b 为 1 或 3，c 为 1 或 5，有 ，只能是 a=2,b=3,c=5。8、（2，15）或（7，3），提示：设大船租 x 只，小船租 y 只，则 ，求此方程的正整数解即可。9、设三人间、二人间和单人间分别为 x，y 和 z 间，依题意得 因此，有 这里 x,y,z 都是非负整数，由于 0， 5，所以 z奥数讲座一次不定方程第 9 页 共 9 页只能取 0，1，2，3，4，5。从而共有六种付法：（10,10,0），（11，8，1），（12，6，2），（13，4，3），（14，2，4），（15，0，5）。50 人住宿总消费为所以当 z=5 时，总消费最低。