全国中学生物理竞赛模拟试卷(常玉茹)

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1、1全国中学生物理竞赛模拟试卷1、填空题1有人设想了一种静电场：电场的方向都垂直于纸面并指向纸里，电场强度的大小自左向右逐渐增大，如图所示这种分布的静电场是否可能存在？试述理由. . .2某光滑曲面由曲线 绕竖直 轴旋转一周形成一自然半径 、质yfxya量 、劲度系数 的弹性圆环置于该曲面之上，能水平静止于任意高度处，mk则曲线方程为 3.在国际单位制中，库仑定律写成 ，式中静电力常量 21rqkF，电荷量 q1 和 q2 的单位都是库仑，距离 r 的单位是米，作用928.10NmCk力 F 的单位是牛顿.若把库仑定律写成更简洁的形式 ，式中距离 r 的单位是米，21qF作用力 F 的单位是牛顿

2、，由此式可定义一种电荷量 q 的新单位.当用米、千克、秒表示此新单位时，电荷新单位= ；新单位与库仑的关系为 1 新单位= C.4在图示的复杂网络中，所有电源的电动势均为 ，所有电阻器的阻值均为 ，0E0R所有电容器的电容均为 ，则图示电容器 A 极板上的电荷量为 0C二、根据广义相对论, 光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线它距离引力中心最近的点, 称为光线的近星点通过近星点与引力中心的直线, 是光线的对称轴若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标(r,)的原点, 选取光线的对称轴为坐标极轴 , 则光线方程（光子的轨迹方2程）为 , G 是万

3、有引力常量, M 是星体质量，c 是光速, a)sin1(cos/22aGMr是绝对值远小于 1 的参数现在假设离地球 80.0 光年处有一星体, 在它与地球连线的中点处有一白矮星如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是弧度, 试问此白矮星的质量是多少 kg ? 已知 G= m3/(kg s2)71.80 16.70三、足球射到球门横梁上时，因速度方向不同、射在横梁上的位置有别，其落地点也是不同的.已知球门的横梁为圆柱形，设足球以水平方向的速度沿垂直于横梁的方向射到横梁上，球与横梁间的滑动摩擦系数 ，球与横梁碰撞时的恢复系数 e=0.70.试问足球应射在横梁上什么位置才能使球心落

4、在球门线内(含球门线上 )？足球射在横梁上的位置用球与横梁的撞击点到横梁轴线的垂线与水平方向(垂直于横梁的轴线) 的夹角 小于 来表示.不计空气及重力的影响.四、折射率 、半径为 R 的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截1.50n面如图所示，图中 O 点为横截面与轴线的交点光仅允许从半圆柱体的平面 AB 进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角 i 射至 AB 整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出，这部分光束在入射到 AB 面上时沿 y 轴方向的长度用 d 表示本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形当平行入射光的入射

5、角 i 从 到 变化时，试求 d 的最小值 和最大值09minmaxd在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对 OF3O zyRABi点的张角 与入射角 i 的关系并求在掠入射时上述圆弧的位置五、如图所示，一容器左侧装有活门 ，右侧装有活塞 B，一厚度可以忽略的隔板 M 将1K容器隔成 a、b 两室，M 上装有活门 。容器、隔板、活塞及活门都是绝热的。隔板和活2塞可用销钉固定，拔掉销钉即可在容器内左右平移，移动时不受摩擦作用且不漏气。整个容器置于压强为 P0、温度为 T0 的大气中。初始时将活塞 B 用销钉固定在图示的位置，隔板 M 固定在容器 PQ 处，使 a、b 两室体积都等于 V

6、0； 、 关闭。此时，b 室真空，a1K2室装有一定量的空气（容器内外气体种类相同，且均可视为理想气体） ，其压强为 4P0/5，温度为 T0。已知 1mol 空气温度升高 1K 时内能的增量为 CV，普适气体常量为 R。1.现在打开 ，待容器内外压强相等时迅速关闭 （假定此过程中处在容器内的气1K1K体与处在容器外的气体之间无热量交换） ，求达到平衡时，a 室中气体的温度。2.接着打开 ，待 a、b 两室中气体达到平衡后，关闭 。拔掉所有销钉，缓慢推动2 2活塞 B 直至到过容器的 PQ 位置。求在推动活塞过程中，隔板对 a 室气体所作的功。已知在推动活塞过程中，气体的压强 P 与体积 V

7、之间的关系为 恒量。VCRP4六、如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为 2 ，两端和中心处分别固连着质量为l的小球 B、D 和 C，开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 的小球m MA，以一给定速度 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球0vA,B,C,D 的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。七、两惯性系 与 初始时刻完全重合，前者相对后者沿 轴正向以速度 高速运动作S xv为光源的自由质点静止于 系中，以恒定功率 向四周辐射( 各向同性)光子在 系中观PS察，辐射偏向于光源前部(即所谓的前灯效应 )1在 系中观察， 系中向前的那一半辐射将集中于光

8、源前部以 轴为轴线的圆锥x内求该圆锥的半顶角 已知相对论速度变换关系为， 21xxucv式中 与 分别为 与 系中测得的速度 分量，c 为光速xuS2求 系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总动量与总能量八、磁场会影响电子的运动，从而使存在磁场时的电流与电压之间的关系偏离通常我们熟悉的欧姆定律，本题所要研究的问题即为一例设 平面内有面密度（单位面积中的电子数）为 的二维电子气平面内沿 轴正xOy nx方向存在均匀电场 （ 为 轴正方向单位矢量） ，垂直于平面的 方向存在均匀磁Eix z场，磁感应强度为 （ 为 轴正方向单位矢量） 已知平面内的电子运动受到的散Bkz射阻力与速度 成正比，可等

9、效地用一时间参量 描述为 ， 为电子质量试求在vmv5稳态沿 和 方向的电流密度（大小为垂直于电流方向单位长度上的电流） 和 ，将结xy xjy果用电子电荷量绝对值 、 、 、 、 及 表出， enmEeBm一、填空1这种分布的静电场不可能存在.因为静电场是保守场，电荷沿任意闭合路径一周电场力做的功等于 0，但在这种电场中，电荷可以沿某一闭合路径移动一周而电场力做功不为 0 2. 3. (答 也22kyCxamg3112kgms 5.0651.0给分)4 0E二、方程)sin1(cos/22acGMr(1)是 的偶函数, 光线对极轴对称光线在坐标原点左侧的情形 a0右图是光线在原点左侧的情形,

10、 极轴 Ox, 白矮星在原点 O在(1) 式中代入近星点坐标 r=rm 和 = , 并注意, 就有2a(2)m2rcGMa经过白矮星两侧的星光对观测者所张的视角 S 可以有不同的表达方式, 相应地问题有不同的解法 若从白矮星到地球的距离为 d, 则可近似地写出(3)rmS2在(1)式中代入观测者的坐标 r=d 和 = /2, 有6(4)dcGMa2由(2)与(4)式消去 a, 可以解出(5)2mr把它代入(3)式, 就得到(6)dcGM2S8也就是82S(7)其中173.0md(8)在(7)式中代入数值就算出302.71kgM(9)三、足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁轴

11、线）.图中B表示横梁的横截面，O 1为横梁的轴线； 为过横梁轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，1OO2为其球心；O点为足球与横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O 1OO2与水平线 的1O夹角 表示 .设足球射到横梁上时球心速度的大小为v 0，方向垂直于横梁沿水平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角 表示如图 .以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O 2OO1重合.以 表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以 表示碰后速度的方向与y轴(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角 的大小.以F x表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，F

12、 y表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小， t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有(1)x0xtv7(2)yy0Ftmv式中 、 、 和 分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩0xvyxv擦定律有(3)xy由（1）、（2）、（3）式得 (4)0xyv根据恢复系数的定义有y0e（5）因0xytanv（6） xytav（7）由（4）、（5）、（6）、（7）各式得ee1tan1t0（8）由图可知（9） 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有(10)90o在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时 .由（9）式得0o(11)tantano因足球是沿

13、水平方向射到横梁上的，故 ，有08(12)ee1tan1t这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置 所满足的方程.解（12）式得(13)22114tanee代入有关数据得(14)t1.6即(15)58o现要求球落在球门线内，故要求(16)四、1图中 z 轴垂直于 面考察平行光束中两条光线分别AB在 面的 C 与 C 点以入射角 i 射入透明圆柱时的情况rAB为折射角在圆柱体中两折射光线分别射达圆柱面的 D 和 D，对圆柱面其入射角分别为 与 中， 点与入射点2iOCC 的距离 由正弦定理有y2sini90CRro2sincoCyRr（）同理， 中， 点与入射点 C 的距离 有OCD2sini9

14、0CyrocCR（2） 改变入射角 i 时，折射角 r 与入射角 与 亦随之变化在柱面上的入射角满足临界角2i cyci2i2iOCABDCDzrr 图 19时，发生全反射，临界角20i201arcsin4.8io（3）将 分别代入(1)与(2)式，知220ii200sincoCyRr(4)即200sicCdyr(5)当 , 和 时，入射光线进入柱体，经过折射后射达柱面时的入射角Cy00Cy都大于临界角 ，由于发生全反射不能射出柱体因折射角 r 随入射角 i 增大而增大由2i（5）式知， 时，即垂直入射 时，d 最小rimin20si1.3R(6)当 i 接近 时（掠入射） ，r 接近 ，将 代入(5) 式，得o9041.8o4.8romax79d(7) 2由图可见， 是 O z 轴与 OD 的夹角， 是O z 轴与 OD 的夹角，发生全反射时有(8)20ir(9)(10)2083.6io由此可见 与 i 无关，即独立于 i在掠入射时， ， ，由(8) 式和(9) 式得9o41.r83.6o(11)0(12)i20i20iOCDCDzrr图 210五、1设 a 室中原有气体为 ，打开 K1 后，有一部分空气进入 a 室，直到 K1 关闭时，mola 室中气体增加到 ，设 a 室中增加的 气体在进入容器前的体积为 ，l molV气体进入 a 室的过