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1、3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域【教学过程】1.课题导入设置情境，引入新课一家银行信贷部计划年初投入 25000000 元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来 30000 元的收益，其中从企业贷款中获益 12%，从个人贷款中获益 10%，那么信贷部如何分配资金呢？问题 1.那么信贷部如何分配资金呢？问题 2.用什么不等式模型来刻画它们呢？2.讲授新课1建立二元一次不等式模型把实际问题 数学问题：ur化（1）设用于企业资金贷款的资金为 元，用于个人贷款的资金 元，xy（把文字语言 符号语言）r化由于资金总数为 25000000 元，得到250yx由于预计企业贷款创收 12%，个
2、人贷款创收 10%，共创收 30000 元以上，所以即 。 3%102301yx最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是 0,yx将合在一起，得到分配资金应该满足的条件： 03125yx设用于企业贷款的资金为 x 元，用于个人贷款的资金为 y 元。2二元一次不等式和二元一次不等式组的定义（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序实数对（x,y） ，所有这样的
3、有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。3.探究二元 一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数 轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式 x-y6 表示直线 x-y=6 右下方的区域；如图。
4、直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：一般地, 在直角坐标系中,二元一次不等式 0CByAx表示 0CByAx某侧所有点组成的平面区域.我们把直线画成虚线,表示区域不包括边界.而不等式 0CByAx表示区域时则包括边界,把边界画成实线.4二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( )，把它的坐标（ )代入yx, yx,Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y0)，从Ax0+By0+C 的正 负即可判断 Ax+By+C0 表示直线哪一侧 的平面区域.（特殊地，当 C0时，常把原
5、点作为此特殊点）即“直线定界，特殊点定域” 。三、典型例题例 1 画出 不等式 表示的平面区域。4xy解：先画直线 （画成虚线）.4xy取原点（0，0） ，代入 +4y-4,0+40-4=-40,原点在 表示的平面区域内，不等式 表示的区域如图：4xy归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点。0C变式 1、画 出不等式 2 x+y60 表示的平面区域。解：先画直线 2 +y60（画成虚线） 。取原点（0，0） ，代入 2 +y6，20 +0660，原点在 2 x+y60 表示的平面区域内，不等式 2 x+y60 表示的区域如
6、图：例 2 用平面区域表示.不等式组 的解集。312yx分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式 表示直线 右下方的区域， 表示直线312yx312yx2xy右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。2x归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。变式 2、画出不等式 2 x+y60 表示的平面区域。解：先画直线 2 +y60（画成虚线） 。取原点（0，0） ，代入 2 +y6，20+0660，原点在 2 +y60 表示的
7、平面区域内，不等式 2 x+y60 表示的区域如图：四、课堂练习1不等式 表示的区域在直线 的（ ）062yx 062yxA 右上方 B 右下方 C 左上方 D 左下方2下列二元一次不等式组可用来表示图中阴影部分表示的平面区域的是（） 102xy 102xy 0xy xy 3、画出不等式 2 +y-60 表示的平面区域 .4、画出不等式组 表示的平面区域。35x答案：1. D； 2. ；3. 4. 4.课时小结1二元一次不等式表示的平面区域2二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法3二元一次不等式组表示的平面区域5. 作业课本第 93 页习题 3.3A组的第 1 题3.3.1 二元一次不等式（
8、组）与平面区域xy12OB(-52,52)C(3,-3)A(3,8)x=3x+y=0x-y+5=0 063 xy【教学过程】1.课题导入复习引入二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）判断方法：由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y) ，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y0)，从Ax0+By0+C 的正负即可判断 Ax+By+C0 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 C0 时，常把原点作为此特殊点）
9、 。2.讲授新课【应用举例】例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）：学段 班级学生人数 配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45 2 26/班 2/人高中 40 3 54/班 2/人分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件。解：设开设初中班 x 个，开设高中班 y 个，根据题意，总共招生班数应限制在 20-30 之间，所以有 20x考虑到所投资金的限制，得到 6543120y即 xy另外，开设的班数不能为负，则 0,把上面的四个不等式合在一起，得到： 2340xy用图形表示这个限制条件，得到如图的平面区域（
10、阴影部分）变式 3：要将两种大小不同的钢板截成 A、 B、 C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要 A、 B、 C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板 张数量少？答案:：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，则且 x， y 都是整数 例 4 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐18t；生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t,硝酸盐 15t,现库存 磷酸盐 10t、硝酸盐 66t，在此基础上生产两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并
11、画出相应的平面区域。解：设 x,y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件： 410856xy在直角坐标系中可表示成如图的平面区域（阴影部分） 。变式 4、 某企业生产 A、 B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品 10 4 5已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力 300 个，煤 360 吨， 并且供电局只能供电 200 千瓦，列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域。答案：设生产 A、 B 两种产品各为 x、
12、 y 吨，利润为 z 万元，则平面区域如图（阴影部分）补充例题例 5、画出下列不等式表示的区域(1) ； (2) 0)1)(yxxy2分析：(1)转化为等价的不等式组； (2)注意到不等式的传递性，由 ，得 ，又x20用 代 ，不等式仍成立，区域关于 轴对称。解：(1) 或 矛盾无解，故点 在一带形区域101yxyx0yx),(yx内（含边界） 。(2) 由 ，得 ；当 时，有 点 在一条形区域内( 边界)；x20y02yx),x当 ，由对称性得出。0y指出：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解例 6、利用区域求不等式组 的整数解015362yx分析：不等式组的实数解集为三条直线 ，
13、 ，32:yxl 0632:yxl所围成的三角形区域内部(不含边界)。设 ， ，0153:yxl A1Bl31，求得区域内点横坐标范围，取出 的所有整数值，再代回原不等式组转化为C2 x的一元不等式组得出相应的 的整数值。yy解：设 ， ， ， ，03:1yxl 0632:xl 0153:yl Al21， ， ， ， 。于是看出区域内点的B3l2)4,815(A),(B)92,7(C横坐标在 内，取 1，2，3，当 1 时，代入原不等式组有 )975,0(xx51234yy，得 2，区域内有整点(1,-2)。同理可求得另外三个整点(2,0)，(2,-1)，152y(3,-1)。指出：求不等式的
14、整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是本题解答中所采用的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定 的所有整数值，再代回原不等式组，得出x的一元一次不等式组，再确定 的所有整数值，即先固定 ，再用 制约 。yyxy3.随堂练习 21.若不等式组50xya ， ， 表示的平面区域是一个三角形，则 a的取值范围是（C ） 7 57 5或 72画出下列不等式组表示的平面区域：（1） ； （2） ； （3） 1xyyxyx3画出下列不等式组表示的平面区域： 210xy2013xy解：如图所示 如图所示3课本第 86 页的练习 44.课时小结进一步熟悉用不等式（组）的解集表示的平面区域。5. 作业1、课本第 93 页习题 3.3B组的第 1、2 题
