计算地球流体力学总结

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1、1亚网格短波折叠与混淆对于任意函数通过傅氏分解都可以看做无穷个波的叠加，波长为 2L/n（02L） 。但是对于数值计算，区间内离散点确定，离散傅氏级数得到分波的波长为2Ndx/n（nN） ，小于该波长的波离散后必然将与可以分辨的波混淆。由此可见离散型问题不可能分辨 2dx 的分波。非线性耦合短波计算的不稳定性主要来自于计算中存在相对网格过小的短波，一旦产生波长小于 2dx 的分量，网格系统不能正确分辨，必将产生混淆而将其折叠刀大于 2dx的波上。对于非线性发展方程，这样的耦合产生短波又折叠混淆的过程不断重复，即构成短波能量的虚假增长而导致计算的不稳定。克服了初始误差短波的增长，也就获得了计算的

2、稳定。 平 流 耦 合 ，） 当 一 原 始（ )sin(10kxuxut 会出现新的小都波 ， 经只 要 有 xukkx 2)2i()cos(in 于格距的短波。计算的不稳定主要来源相对网格过小的波，1、对于线性问题，克服了初始误差短波的增长就获得了稳定性 2、对于非线性问题，即使初始条件中不含短波，由于非线性耦合作用也会不断产生短波，由此产生不稳定。3、初值的选择同样会引起不稳定。这些都是由空间离散化造成的，即使步长减小也不能克服。差分格式抑制短波差分离散后，原波长为 的分波，就表现为xlNx2)m/(2n故离散型问题不可能分辨出波长 的分波， （与差分xlN2/n 分辨率一致） ，相对网

3、格过小的短波是计算不稳定的主要来源，抑制短波的发展也就获得了计算的稳定。有限元数值模型、不规则网格有限差分数值模型的原理、步骤、差异是什么？ 有限元技术的思想：既然整体试函数难于选择和确定，就不如将求解域分成若干小区，在每个元内都用一个简单的（如空间线性的、二次的等）函数作为元内这一小局部试函数，并以某种光滑性进行联结，以构成最终的全域试函数，再依变分法或权余法求得所有小元内的试函数的待定系数，整体函数也就自然确定了。虽然一般说来这样确定的整体函数可能不如经典形式的函数具有整体的各阶光滑性，但可具有整体的连续性和低阶光滑性。 （如果采取计算量较大的“谱元法” ，则高阶光滑性也是可以达到的） 。

4、不规则网格差分法，其网格分布可沿用有限元的单元分布，原来的“元” ，即是差分法的网格或剖分网格。所不同的是差分网格的边长比求解域的尺度必须是个小量，而有限元并非一定要如此。 不规则网格差分法比有限元法的计算量可以节省很多，数值格式比较方便，当然要满足相应的稳定性条件。在有限元法中，水位在三角形内的差商表达式是2由线性插值函数得到的，且元内角顶三点以逆时针方向顺序计数。而在不规则网格差分法中，是利用边长比计算域水平尺度为小量时，三顶点上的函数值，在其内任一点 P（x，y）展开 Taylor 展式，略去二阶小量项之后联立得到的。 有限元计算方法的三个优点：很好地弥和岸界网格疏密可依所计算的流场的几

5、何与物理特性而灵活确定可以将自然边界条件融入内点的计算方程之中，不必单独列出。隐式格式显式：对两时间层格式，知道 n 时刻各空间层上函数值而推 n+1 时刻的值。隐式：包括 n+1 时间层上二个或多个节点处的未知值，用 n 时刻各空间点值不能直接得出 n+1 时刻各点值，必须联立求解一个与网格点数目相同的方程组。 与显示格式不同，隐式差分格式，使用隐格式求解，每个时刻包含较多的计算量。但是在稳定性上往往优于显式，因而对时空步长放宽要求，可以减少计算量。 有限体积法（FVM）又称为控制体积法。将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体

6、积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。有限体积法可视作有限单元法和有限差分法的中间物。有限单元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数） ，并将其作为近似解。有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。有限体积法只寻求的结点值，这与有限差分法相类似；但有限体积法在寻求控制体积的积分时，必须假定值在网格点之间的分布，这又与有限单元法相类似。在有限体积法中，插值函数只用于计算控制体积的积分，得出离散方程之后，便可忘掉插值函数；如果需要的话，可以对微分方程中不

7、同的项采取不同的插值函数。开边界条件再用数值方法对某一海域的某种海洋环境问题做计算模拟或预测时，只要不是对全封闭海计算，必然会有一人为划定的水中边界，该边界处各种状态与相邻的内域并无本质差异，成为开边界。开边界给出的优劣，往往对域内的计算响应很大。开边界条件类别：确定（第一类）边界条件；辐射条件；强迫波开边界条件；a.辐射强迫条件；b.强迫波与自由波分别计算；c. 时间分段条件；海绵（Sponge）条件和无穷远边界条件；按水深分段条件；统一格式 代数坐标变换与微分坐标变换的差异是什么？ 答：这两类坐标变换都将实际物理空间中的问题变化到变换空间去进行计算。代数坐标变换是两空间中的坐标关系以代数式

8、相关，微分坐标变换是两空间的坐标关系以一种微分方程相联系。代数坐标变换对弥和一段弯曲度不甚严重的陆架岸界是简便易行的，但对弯曲度较大的海岸，特别是对封闭或半封闭海湾则不易实现，而微分坐标变换可以弥补这个缺点，能够很好的弥和弯曲度较大3的岸界。它利用的是调和函数的性质：解是唯一的或解只差一常数；极值不可能出现在域内，即最大值和最小值均在边界上，选用调和函数为坐标函数。干湿网格方法、坐标变换模型怎么使用？使用步骤是怎么样的？每步怎么做？做些什么内容？它们的优缺点是什么？ 对于岸边地形较为平缓的潮滩低地，对岸边流场特别是漫水位置干湿网格方法特别关注，固定岸边界模式已不适应。干湿网格方法核心是建立一套

9、判别准则，再任一瞬时对方程组进行数值计算前，判断哪网格干湿，从而有了瞬时交界线作为岸界，并在此给定边界条件。由于每一时刻判断出的岸界随时间变化，因此可以模拟出任一瞬时的淹水位置和整个过程的最大淹水范围：干湿网格优点：如果已经具有了固定岸界的某个数值程序及其计算程序，那么只需在程序中加入一段干湿判别（从而确定瞬时边界位置）的子程序，下一步的流场函数的计算则可以完全采用原有的计算程序，而岸边界的边界条件仍是法向流速为零。缺点：岸边界条件不符合流体运动学原理。它采用的是与固定岸边界相同的边界条件法向流速为零。虽然它的边界依判别准则是在移动着，但那都是出于某种技术上的考虑而并非是从根本原理上得到的。

10、Johns 代数坐标变换模型：优点：岸边界条件具有很好的物理意义，符合流体运动学原理。缺点：对岸界的弯曲程度有一定的限制。 使用干湿网格方法时（Flather-Heaps 模型） ，用连续方程计算出每个水位计算点的水位，从而组成瞬时水深 H，在计算流速分量之前，要判断流速计算点的干湿情况。使用 Johns 代数坐标变换模型时，所需增加的内容就是在每一时间层利用同样的边界条件计算出方程中的变量后，还需找到新的岸界和网格对应位置。Heaps 谱方法的思想是怎样的？如果本征序列不好，计算量怎样？ 答：思路：以谱方法将一个线性正压海洋的三维模式化为一系列二维方程进行数值求解。首先将两个水平流速分量在垂

11、直方向上做谱展开，即令：，其中 ，1)(rrzFAu1)(rrzFBv ),(tyxAr),(tyxBr然后解一个仅考虑潮的三维近海动力学的垂向本征问题，得到一系列本征值和对应的本征函数序列，且二者是正交的，可将其他量同 u、v 展开。接着以每个本征函数为权函数，对两个水平运动方程导出垂向 Galerkin 权余式，引用本征问题和流速的海面与海底边界条件，可将权余式化为二维方程组，最后利用本征函数归一化和本征函数正交性，得到流速 u、v。流速分解方法的提出是怎么提出的？它的物理意义是什么？ 答：准平衡模式的流速分解：产生水平流速的两个作用力，一个是由水位梯度所表达的压强梯度力，一个是海面风应力

12、，即梯度流和风海流。含时变项的流速分解：只取决于海面梯度而与深度无关的正压梯度流和一个随深度而变化的Ekman 流，但两者皆考虑其时变效应。 4 坐标答： 坐标是一种适应地形的坐标变换，它既可以保证垂直分辨率一致，也给垂向分层计算带来很大方便。(z - )/H 将海域在垂直方向变为无因次单位厚度，在这一变换海域中，垂向按该坐标分层可以方便在全海域得到同样的层数。坐标的一般形式： ，其中 a，b 为两个常数。Hzab)(（1，0）区间： （0，1）区间： Hzh在陆地附近计算斜压部分的水平压强梯度力会出现问题，在线性模型中，Z 坐标下的 x 方向斜压梯度力为： 在稳定的层花,z,d0 hzXPg

13、Z坐 标 ， 即取海洋中，这两项的永远是符号相反的。因此，在陆地处或海山附近，也必然很大，从而一个较小的量由两个大量之间的差来）（很 大 ， 此 时 xxhp决定。由此可知，在这一区域进行数值离散计算时，精度非常重要。有限解析法原理：将计算域划分为若干子区域，在每个子区域上将在整个求解域上不为常数的参数近似地认为是不变的，即为局地常数，从而可求出在各个子区间的解析解。 （比有限差分更具物理意义。如在对流项应用迎风格式，在有限解析法中自动满足。 ） ）优越性主要表现在 2 各方面：一、这样形成的方程，在每个子区间都保持了解析解的特征，而解析解能自动形成迎风性质，从而保证了物理上的输运性。二、有限

14、解析法求解定常对流扩散方程，该格式可将方程离散为对角占有型的代数方程组，从而很好的保证代数方程组的收敛性。ADI 模型比全隐格式节省计算量，又比半隐半显格式提高了稳定性，从而加大了时间步长。Taylor 展式构造差分方程：将函数在一时空点上按时间做 Taylor 展开，按需要的计算精度截断，用微分方程将时间导数化为空间导数，再将空间导数用差分格式取代，即构造差分方程。分裂算子原理：若微分发展方程有若干空间算子，即形如 ，则可mluLt1)(以在微小时间段内，分裂成若干发展方程求解，如 .3,21ltul分辨率：在微商化为差商的离散过程中，当 对于不同波长的分辨率能力不同，x。各种差商都失去了分

15、辨 L 波的能力， 成为差分分辨率。2/Lx L物理解：微分方程的差分方程解中与微分方程的解析解相同的解，符合物理规5律的解。计算解：反之，不符合的解待定系数法：线性齐次微分方程进行差分离散后，化为某时空离散点的函数值与周围若干点的函数值的代数方程，依次思路，可事先确定一含待定系数的代数方程，再依计算方程和 Taylor 展开需要的精度，最终确定这些系数。守恒性总体海水质量守恒，二维：总机械能守恒，总体物质守恒，总体涡度守恒。二维运动边界：总体水量守恒，总机械能守恒，总体涡度守恒和总物质量守恒。三维：总机械能守恒，总物质量守恒非线性计算不稳定的特点：1 计算不稳定是由于方程的非线性性质和非线性

16、作用产生，一半不能用缩短时间步长的方法克服。2、计算不稳定具有突变型。3、不仅与差分格式有关还与初始条件有关 4、与方程类型及解得性质有关。非线性计算不稳定的产生原因：1、由于差分格式的混淆误差引起 2、由于能量守恒关系被破坏引起 3、由于函数网格变号引起 4、与问题的初始状态有关 5、由非线性解的非光滑性或激波解得性质引起 6、与非线性方程解的分岔、混淆性质有关。解决办法：1、进行空间或时间的平滑 2、在物理变量 F 的方程中加入扩散项,即加入人工粘性。3、构造具有隐式平滑或具有选择性衰减作用的差分格Fk2式 4、构造总能量守恒的差分格式。基础模型地转平衡：水平压强梯度力与科氏力平衡。半地转平衡下的Rossby 波模型： 平面上，东西向地转平衡无运动，南北向惯性力与压强梯度力有运动。惯性平衡：水平惯性力与科氏力平衡 Ekman 平衡：湍粘性力和科氏力平衡。非旋转模型Laplace