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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 必修 2 平面解析几何初步 第二章 第二章 线与圆的位置关系 课堂典例讲练 2 易错疑难辨析 3 思想方法技巧 4 课 时 作 业 5 课前自主预习 1 课前自主预习 早晨的日出非常美丽 ， 如果我们把海平面看成一条直线 ，而把太阳抽象成一个运动着的圆 ， 观察太阳缓缓升起的这样一个过程 ， 你能想象到什么几何知识呢 ？ 没错 ， 日出升起的过程可以体现直线与圆的三种特殊位置关系 ， 你发现了吗 ？ (1)直线与圆 _， 有两个公共点； (2)直线与圆 _， 只有一个公共点； (3)直线与圆 _， 没有公共点 2 几何判定法： 设 (1)d
2、r圆与直线 _； (2)d r圆与直线 _； (3)d 0 直线与圆 _ _ _ ； (2) 0 直线与圆 _ _ _ ； (3) 0)内异于圆心的一点 ， 则直线 ) A 相切 B 相交 C 相离 D 相切或相交 答案 C 解析 圆心到直线的距离 d | a2| a ，故选 C 2 直线 3x 4y 5 0与圆 224x 2y 1 0的位置关系是 ( ) A 相离 B 相切 C 相交但直线不过圆心 D 相交且直线过圆心 答案 D 解析 圆的圆心坐标为1 ，12， 又点1 ，12的坐标满足直线方程 3 x 4 y 5 0 ， 故直线与圆相交且过圆 心 答案 A 3 直线 x y 1 与圆 2
3、0( a 0) 没有公共点，则a 的取值范围是 ( ) A (0 ， 2 1) B ( 2 1 ， 2 1) C ( 2 1 ， 2 1) D (0 ， 2 1) 解析 由题意，得圆心 (0 ， a ) 到直线 x y 1 0 的距离大于半径 a ，即| a 1|2 a ，解得 2 10 ， 0 r 1 ， 直线 x y 2 0 与圆 ( x 1)2 ( y 1)2 1 相离 解法二：由x y 2 0 x 1 2 y 1 2 1，得 2 8 x 9 0 ， ( 8)2 4 2 9 64 72 80 ， 直线 x 2 y 1 0 与圆 ( x 1)2 ( y 1)2 1 相交 . 已知圆的方程是
4、 (y 1)2 2， 直线 y xb， 当 圆与直线有两个公共点 ， 只有一个公共点 ，没有公共点 ？ 由直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围 解析 解法一：将 y x b 代入 ( y 1)2 2 中消去 2(1 b ) x 1 0 ，其判别式 4(1 b )2 8( ) 4( b 1)( b 3) ， 当 1 0 ，方程 有两个不等实根，直线与圆有两个公共点 当 b 1 或 3 时， 0 ，方程 有两个相等实根，直线与圆有一个公共点 当 b 3 时， r ，即 b 1 时，直线与圆相离，无公共点 当 直线 x y m 0与圆 4x 2y 1 0有两个公共点 ？ 有一个公共点 ？ 无公共点
5、 ？ 解析 由x y m 04 x 2 y 1 0， 得 2 2( m 3) x 2 m 1 0 ， 4( m 3)2 8( 2 m 1) 4 8 m 28 ， 当 0 ，即 2 2 12 2 1 时，直线与圆相离，无公共点 . 已知圆的方程为 求过圆上一点P(切线方程 圆的切线方程 解析 若 0 ，直线 方程为 y 则过点 方程为 y x ， 化简得： P 点在圆上， 过圆 ( 的圆的切线方程为 容易验证，当 0 或 0 时也满足 ) 点评 (圆 过点 此时无切线 ， 但 它与圆相离 ， 圆上所有点到此直线的距离中 ，以直线 2 当点 P(圆 过点 其推证方法很重要 ， 要熟练掌握 3 当点
6、 P(圆 过点 如果设切线的方程为 y k(x 利用直线与圆相切的条件 (代数法或几何法 )求得 求得 另一条必是 x 此时直线 共两个交点就是过点 过原点的直线与圆 4x 3 0相切 ， 若切点在第三象限 ， 求该直线的方程 解析 圆 4 x 3 0 化为标准式 ( x 2)2 1 ，圆心 C ( 2,0) 设过原点的直线方程为 y 即 y 0. 直线 与圆相切， 圆心到直线的距离等于半径，即| 2 k |1 1. 3 1 ， 3. 解得 k 33. 切点在第三象限， k 0. 所求直线方程为 y 33x . 直线与圆的相交弦问题 已知圆 C ： ( y 1)2 5 ，直线 l： y 1 m
7、 0. (1) 求证：对 m R ，直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点； (2) 若直线 l 与圆 C 交于 A 、 B 两点，当 | 17 时，求 分析 本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题 (1) 问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明， (2) 问可利用弦长公式求解 解析 (1) 解法一：由 y 1 2 5 y 1 m 0，消去 y 整理，得 ( 1) 2 5 0. ( 2 4( 1)( 5) 16 200 ，对一切 m R 成立， 直线 l 与圆 C 总有两个不同交点 解法二：由已知 l： y 1 m ( x 1) ， 故直线恒过定点 P (1,1) 12 (1 1)20. 解得
8、k 0. 10 k 1 k 1， 5 k k 2 1. 由斜率公式，得 k ( | 1 1 4 1 100 1 k 2 1 2 425 k k 2 1 4 5 . 两边平方，整理得： 2 5 k 2 0. 解得： k 12，或 k 2. 故直线 l 的方程为： x 2 y 5 0 ，或 2 x y 5 0. 解法二：如图所示， | 是圆心到直线 l 的距离， | 是圆的半径， | 是弦长 | 的一半，在 ， | 5 ， | 12| 12 4 5 2 5 ， | | 2 | 2 5 . |5 1 k |1 5 . 解得： k 12或 k 2. 直线 l 的方程为： x 2 y 5 0 ，或 2
9、x y 5 0. 易错疑难辨析 若直线 y x b 与曲线 y 4 x 2 有公共点，试求 b 的取值范围 错解 y 4 4. 由y x 4，得 2 2 4 0 ， 直线 y x b 与曲线 y 4 (2 b )2 4 2 ( 4) 4 8 32 32 4 0 ， 8 ， 2 2 b 2 2 . 辨析 错解的原因是由 y 4 x 2 两边平方得 x 2 y 2 4时， y 的取值范围扩大了 正解 如图，在坐标系内作出曲线 y 4 半圆 ) 直线 l 1 ： y x 2 ，直线 l 2 ： y x 2 2 . 当直线 l： y x b 夹在 l 1 与 l 2之间 ( 包括 l 1 、 l 2 ) 时， l 与曲线 y 4 以截距 b 的取值范围为： 2 ,2 2 思想方法技巧 数形结合思想 已知实数 x 、 y 满足方程 4 x 1 0. (1) 求 (2) 求 分析 点 ( x ， y ) 在圆 ( x 2)2 3 上， (1) 中yxy 0x 0表示圆上的点与原点连线的斜率，数形结合可知，当与圆相切时，斜率取最大值或最小值； (2 ) 中 x 0 2 y 0 2表示圆上的点与原点的距离的平方 解析 (1) 如图所示， 方程 4 x 1 0 表示以点 (2,
