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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 必修 2 立体几何初步 第一章 影与直观图 第一章 课堂典例讲练 2 易错疑难辨析 3 思想方法技巧 4 课 时 作 业 5 课前自主预习 1 课前自主预习 皮影戏 ， 又称影子戏或灯影戏 ， 是一种用灯光照射兽皮或纸板做成的人物剪影以表演故事的民间戏曲 表演时 ， 艺人们在白色幕布后面 ， 一边操纵戏曲人物 ， 一边用当地流行的曲调唱述故事 ， 同时配以打击乐器和弦乐 ， 有浓厚的乡土气息 在河南 、 山西等地的农村 ， 这种拙朴的民间艺术形式很受人们的欢迎 皮影戏和太阳光照射成像都具备光线 、 不透明物体和投影面这些相同的条件 皮影戏中
2、的成像与太阳光成像原理一样吗 ？ 1. 投影与直观图 (1) 已知图形 F ，直线 l 与平面 相交( 如图所示 ) ， _ _ _ _ _ _ ，则点M 叫做点 M 的在平面 内关于直线 l 的 平行投影 ( 或象 ) 如果图形 F 上的所有点在平面 内关于直线 l 的平行投影构成图形F ，则 F 叫做图形 F 在 内关于直线 l 的 _ _ _ 平面 叫做 _ _ _ ， l 叫做 _ _ _ 过 作直线 行于 l，交平面 于点 M 平行投影 投射面 投射线 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 ， 平行投影都具有下述性质： 直线或线段的平行投影是 _； 平行直线的平行投影是 _； 平行于
3、投射面的线段 ， 它的投影 _； 与投射面平行的平面图形 ， 它的投影 _； 在同一直线或平行直线上 ， 两条线段平行投影的比等于_ 直线或线段 平行或重合的直线 与这条线段平行且等长 与这个图形全等 这两条线段的比 (2)一个点光源把一个图形照射到一个平面上 ， 这个图形的影子就是它在这个平面上的 _ (3)用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的_ 中心投影 直观图 2 斜二测画法规则： (1)在已知图形所在的空间中取水平平面 ， 作互相垂直的轴再作 使 _， 且 _. (2)画直观图时 ， 把 x、 Oy、Oz， 使 xOy _， xOz _， 其中 xOy所确定的平面表示水平平面 90
4、 90 45 (或 135 ) 90 (3)已知图形中 ， 平行于 在直观图中 ， 分别画成 _， 并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系 _ (4)已知图形中 ， 平行于 在直观图中长度保持 _， 平行于 _ (5)画图完成后 ， 擦去作为辅助线的坐标轴就得到了空间图形的直观图 平行于 x轴、 y轴、 z轴的线段 相同 不变 原来的一半 用斜二测画法画的直观图是在中心投影下画出来的图形 平行投影的投影线互相平行 ， 中心投影的投影线相交于一点； 空间图形经过中心投影后 ， 直线变成直线 ， 但平行线可能变成了相交的直线； 空间几何体在平行投影与中心投影下有不同
5、的表现形式 其中正确命题有 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案 C 解析 利用平行投影与中心投影的概念作判断 可知 都正确 ， 但 错 因为斜二测画法应用的是平行投影原理 故选 C 2 下列光线所形成的投影 ， 不是中心投影的是 ( ) A 太阳光线 B 台灯的光线 C 手电筒的光线 D 路灯的光线 答案 A 解析 太阳光线形成的投影是平行投影 3 如图所示为某一平面图形的直观图 ， 则此平面图形可能是下图中的 ( ) 答案 A 解析 由直观图可知 ， 原四边形一组对边平行且不相等 ， 为梯形 ， 且梯形两腰不能与底垂直 4 (2014陕西宝鸡园丁中学高一期末测试 )如图是
6、则 _ 答案 32 解析 由 的直观图可知， 的底边长为 4 ，高为 16 ，故 S 12 4 16 32. 5 下列说法正确的是 _ 直线或线段的平行投影仍为直线或线段； 与投射面平行的平面图形 ， 它的平行投影与这个图形一定全等； 平行四边形的平行投影可能为矩形； 两平行直线的平行投影一定平行； 如果一条长为 10的线段的平行投影为 5， 则长为 20的线段的平行投影为 10. 答案 解析 根据平行投影的性质可知 ， 直线或线段与投影线平行时 ， 其平行投影为点 ， 故 错误； 正确；当投影线和投射面成适当的角度 ， 或改变图形相对于投射面的位置时 ， 平行四边形的平行投影可能为矩形 ，
7、故 正确；两平行直线的平行投影除平行外 ， 还可能为两点或重合 ， 故 错误；当两直线平行时 ， 两线段与其投影对应成比例 ， 而题中两线段不一定平行 ， 故 错误 6 用斜二测画法画一个正三角形的直观图 解析 (1)取 为原点 ， 直线 直线 任取 O 点 ， 画对应的 x 轴 ， y 轴 ， 使 x O y 45 . (2) 在 x 轴上以 O 为中点，取 B C 或在 正半轴上截取 O C O C 负半轴上截取 O B ，再在y 轴的正半轴上截取 O A 12O A (3) 连接 A B ， A C 即得 直观图 ( 如上图 ) 课堂典例讲练 用斜二测画法画正五边形的直观图 解析 (1)
8、建立如图 所示的直角坐标系 再建立如图 所示的坐标系 xOy， 使 xOy 45 ； 水平放置平面图形直观图画法 (2) 在图 中作 x 轴于 G ， x 轴于 H ，在坐标系x O y 中截取 O H O G O A 12 O F 12过 F 作 C D x 轴且 C F F D (3) 在平面 x O y 中，过 G 作 G B y 轴，且G B 12过 H 作 H E y 轴，且 H E 12连接 A B ， B C 、 C D 、 D E 、 E A ，得五边形 A B C D E 为正五边形 E 的平面直观图 用斜二测画法画出下图中的四边形 解析 如图所示， (1) 画 x 轴， y
9、 轴，使 x O y 45 ， (2) 在 O x 轴上取 D 、 B ，使 O D O B 在 O y 轴上取点 C ，使 O C 12在 O x 轴下方过 D 作 D A O y ，使 D A 12 ( 3) 连接：连接 O A 、 A B 、 B C ，所得四边形 O A B C 就是四边形 的直观图 (2015山东莱州市高一期末测试 )如图 ， 正方形， 它是水平放置的一个平面图形的直观图 ， 则原图形的面积是 ( ) 与直观图有关的计算问题 A 8 2 B 4 C 2 2 D 4(1 2 ) 答案 A 解析 根据原图形中平行于 x 轴或 x 轴上的线段长度不变，原图形中平行于 y 轴
10、或 y 轴上的线段长度减半，由直观图可知，原图形为如图所示的平行四边形 O A B C ， 且 O A 2 ， O B 4 2 ， A B C 12O A O B 12B C O B 12 2 4 2 12 2 4 2 8 2 ， 故选 A 答案 D (2015 辽宁大连市高一期末测试 ) 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ) A 1222B 1 2 C 5 D 2 2 解析 解法一：根据平面图形的直观图的斜二测画法，所求平面图形为四边 形由 “ 横不变 ” 知，四边形为梯形，且上底边长为 1 ，容易求得下底边
11、长为 1 2 ，由直观图的底角为 45 知，这个梯形为直角梯形；再由 “ 竖取半 ” 知，直腰长为 2 ，故这个平面图形的面积为 S 12 1 (1 2 ) 2 2 2 ，故选 D. 解 法二： S 直观图 1 1 2 2222 12， 又 S 直观图S 平面图24， S 平面图 2 1224 2 2 . 用斜二测画法画长 、 宽 、 高分别是 4、 3、 2的长方体 ABCD的直观图 空间几何体的直观图画法 解析 (1) 画 x 轴、 y 轴、 z 轴，三轴相交于点 O ，使 45 ， 90 . (2) 以点 O 为中点，在 x 轴上取线段使 4 ；在 y 轴上取线段 使 32. 分别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A 、B 、 C 、 D ，四边形 就是长方体的 底面 . ( 3) 过 A 、 B 、 C 、 D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长
