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1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 必修 2 平面解析几何初步 第二章 到直线的距离 第二章 课堂典例讲练 2 易错疑难辨析 3 思想方法技巧 4 课 时 作 业 5 课前自主预习 1 课前自主预习 在铁路的附近 ， 有一大型仓库 现要修建一条公路与之连接起来 ， 易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短 将铁路看作一条直线 l， 仓库看作点 (直线 C 0()的距离 d_. 2 两条平行直线 0与 0的距离 d _ . | C |A 2 B 2 |C 1 C 2 |A 2 B 2 答案 A 1.(2015 山东枣庄六中高一期末测试 ) 两条平行直线 3 x 4 y 1 0 与
2、 6 x 8 y 7 0 之间的距离为 ( ) A 12B 35C 65D 1 解析 由 6 x 8 y 7 0 ，得 3 x 4 y 72 0 ，故两平行直线之间的距离 d | 1 72 |32 42 12. 答案 A 2 (2015 河南郑州市 高一期末测试 ) 点 (1,2) 到直线 y 2 x 1的距离为 ( ) A 55B 2 55C 5 D 2 5 解析 点 ( 1,2) 到直线 y 2 x 1 的距离为 d |2 2 1|4 155. 答案 B 3 已知两点 A (3,2) 和 B ( 1,4) 到直线 y 3 0 的距离相等，则 m 为 ( ) A 0 或12B 12或 6 C
3、 12或12D 0 或12 解析 由题知直线 y 3 0 与 行或过 中点，则有 m 4 2 1 3或 m 3 122 42 3 0 ， m 12或 m 6. 4 点 (0,5)到直线 y 2_ 答案 5 解析 点 ( 0,5) 到直线 y 2 x 的距离 d | 5|4 1 5 . 5 经过点 M(3， 2)且与原点距离为 3的直线 答案 x 3 0或 5x 12y 39 0 解析 若直线 l 的斜率存在，设为 k ，则 l 的方程为 y 2 k ( x 3) ，即 y (3 k 2) 0 ， 由点到直线的距离公式，得|3 k 2|1 3 ， 解得 k 512， 故直线 l 的方程为512x
4、 y (54 2) 0 即 5 x 12 y 39 0 ， 当直线的斜率不存在时 ， x 3 也符合题意， 所求直线方程为 5 x 12 y 39 0 或 x 3 0. 6 求与直线 3 x y 2 0 距离为 10 的直线方程 解析 所求直线为平行直线， 设所求直线方程为 3 x y C 0. 由两平行线距离公式，得| C 2|32 1 10 ，解得 C 8 或 C 12. 故所求直线方程为 3 x y 8 0 或 3 x y 12 0. 课堂典例讲练 求点 P(3， 2)到下列直线的距离： (1)3x 4y 1 0； (2)y 6； (3) 分析 本题主要考查点到直线的距离公式的应用 ，
5、直接代入点到直线的距离公式即可 点到直线的距离公式 解析 (1) 由点到直线的距离公式可得 d |3 3 4 2 1|32 4 2165. (2) 由直线 y 6 与 x 轴平行，得 d |6 ( 2 )| 8. 或将 y 6 变形为 0 x y 6 0 ， d |0 3 2 6|02 12 8. (3) d | 3 | 3. 点评 运用点到直线的距离公式时 ， 要将直线方程转化成一般式的形式；与坐标轴垂直的直线 ， 直接由数形结合的方法求解即可 (1) 求点 P ( 1,2) 到直线 2 x y 5 0 的距离； (2) 点 A ( a, 6) 到直线 3 x 4 y 2 距离等于 4 ，求
6、 a 的值； (3) 求过点 A ( 1,2) 且与原点距离等于22的直线方程 解析 (1) 由点到直线距离公式 d 5 . (2) 由点到直线的距离公式|3 a 4 6 2|32 42 4 ， a 2 或463. (3) 设所求直线 l： y 2 k ( x 1) ，原点 O (0,0) 到此直线距离为22，可求得 k 1 或 7 ， 所求直线方程为 x y 1 0 或 7 x y 5 0. 已知在 A(3,2)、 B( 1,5)， x y 3 0上 若 0， 求 分析 本题易求 | 5， 设 C( 则 33， 从而可建立 点到直线距离的应用 解析 设点 C ( ， 点 C 在直线 3 x
7、y 3 0 上， 3 3. A (3,2) 、 B ( 1,5) ， | 5 2 2 1 3 2 5. 设 C 到 距离为 d ，则12d | 10 ， d 4. 又 直线 方程为y 25 2x 3 1 3， 即 3 x 4 y 17 0 ， d |3 4 3 3 17|32 42| 15 5|5 |3 1| 4. 3 1 4 ，解得 1 或53. 当 1 时， 0 ；当 3时， 8. C 点坐标为 ( 1,0) 或 (53， 8) 求经过点 P(1,2)的直线 ， 且使 A(2,3)、 B(0， 5)到它的距离相等的直线方程 解析 解法一：当直线斜率不存在时，即 x 1 ，显然符合题意，当直
8、线斜率存在时，设所求直线的斜率为 k ，即直线方程为 y 2 k ( x 1) ， 由条件得|2 k 3 k 2|1|5 k 2|1，解得 k 4 ， 故所求直线方程为 x 1 或 4 x y 2 0. 解法二：由平面几何知识知 l l 过 点 k 4 ， 若 l 则 l 的方程为 4 x y 2 0. 若 l 过 点 (1 ， 1) ，则直线方程为 x 1 ， 所求直线方程为： x 1 或 4 x y 2 0. 求两平行线 3x 4y 10和 3x 4y 15的距离 分析 由题目可获取以下主要信息： 直线 解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的
9、差 ， 从而求解 求两平行线间的距离 解析 解法一：若在直线 (2,1) ，则点 是所求的平行线间 的距离如图 所示， d |3 2 4 1 15|32 42 1. 解法二：设原点到直线 、 | ， 则由图 可知， | | 即为所求 | | | 15 |32 42| 10 |32 42 1 ，即两平行线间的距离为 1. 点评 要看准公式的结构特征：分子别忘记绝对值符号 ， 分母别忘记开方 ， 方程要化成一般式 解法三：直线 l 1 、 l 2 的方程可化为 3 x 4 y 10 0,3 x 4 y 15 0 ， 则两平行线间的距离为 d | 10 15 |32 4255 1. 答案 C (20
10、15 甘肃天水一中高一期末测试 ) 直线 2 x 3 y 1 0 与4 x 7 0 平行，则它们之间的距离为 ( ) A 4 B 2 1313C 5 1326D 7 1020 解析 由题意得 m 6 ， 直线 4 x 7 0 化为 2 x 3 y 72 0 ，故两平行直线之间的距离为|1 72|22 32 5 1326. 易错疑难辨析 求过点 P ( 2,1) 且到点 A (1 ， 5) 距离为 3 的直线方程 错解 设所求直线斜率为 k ，那么过点 P ( 2,1) 的直线方程为 y 1 k ( x 2) ，即 y 2 k 1 0. 由点到直线的距离公式，得| k 1 5 2 k 1|12
11、3. 解得 k 34. 故所求直线方程为 y 1 34( x 2) ，即 3 x 4 y 2 0. 辨析 直线方程的点斜式不能表示平行于 当直线斜率不存在时 ， 即直线方程 x 2也符合 正解 当过点 P ( 2,1) 的直线斜率不存在时，即直线 x 2 ，此时点 A (1 ， 5) 到直线 x 2 的距离恰好也 为 3 ，也符合题意当直线斜率存在时，设该直线斜率为 k ，那么过点 P ( 2,1) 的直线方程为 y 1 k ( x 2) ，即 y 2 k 1 0. 由点到直线的距离公式，得| k 1 5 2 k 1|12 3. 解得 k 34，故所求直线方程为 y 1 34( x 2) ，即 3 x 4 y 2 0. 综上所述，所求直线方程为 x 2 或 3 x 4 y 2 0. 思想方法技巧 (1) 在直线上求一点，使该点到直线外两定点
