《【人教A版】选修2-2数学：第1章《导数及其应用》章末归纳总结课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【人教A版】选修2-2数学：第1章《导数及其应用》章末归纳总结课件（62页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、成才之路 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 选修 2 导数及其应用 第一章 章末归纳总结 第一章 典例探究学案 2 自主预习学案 1 自主预习学案 1 注意区分曲线在点 P 处的切线与过点 P 的曲线的切线 2 导数公式与导数的四则运算法则 (1) 要注意公式的适用范围如 ( 1中， n N ，若 n Q 且 n 0 ，则应有 x 0. (2) 注意公式不要用混，如 ( a ，而不是 ( 1. 还要特别注意 ( u v ) u v ，u v . 3 利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题 (1) 利用导数值的符号来求函数的单调区间，必须在函数的 定义域内 解不等式 f ( x )
2、 0 ( 或 f ( x ) 0 ( 或 f ( x )0 ，对于任意实数 x 都有f ( x ) 0 ，则f 1 f 0 的最小值为 ( ) A 3 B 52C 2 D 32 答案 C 解析 f ( x ) 2 b ， f ( 0) b 0 ； 对于任意实数 x 都有 f ( x ) 0 ， a 0 且 4 0 ， 4 c 0 ， f 1 f 0 a b cba 1 2 1 1 1 2 ， 当 a c 时取等号故选 C. 3 (2014 2015海南五校联考 )函数 y _ 答案 3227 解析 y s x (1 x co x 1 ，令 t x ，则 1 t 1 ，则 y t3t 1 ，则
3、y 3 2 t 1 (3 t 1)( t 1) ，令 y 0 ，解得 t13或 t 1 ，列表如下： t 1 ，13) 13( 13， 1 y 0 y 增 极大值3227减 故函数 y t 1 在 t 13时取得极大值，亦即最大值，即 ym 227. 4 (2014 2015 沈阳市模拟 ) 设 f ( x ) 其中 a 为正实数 (1) 当 a 43时，求 f ( x ) 的极值点； (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围 解析 对 f ( x ) 求导得 f ( x ) 1 2 1 . (1) 当 a 43时，令 f ( x ) 0 ，则 4 8 x 3 0
4、， 解得 x 1 32， x 2 12. 结合 ，可知 x ( ，12) 12(12，32) 32(32， ) f ( x ) 0 0 f ( x ) 极大值 极小值 x 1 32是极小值点， x 2 12是极大值点 (2) 若 f ( x ) 为 R 上的单调函数，则 f ( x ) 在 R 上不变号， 结合 与条件 a 0 ，知 2 1 0 在 R 上恒成立， 4 4 a 4 a ( a 1) 0 ， a 0 ，知 0 a 1. a 的取值范围为 (0,1 5 (2014 2015 成都质量检测 ) 已知函数 f ( x ) 122 x a (1) 若 a 1 ，求 f ( x ) 在 x
5、 1 处的切线方程； (2) 若 f ( x ) 在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围 解析 (1) 当 a 1 时， f ( x ) 122 x 则 f (1) 12 12 2 1 e 32 e ， f ( x ) x 2 f (1) 1 2 e 1 e ， 故曲线 y f ( x ) 在 x 1 处的切线方程为 y (32 e) (1 e) ( x 1) ，即 y (1 e) x 12. (2) f ( x ) 在 R 上是增函数， f ( x ) 0 在 R 上恒成立， f ( x ) 122 x a f ( x ) x 2 a 于是有不等式 x 2 a 0 在 R 上恒成立， 即
6、 a 2 R 上恒成立， 令 g ( x ) 2 则 g ( x ) x 3 令 g ( x ) 0 ，解得 x 3 ，列表如下： x ( ， 3) 3 (3 ， ) g ( x ) 0 g ( x ) 减 极小值1增 故函数 g ( x ) 在 x 3 处取得极小值，亦即最小值， 即 g ( x )m 1所以 a 1 即实数 a 的取值范围是 ( ，1 典例探究学案 导数的概念及几何意义的应用 1 导数的概念 对于函数 y f ( x ) ，如果自变量 x 在 x 0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ，比值 y y f ( x )
7、从 x 0 到 x 0 x 的平均变化率，即 y xf x 0 x f x 0 x. 如果当 x 0 时， y 们就说 y f ( x ) 在点 把这个极限叫做 f ( x ) 在点 y | x f ( x 0 y x x 0f x f x. 函数 y f ( x ) 的导函数 f ( x ) ，就是当 x 0 时，函数的增量 y 与自变量的增量 x 之间的比值 y f ( x ) x 0 y x x 0f x x f x x. 2 导数的几何意义 函数 y f(x)在点 f (是曲线 y f(x)在点P(f(处的切线的斜率 k， 即 k f ( 3 利用导数的几何意义求切线方程 利用导数的几
8、何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点 ， 常见的类型有两种 ， 一是求 “ 在某点处的切线方程 ” 则此点一定为切点 ， 通过求导 ， 求得斜率 ， 直线方程可得；另一类是求 “ 过某点的切线方程 ” ， 这种类型中的点不一定是切点 ， 可先设切点为 Q( 则切线方程为 y f (x 再由切线过点 P( f ( 又 f( 由 求出 即求出了过点 P(切线方程 已知曲线 y 133. (1) 求曲线在点 P (2,4) 处的切线方程； (2) 求曲线过点 P (2,4) 的切线方程； (3) 求斜率为 4 的曲线的切线方程 解析 (1) P (2,4) 在曲线 y 133上，且 y 在
9、点 P (2,4) 处的切线的斜率 k y | x 2 4 ， 曲线在点 P (2,4) 处的切线方程为 y 4 4( x 2) ，即 4 x y 4 0. (2) 设曲线 y 133与过点 P (2,4) 的切线相切于点 A ( 33) ， 则切线的斜率 k y | x 切线方程为 y (133) x ， 即 y x 233. 点 P (2,4) 在切线上， 4 2 2343， 即 3 4 0 ， 4 4 0 ， x 0 1) 4( x 0 1) ( x 0 1) 0 ， ( x 0 1) ( x 0 2)2 0 ，解得 x 0 1 或 x 0 2 ， 故所求的切线方程为 4 x y 4 0
10、 或 x y 2 0. (3) 设切点为 ( x 0 ， y 0 ) ，则切线的斜率 k 4 ， x 0 2. 切点为 (2,4) ， ( 2 ，43) ， 切线方程为 y 4 4( x 2) 和 y 43 4( x 2) ， 即 4 x y 4 0 和 12 x 3 y 20 0. 1 利用导数研究函数的单调性是导数的主要应用之一 ，其步骤为： (1)求导数 f (x)； (2)解不等式 f (x)0或 f (x)0总成立 ， 则该函数在 (a， b)上单调递增；若 f (x) 1) ， f ( x ) 1x 12 x 1 2 x 3 x 1 2 ， f (0) 3 ，所以所求的切线的斜率为 3. 又 f (0) 0 ，所以切点为 (0,0) 故所求的切线方程为 y 3 x . (2) f ( x ) x 1) 1( x 1) ， f ( x ) 1x 1a x 1 x 1 2x 1 a x 1 2， 当 a 0 时， x 1 ， f ( x )0 ； 当 a 1 ，得 10 ，x 1.得 x 1 a ； 综上，当 a 0 时，函数 f ( x ) 在 ( 1 ， ) 上单调递增； 当 a 0 ，求 f ( x ) 在区间 m, 2 m 上的最大值； (3) 证 明：对 x N*，
