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1、代数部分第三章：方程和方程组基础知识点：一、方程有关概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程。2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。二、一元方程1、一元一次方程（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中 x 是未知数，a、b 是已知数，a0）（3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。（4
2、）一元一次方程有唯一的一个解。例题：.解方程： （1） （2）31x xx213解： 解：（3） 【05 湘潭】 关于 x 的方程 mx+4=3x+5 的解是 x=1，则 m= 。2、一元二次方程（1） 一般形式： 02acba（2） 解法：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法求根公式 2x 0422acbabx、解下列方程：（1）x 22x0； （2）45 x 20；（3）(1 3x) 21； （4）(2x 3) 2250.（5） （t2） （t+1）=0 ； （6）x 28x20(7 )2x26x30； （8）3（ x5） 22（5x）解： 填空：（1）x 26x（ ）（ x ） 2；
3、（2）x 28x（ ）（ x ） 2；（3）x 2 x（ ）（x ） 2（3）判别式b4ac 的三种情况与根的关系当 时 有两个不相等的实数根 ，0当 时 有两个相等的实数根当 时 没有实数根。当0 时 有两个实数根例题一、一元二次方程的解法例 1、解下列方程：（1） ；（2） ；（3）)3(2x12x 22)(5)3(4xx例 2、解下列方程：（1） ；（2）)(0)(为 未 知 数ba 0822a3 （无锡市）若关于 x 的方程 x22xk0 有两个相等的实数根，则 k 满足 ( )A.k1 B.k1 C.k1 D.k14.（常州市）关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）0)(2kx（A）
4、有两个不相等实数根（B）有两个相等实数根（C）没有实数根（D）根的情况无法判定5 （浙江）已知方程 有两个不相等的实数根，则 、02qpx p满足的关系式（ ）qA、 B、 C、 D、042p2042qpq6.根与系数的关系：x 1x 2= ，x 1x2=abc例题： （浙江富阳市）已知方程 的两根分别为 、 ，则031x2的值是（ ）21xA、 B、 C、 D、211221例 3、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程 的两个根小 305x根的判别式及根与系数的关系例 4、已知关于 x 的方程： 有两个相等的实数根，求 p 的值。032)1(pxp例 5、已知 a、b 是方程 的两个根
5、，求下列各式的值：02（1） ；（2）b1分式方程的解法步骤：（1） 一般方法：选择最简公分母、去分母、解整式方程，检验（2） 换元法例题：、解方程： 的解为 根为 2142xx 06542x、 【北京市海淀区】当使用换元法解方程 时，若设3)1()(2xx，则原方程可变形为（ ）A y22 y30 B y22 y30 1xyC y22 y30 D y22 y30（3） 、用换元法解方程 时，设 ，则原方程可化为4xx x2（ ） （A） （B） （C） （D）04y03y0431y31例、解下列方程：（2） ；（2）112x5262x6、应用：（1）分式方程（行程、工作问题、顺逆流问题） （
6、2）一元二次方程（增长率、面积问题） （3）方程组实际中的运用例题：轮船在顺水中航行 80 千米所需的时间和逆水航行 60 千米所需的时间相同.已知水流的速度是 3 千米/时，求轮船在静水中的速度 .（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度= 静水速度-水流速度）解：乙两辆汽车同时分别从 A、B 两城沿同一条高速公路驶向 C 城.已知 A、C 两城的距离为 450 千米，B、C 两城的距离为 400 千米，甲车比乙车的速度快 10千米/时，结果两辆车同时到达 C 城.求两车的速度解某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到 0.1%）解
7、【05 绵阳】已知等式 (2A-7B) x+(3A-8B)=8x+10 对一切实数 x 都成立，求 A、B 的值解【05 南通】某校初三（2）班 40 名同学为“希望工程”捐款,共捐款 100 元.捐款情况如下表：捐款（元） 1 2 3 4人 数 6 7表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款 2 元的有 名同学,捐款 3 元的有 名同学,根据题意,可得方程组xyA、 B、 C、 D、76y2710x2736xy27310xy解已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数.一块长和宽分别为 60 厘米和 40 厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方
8、形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为 800 平方米.求截去正方形的边长.解： 四、方程组4、 方程组： 代 入 消 元 代 入 消 元加 减 消 元 加 减 消 元三 元 一 次 方 程 组 二 元 一 次 方 程 组 一 元 一 次 方 程二元(三元) 一次方程组的解法：代入消元、加减消元例题：解方程组 .82,7yx2038xy1230xy例 7、解下列方程组：（1） ； （2）523yx43512zyx例 8、解下列方程组：（1） ； （2）27xy2502yxyx列方程（组）解应用题知识点：一、列方程（组）解应用题的一般步骤1、审题：2、设未知数；3、找出相等关系，列方程（组
9、） ；4、解方程（组） ；5、检验，作答；二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；1、工程问题 （1）基本工作量的关系：工作量=工作效率工作时间（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量（3）注意：工程问题常把总工程看作“1” ，水池注水问题属于工程问题2、行程问题（1）基本量之间的关系：路程=速度时间（2）常见等量关系：相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及问题（设甲速度快）：同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程乙走的路程=原来甲、乙相距路程同地不同时：甲的时间=乙的时间时间差；甲的路程=乙的路程3、水中航行问题：顺流速度=船在静水中的速度+水流速
10、度；逆流速度=船在静水中的速度水流速度4、增长率问题：常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量（1+增长率） ；5、数字问题：基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数10+百位上的数100三、列方程解应用题的常用方法1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系
11、更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。例题：例 1、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作 5 天后，甲组另有任务，由乙组再单独工作 1 天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用 2 天，求甲、乙两组单独完成这项工程各需几天？例 2、某部队奉命派甲连跑步前往 90 千米外的 A 地，1 小时 45 分后，因任务需要，又增派乙连乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快 28 千米，恰好在全程的 处追上甲连。31求乙连的行进速度及追上甲连的时间例 3、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备 60 台支援抗洪，由于改进了操作技术；每天生产的台数比原计划多 50%，结果提前 2 天完成任务，求改进操
12、作技术后每天生产通讯设备多少台？例 4、某商厦今年一月份销售额为 60 万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降 10%，以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到 96 万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？例 5、一年期定期储蓄年利率为 2.25%，所得利息要交纳 20%的利息税，例如存入一年期 100 元，到期储户纳税后所得到利息的计算公式为：税后利息= %)201(5.0%25.1025.10 已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是 450 元，问该储户存入了多少本金？例 6、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？
