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1、类比思想在小学数学几何中的应用程玲玲 女 数学与信息科学系 2011 本一 1114070110数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些标面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律 abba 的学习迁移到乘法分配律 ab=ba 的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂类比思想在科学发展中占有十分重要的意义，例如：著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的。著名的生物学家达尔文把植物的自花授精与近亲结婚相类比，从而发现自
2、己子女体弱多病的原因。 1、类比方法目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长宽ab，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）宽（高）2ab（h）2。类似的，圆柱体体积公式为底面积高，那么锥体的体积可以理解为底面积高 。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说：我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。例如：几何形体数量关系的类比图形 1 图形 2长方形面积公式
3、：S=ab 三角形的面积公式：s=1/2 ab三角形面积公式：/2ab 三棱锥体积公式：V=1/3sh在圆的学习中，我们已经知道怎样求长方形周长，知道长方形周长=（长加宽）2 正方形周长=边长2，我们可以得到他们的共同点：都是封闭的平面图形，它们的周长都与图形中的某些线段有关。平面图形圆是不是也一样呢？我们用一些方法测量一下一个圆形物体的周长，进行整理：序号 周长（厘米） 直径（厘米）周长与直径的关系（保留两位小数）1 18.8 6 3.122 27.7 8 3.483 37.5 12 3.134 33.6 10 3.355 22 7 3.07通过表格中的数据，我们很容易看出：圆的周长总是直径
4、的三倍多一些。任何圆与周长和直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。我们得出圆的周长=圆周率直径。把一个立方体切成27个相等的小立方体，如果在切的过程中不允许调整，很显然，要6刀才能切成，现在的问题是，如果允许在切的过程中调整，即第一刀切完后，如果你愿意的话，切成的两部分可以重叠到一起后再切第二刀，在切第三刀之前，也可以把前两刀切出的部分任意重叠，如此类推.请问，按这样的切法，是否可以用少于6刀切出27个相等的小立方体？分析这个问题并不容易，一是三维空间对人的想象力要求比较高，二是各种切法情况比较复杂，难于一一分析.我们不妨用类比的方法，先考虑一个二维情况下的类似问题：把一个正方形分成9
5、个大小一样的小正方形，如果的切的时候不能调整，容易知道，要四刀.现在的问题是，如果可以调整，可以将切出的部分重叠后再切，可以少于四刀吗？您去试一试就知道，这个问题还是不容易解决！一不做，二不休，考虑一维情况下类似的题目：把一条直线平均分成三段，不能调整的话，两刀？如果能调整呢？情况如何？你很快可以发现，还是要两刀！怎么说明这个问题？您很快会找到中间那段，这段有两个端点，每个端点处总是要切一下的！返回去想切正方形的事！也看中间那个正方形.它有四条边，不论你怎么切，每一刀总只能切一条边！于是4刀是最少的！于看三维的情况：也考虑最中间的正方体.它有六个面，不论你怎么切，每刀最多切出一个面来.那么最少
6、要六刀！带圆正方形在33的方格纸中，可以找出许多正方形，下图中有一个圆圈“O” ，请你把包含这个圆圈的正方形图上阴影。经过分析我们可知道在 33 的方格子中，边长是 1 的正方形有九个，显然最中间的这个小正方形包含圆圈，如图（1） ，边长是 2 的正方形有 4 个，边长是 3 的正方形有 1 个，这些正方形都包含圆圈，如图：OO O例 2.一个正方形有 4 条边，如果两个同样的正方形有一条公共边，那么就称这两个小正方形连接在一起，把四个同样的正方形连接在一起可以怎样连？OO OO 这个平面的问题，如果运用类比的方法，就可以得到下面这个空间的问题：把四个同样的小立方体；连接在一起（相邻两个立方体
7、有一个公共面） ，可以怎样连接 ？我们可以把平面的正方形类比成空间的立方体 也可以得出几种。我们实践了一下，我们得到了其中： 在考虑空间的特殊性，我们还可以得到以下两种情况：比如，平面几何中的三角形是由三条线段围成的有限平面图形，平面几何中的四边形是有四条线段围成的有限平面图形，平面几何中的五边形是由五条线段围成的有限平面图形，由此类推次我们可以依次得到平面几何中的有限平面图形。又比如，立体几何中的四面体是由四个三角形围成的有限空间图形。立体几何中的正方体是由六个正方形围成的有限空间图形，由此我们也可以得出其他的一些有限空间图形。又可看出，三角形与四面体可以认为是有某些特征相似的两种对象，包括
8、正方形与正方体也是有某种特征相似的两种对象，是可以互相类比的。类比也存在这一定的风险。类比推理是一种豁然推理，类比推理得出的结论可能是正确的，也可能是不正确的。它的真实性应经过论证和检验，以免造成失误和差错。比如，将 100 增加 20，然后再减少 20，结果等于 100.如果将此运算规律类比到百分数的运算，得出“100 增加 20%，然后在减少 20%，结果仍为 100.”，就成为一个错误的结论。但在小学数学中，一般不涉及证明方法。因此，在教学中，既要重视类比方法推理的应用，又要防止学生乱用类比造成错误。对类比推理得到的结论，教师要提醒学生养成检验的习惯,学会用实例进行检查，以提高类比推理的
9、能力。要想掌握一些类比思维，就要补充综合性知识。从今后发展来看，知识也是日趋综合化，很多问题不只是用一门学科知识就能解决和回答的。我们必须在知识上融会贯通，才能实现纵横类比。特殊化的含义：所谓特殊化，是指在研究某一问题时，从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的子集的思想方法。例如：在研究多边形问题时，我们从正多边形转化为专门考察正 n 边形，还可以从正 n 边形转化为专门考察正三角形，由此得到一系列的定理和公式。这里涉及到两种特殊化方法。从多边形到正多边形，我们引进了边与角的限制，即多边形的所有边和角相等，这是一种特殊化方式。从正 n 边形到正三角形，我们用了一个特定的对象代替了
10、可变的对象，即将变数 n 换成了定数 3，这是另一种特殊化方式。特殊化的作用之一在于：当研究的对象比较复杂时，通过研究对象的特殊情况，能使我们对研究对象有一个初步的了解。特殊化的作用之二在于：事物的共性存在于个性之中，对个别特殊情况的讨论，常常可以突出问题的关键，有助于揭示问题的本质。数学教育家波利亚曾经举过这样一个例子：两人用同样大小的硬币，轮流放置于一个长方形台面上，不允许互相重叠，谁放最后一枚谁就获胜。现在的问题是先放的人胜还是后放的人胜呢？后来，有人去请教一个著名的数学家，数学家沉思片刻说：问题中既然没有指明台面的大小，不妨只考虑一种特殊情况：即台面充分小，以至于只能放下一枚硬币，这样
11、的话，先放的人显然获胜。事实上，对于熟悉中心对称的人来说，结论是完全一致的。这个例子充分体现了特殊化的思想方法德国数学家希尔伯特说过：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。常常我们在寻找一个问题的答案二未能成功的原因 ，就在于这样的事实，即有一些比手头问题更为简单、更为特殊的问题没有解决，或者 没有完全解决。这一切都有赖于找出这些比较特殊的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们。我国数学家华罗庚业强调：解决时先足够的退，退到我们最容易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去。特殊化方法解决问题的过程用特殊化解决问题的一般过程，可以用框图表示：对象 A对象A
12、+结论 B（若信息不够重复进行）特殊化图表告示我们：若我们面对的问题 A 解决起来比较困难时，可以先将 A 特殊化为 A，A与 A 相比较，外延变小，内涵增多，所以由A导出的结论 B，应包含的内涵一般也会比较多，把信息 B反馈到问题 A 中，为问题 A 的解决提供一些新的信息，再去推导结论 B就会容易一些。若解决问题 A 仍有困难，则可对 A 再次进行特殊化，进一步增强信息量，如此反复多次，最终推出结论 B，使问题 A 得到圆满解决。由于小学数学中的很多命题中存在的极限、函数等数学思想是无法用语言表述的，学生哪怕解决问题了，也无法得到理解，在这样的情况下，通过特殊法解决一些数学问题是非常有必要
13、的，也是儿童理解数学的一种特定方式。例如：在讨论平行四边形的面积时，讨论平行四边形的面积与什么有关：有说，与平行四边形的邻边有关。有说，与平行四边形的底和高有关。有的人就说，平行四边形有不稳定性，如果我们把它压扁一些，压得越扁面积就会越小， “甚至可以说是没有” ，怎么与邻边有关呢？正是这“甚至可能没有”的特殊化考虑是任何学生对解决这一问题时的思维变得更清晰。再如，解答（如图所示） “长方形面积为 32 平方厘米，左边直角三角形的面积为 6.4 平方厘米，右上角直角三角形面积为 6.8，那么中间三角形（标着数字 1 的部分）面积是多少平方厘米？”通过特殊化方法的渗透，我们有时会设长为 8 厘米
14、，则宽为 4厘米，最后我们得出标着数字 1 的部分的面积为 13.28 平方厘米。同事我会在想结果是否是正确的？那么我们就来用特殊化的例子检验一下。 （如设长为 16 厘米，宽为 2 厘米，或者长为 32 厘米宽为 1厘米，长为 10 厘米宽为 3.2 厘米等等。我们虽然不能用比例关系的理论来解释，但确实能用特殊化的方式来解决这样的特殊问题。1孔企平,张维忠,黄荣金.数学新课程与数学学习M.北京: 高等教育出版社,2003:170. 2夏征农主编,辞海编辑委员会.辞海M.上海:上海辞书出版社,2002:982. 34邵光华.作为教育任务的数学思想方法M.上海:上海教育出版社,2009:268，267. 5(美)G.波利亚.数学与猜想第一卷数学中的归纳和类比M.李心灿,王日爽,李志尧译.北京:科学出版社,2001:13. 6陈鼎兴.数学思维方法研究式教学M.南京:东南大学出版社,2008:70. 作者：金李会（新课程研究?基础教育 2011 年 3 期） 请添加标题请添加正文
