《【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 12-3不等式选讲配套课件 新人教B版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【走向高考】（2013春季发行）高三数学第一轮总复习 12-3不等式选讲配套课件 新人教B版（95页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、走向高考 数学 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教 B版 高考一轮总复习 第 十 二 章 选考部分 第 十 二 章 第 三 节 不等式选讲 基础梳理导学 思想方法技巧 课堂巩固训练 4 考点典例讲练 3 课后强化作业 5 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点： 不等式的性质、基本不等式、含绝对值不等式的解法和不等式的基本证明方法 难点： 1. 含绝对值的三角 不等式； 2 不等式的基本证明方法 夯实基础 稳固根基 一、不等式的性质及数学归纳法前面已复习过不再赘述 二、几个重要的不等式 ( 1) 定理 1 a2 b2 2 ab ( a ， b R ) ，当且仅当 a b 时取等号 ( 2)
2、定理 2( 基本不等式 ) a b2 ab ( a ， b R) ，仅当 时取等号 a b ( 3) 定理 3( 平均数定理 ) a b c33abc ( a ， b ， c R) ，当且仅当 时取等号 1n( a1 a2 an) na1a2 an( ai R， i 1,2 ， ， n ) ，当且仅当 a1 a2 an时取等号 a b c 2. 绝对值三角不等式 定理 1 | a | | b | | a b |( a ， b R ) ，仅当 时等号成立 定理 2 如果 a 、 b 、 c R ，那么 | a c | | a b | | b c |，当且仅当 ( a b )( b c ) 0 时
3、，等号成立 | a | | b | | a b |. 3. 分式不等式 若 a b n 0 ， m 0 ，则b na n0) c ax b c ， | ax b | c ( c 0) ax b c 或 ax b c ， | x a | | x b | c ， | x a | | x b | c 型不等式解法 解法 1( 分类讨论思想 ) ： S1令每个绝对值符号里的一次式为 0 ，求出相应的根 S2把这些根由小到大排序，它们把实数轴分成若干个小区间 S3在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集 S4这些解集的并集就是原不等式的解集 解法 2( 函数与方程
4、思想 ) ：构造函数 f ( x ) | x a | | x b | c ，写出 f ( x ) 的分段解析式作 出图象，找出使 f ( x ) 0( 或 f ( x ) 0)的 x 的取值范围即可 解法 3( 数形结合思想 ) ：利用绝对值的几何意义求解， | x a | | x b |表示数轴上点 P ( x ) 到点 A ( a ) 、 B ( b ) 距离的和关键找出到 A 、 B 两点距离之和为 c 的点， “” 取中间， “”取两边 注意这里 c | a b |，若 c b a b 0 ， a 1 ，且 x 0 ， n 为大于 1 的自然数，则 (1 x )n1 nx . 疑难误区
5、 点拨警示 1 使用均值不等式求最值时，必须满足 “ 一正、二定、三相等 ” 的条件，且注意变形 配凑技巧 2 不等式定理中的条件要准确把握，如 a2 b2 2 ab ( a 、b R ) ， a b 2 ab ( a 、 b R) 等 3 含绝对值三角不等式 | a | | b | | a | | b | | a b | | a | | b |中等号成立的条件应注意， | a b | | a | | b |中 a b 0 ，而 | a b | | a | | b |中 a b 0 等 4 用比商法证明不等式应注意： AB1B 0 A B . AB1B c 型不等式解法 分析： ( 1) 依据
6、绝对值的定义去掉绝对值号后可化为一元一次不等式组求解； ( 2) 不等式 f ( x ) mx 的解集非空，即在函数 y f ( x ) 的图象上，存在点在直线 y mx 的上方，故可用补集法求解 解析： ( 1) 由 f ( x ) 3 x 1 得： |2 x 3| 3 x 0 ，化为 x 32，2 x 3 3 x 0 ，或x c 型不等式解法 分析： ( 1) 依据绝对值的定义，令 x 2 0 ， x 1 0 找出分界点，将 f ( x ) 表达为分段函数，求出 f ( x ) 的值域即可获证； ( 2) 分段求出各段上的解集，再求并集 解析： ( 1) f ( x ) 3 x 1 ， 2
7、 x 1 12 时，不等式化为 x 1 x 2 4 ， x 52， 2 0 的解集 为_ 解析： 由题意知， |2 x 1 | 2 | x 1| ，两边平方得 4 x2 1 4 x 4( x2 2 x 1) ， 即 4 x2 4 x 1 4 x2 8 x 4 ， 12 x 3 ， x 14，不等式解集 x | x 14 答案： x | x 14 点评： 注意区分各种类型的绝对值不等式的解法，如： | f ( x ) | a ， | f ( x ) | | g ( x )| ， | f ( x ) | g ( x ) ， | f ( x )| | g ( x ) | a 等 . 例 3 ( 20
8、12 河南六市联考 ) 已知函数 f ( x ) | x 8| | x 4 | . ( 1) 解不等式 f ( x ) 2 ； ( 2) f ( x ) a 在 x 3,5 上恒成立，求实数 a 的取值范围 绝对值不等式中等号成立的条件 分析： ( 1) 按绝对值定义，分段化为一元一次不等式求解； ( 2) 先求函数 f ( x ) ， x 3,5 的值域，再由 a 2 得 x 2 的解集是 ( ， 5) (2) 当 x 3,4 时， f ( x ) 4 ， 当 x (4,5) 时， f ( x ) 单调递减，且最小值为 2. 在 3,5 上， f ( x ) a 恒成立时， a f ( x
9、) 恒成立，则 a M . 2 若 a f ( x ) 有解，则 a m . ( 文 ) ( 201 1 陕西长安五校一模 ) 如果存在实数 x 使不等式 | x 1| | x 2 | f ( x ) 的最小值 解析： 令 f ( x ) | x 1| | x 2| ，则 f ( x ) 3 ， x 1 ，2 x 1 ， 1 2.作出其图象，可知 f ( x )m in 3 ， k 3. 答案： k 3 ( 理 ) ( 2012 东北三 校二模 ) 设函数 f ( x ) | x 1| | x a | .( a R ) ( 1) 当 a 4 时，求不等式 f ( x ) 5 的解集； ( 2)
10、 若 f ( x ) 4 对 x R 恒成立，求实数 a 的取值范围 解析： ( 1) | x 1| | x 4| 5 等价于 x 4 ，2 x 5 5.解得： x 0 或 x 5. 故不等式 f ( x ) 5 的解集为 x | x 0 或 x 5 ( 2) 因为： f ( x ) | x 1| | x a | |( x 1) ( x a )| | a 1 | ( 当x 1 时等号成立 ) 所以： f ( x )m in | a 1| ， 由题意得： | a 1| 4 ，解得 a 3 或 a 5. 例 4 已知 x 、 y R ，求证： sin x sin y 1 sin x sin y .
11、 分析： 将 sin x 、 sin y 看作一个整体，则不等式变成了在| a | 1 ， | b | 1 时， a b 1 ab 的形式 ，可用作差比较法证明 比较法 证明： sin x sin y 1 sin x sin y sin x (1 sin y ) (1 si n y ) (1 sin y ) ( sin x 1) ， 1 sin x 1 ， 1 sin y 1 ， 1 sin y 0 ， sin x 1 0. (1 sin y ) ( sin x 1) 0 ，即 sin x sin y 1 sin x sin y . (201 1 福建理， 21) 设不等式 |2 x 1 |
12、0 ， 故 ab 1 a b . 例 5 已知 a 、 b 、 c 均为正数，证明： a2 b2 c2 (1a1b1c)2 6 3 ，并确定 a 、 b 、 c 为何值时，等 号成立 综合法 解析： 证法一： a 、 b 、 c 均为正数， a2 0 ， b2 0 ，c2 0 ，1a0 ，1b0 ，1c0 由平均值不等式得 a2 b2 c2 33a2b2c2 3( abc )23 1a1b1c 331a1b1c 3( abc ) 13 (1a1b1c)2 9( abc ) 23 a2 b2 c2 (1a1b1c)2 3( abc )23 9( abc ) 23又 3( abc )23 9( abc ) 23 2 27 6 3 原不等式成立 当且仅当 a b c 时， 式和 式等号成立，当且仅当3( abc )23 9( abc ) 23时， 式等号成立 即当且仅当 a b c 314时原式等号成立 证法二：因为 a 、 b 、 c 均为正数 由基本不等式得 a2 b2 2 ab ， b2 c2 2 bc ， a2 c2 2 ac 所以 a2 b2 c2 ab bc ac 同理1a2 1b2 1c2 1ab1bc1ac 故 a2 b2 c2 (1a1b1c)2 ab bc ac 3ab3bc3ac又 ab 3ab 2 3 ， bc 3bc 2 3 ，
