球谐函数的性质

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1、目录一般背景及注示正交变换加法定理表示定理加法定理的应用Rodrigues 公式Funk-Hecke 公式球谐函数的积分表示连带勒让德函数勒让德函数的性质微分方程球谐函数的拓展参考文献基本背景和记号：令 是 q 维欧几里得空间的一组笛卡尔坐标，这时我们有1,xL。2221qxrxL表达式 这里 1)1,q和表示的是 q 维单位球面上的笛卡尔系的点，记为 ，它的曲面元素为 ，其qqd全部曲面为 ，是由 表示出来的。qd由定义我们设 ，接着我们有 。223;4如果向量 可以构成一个正交系，我们可以用1,qL21;,qqttt来表示 上的点,而 是由 张成的空间的单位向量。q1q,这时单位球面上的曲

2、线元素可以写成 321qqdtd我们由上面可以得到3121q qt上面积分式子的右边可以转化为，当 q=2,3,。31210 2qdq21122qqq记 2221q qxxL为拉普拉斯算子，这时我们引入定义 1:令 为 q 维的 n 次齐次多项式，同时满足()nH()0qnHx这时称 为 q 维的 n 次（规则）球面调和函数。1()(nSrH由此我们马上可以得到：引理 1: nnS令 和 是两个次数分别为 n 和 m 的齐次调和多项式，由格林定理我()nHx()m们可以得到，10qnqmqnnmqxHdVHnd 同样地，在 上 和 的法向导数分别为qn1 1mmnnr rrr 和因此由定义（1

3、）我们可以得到引理 2:对于 mn 时，有 ，任何 q 维的齐次多项式可以由0qnmqSd下面式子代替（4） 110()(,)(njqnqnjxAxHL其中 是在点 的 阶齐次多项式，应用拉普拉斯算子的形11(,njqAxL,j式 21()qqx得到（5） 2212 0()(1)()jnnjqqjqnjjHxAxA由系数相等我们的得到： ，因此，若已知 和 ，则1 2()nnjA 1n所有的多项式 都可以知道，且线性无关的齐次调和多项式的数量与 和 的系数的j n数量相等。定义 为关于 的 阶齐次多项式的系数的个数，则 有如下形(,)M(,)Mq式：（6） 0(1,)0(,)njMqjnq显然

4、 ，因此 ， 和 的系数的(1,)Mn1,11(,)nqAxL11(,)nqAxL数量满足:(7) 2(,)(,),Nq幂级数（8） 0(,)jqgxNq当 时收敛。由（6）和（7）得：1x（9） 0(,)(1,)(njjn现在由（7）得：，,(1,)N因此 ，将（9）式代入（8）式中，交换和的秩序，得: 1()gx，所以 。1()qqgx 1()qqxg由此我们得到以下引理：引理 3 n 阶线性无关的球面调和函数的数量 由以下幂级数,Nn10()()qxx决定，特别地当 时有2,3q（10） 。0021(2,)()(1)3,nnnnxxNx由引理 3 我们可以很精确地得到 ，当 时，由二项式

5、展开可得,Nq101(1)()()22()nnnxqx因此（11） ()1(,) ,0qnNq如果我们设 (,),1(qnnjjScS（12）我们得到引理 4：在 维空间存在 的线性无关次数为 的球谐 而且每个无关次数为q(,)Nqnn,()njS的球谐可以被看成 的一个线性组合。n,jS正交变换：现在假设函数 构成一个正交集，即,()1,njK,()qnjkqjkSdw（13） 如果 是一个正交矩阵，而 是一个次数为 的球谐多项式，在 上如果 具A()nHAxnx()nHx有这种属性，以至于 是一个 次球谐波。特别地，S(,), ,1(Nqnnj jttScS（14）因此，对于每一个正交矩阵

6、 对应于一个矩阵 ，根据（13）和（14）我们得到：Anjtc(,), 1()q NqnnjnkjtktSAdwc（15）正交变换 可以视为 中的一个坐标变换，它离开表面元素 不变，这就意味着Aq q9 99 9, , ,njnk njnkjkssAdsd 现在我们由（15）可得,1NqnnjkjrkTTc（16）因此系数 是正交矩阵的一个元素，除了（16）我们还能得到njrc,1NqnnjkrjTkTc（17）对于 中的任意两点 和 我们可得方程9,1,NqnjnjjFs由于（17）对于任意的正交矩阵 A,1,NqnjnjjAs 9 91, , ,1 *2 21 1, ,(,)(,).,qN

7、qnjnj njnknjkjkjqqq qqnjFssAdsdttFttsx L , , ,11NqnNqnnrmj jjTsSc,1 ,qnrmnnr F因此方程 具有重要的性质就是对 和 同时进行正交变换方程不变.,F用下面的正交变换的性质进一步去研究方程 ：,a) 对每个单位向量 存在一个正交变换满足 .Aqb) 对任意两个向量 和 有gc) 对任意的单位向量 存在正交变换群的一个子群，使 固定不变把这些向量 转化成已给的单位向量 即0g勒让德函数：我现在使用这些属性去研究我们的函数 。从形式（a）中我们将 转换为 。(,)Fq然后通过（2）式， 将被表示为下列形式：（18）21;qqq

8、tt通过（b）式，在进行转换之前我们知道 的只也是 和 的数量积的值。通过（18）式，t可以看出不动点子群 同构于 维正交群。q(1)因此，在 中对于任意两个向量 和 我们有1q1q* *2 211(,)(,)qqqqFttFtt这意味着 不依赖于 。因此，这是一个关于 的单独的函数。这21(,)qt与（18）式结合我们得到：引理 5：假设 是 中一组球谐的正交集合，然后在 中对任意的两,(),njSNKqq点（或向量） 和 ，函数 只依赖于 和 的数量(,),1(, (),)njnjjFS积。在一维正交群构成的只有两个转换： 。1x从左边很清楚这个函数是 或 的次数为 的球谐。从右边可得它对

9、所有的离开 固定的n正交转换是对称的。从而我们需要介绍一种具有同样对称性的特殊的球谐。定义 2：假设 是均匀的调和的 次多项式具有下列性质：()nLxa） 对于所有的离开 不变的向量的正交变换 有 。qA()(nnLxb） ()1nqL那么 就被称之为 次勒让德多项式。()nnxTn根据这一定义，函数 是唯一确定的，根据表达式(4)，由同类多项式L和 ，函数 是唯一确定的。条件(a)说明这类多项式只11(,)nqAxK11(,)nqAxK()n由表式 确定。2211()()qxxK因此我们得到当 。22111()();0kn qnAcxA2k和当 。22111()();kn qnx K1除了一

10、系列的常数。函数 是由条件(a)确定的。常数 可以由条件(b)来确定。用nLc参数表示(2)我们得到函数 只由 决定，因为 。()t 22211()()qxxtK我们有定理一：勒让德函数 可以写成如下形式 。()nL()nnLPt其中 是一个最高次数为 n 的多项式且满足 ； 。()nPt 11()nt定理的后两个关系式很容易证明：当 时，对应的 ，第一个式子就是定义二的条件(b) ，第二个等式可由推论1,rtq一得到。增加定理我们现在能得出推论 5 的函数 ，因为我们知道这个函数是关于 的 次球简谐gn函数。如果 是由保持 不变的直角变换得到的话会变得更难改变，所以 ,1NqnjnjnjSc

11、P因为函数 只可能与函数 成正比。n为了决定常数 ，我们令 ，然后得到 。nc 2,11NqnjnnjScP在 上积分得到 并且得到q,nqNc定理 2（加法定理）让 做 n 阶 q 维的求新调和函数 的正交集合。,()jS(,)qn那么 (,),1(,),Nqnjnj nj qNP 是 n 阶 q 维的 Legendre 多项式。()Pt这个定理被称为加法定理归纳为 函数在二维情形中引入了极坐标以后推导出来的。cos为了求出 情况下的球函数，根据这个定理我们首先求出两个 n 阶齐次线性无关的多2项式函数。我们假设和 2Re()nxi2().nJmxi现在我们用通常的方法引入极坐标系 12co

12、s;iT即有 2Re()()nnxi1si.2nJmT通过上面两个式子我们得到一个正交集合 ,1,21cos()sin()nnSS勒让德函数现在通过齐次调和多项式得到，这个齐次调和多项式关于 轴对称，并且2x在 处等于 1. 我们有120,x1221,RennLxxi或者 cosn现在令 是 和 的标量积. 由（19）式，我们有t21cosn nLtPt在二维的情形，函数 又被称为切比雪夫多项式.Pt如果点 和 有坐标 和 ，由下面的式子，我们分别有cos;22,1;Nn并且有一下关系成立 :q2,11coscossinsin2222njjjSnn 1nP因此定理 2 转化为函数 在二维情形的

13、补充公式，这也解释了为什么这个结果称cs为球体调和函数的补充定理.表示定理众所周知,对于所有的三角函数都可以用一个简单的函数来代替.如果在一般的球面调和定理存在一个相关结果,那么问题就产生了.根据勒让得函数加法原理显示了它可能表示所有的球面调和.这可由定理给出，定理 3：对于任意的阶数 n，都有点组 ，使得任一球面调和函数 能用下N,1KnS述形式表达 nqkknPaS,1,由上可看出，任意的球面调和函数都可可写成 nqNjjnSc,1,所以必须用 Legendre 函数来表示 。jnS,可以看出能够找到点 使得 接着考虑行列式4.04,j,1,122nnS函数不能为 0，因为 和 是线性无关的。所以有一点 使得这行列式1,n2,nS2不为 0 因此，只需证明函数 可以被勒让德函数表示。为此，我们