《简谐运动的对称性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《简谐运动的对称性（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、简谐运动的对称性在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定） 。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
2、下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:一、运动时间的对称性例 1.如下图所示，一个质点在平衡位置 O 点附近做简谐运动，若从 O 开始计时，经过3s 质点第一次过 M 点；再继续运动，又经过 2s 它第二次经过 M 点；则该质点第三次经过M 点所需要的时间是（ ）A. 8s B. 4s C. 14s D. s310【解析】设图中 a、b 两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从 O点向右运动，OM 运动过程历时 3s，MbM 过程历时 2s，由运动时间的对称性知：质点第三次经过 M 点所需时间： ，故 C 正s16T,4 s142s6Tt确；若开始计时时刻质点从 O
3、 点向左运动，OaOM，运动过程历时 3s，MbM 过程历时 2s，有： ，质点第三次经过 M 点所需时间：s316T,42 ，故 D 正确，应选 CD。s0sTt二、速度的对称性例 2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为 m，运动过程中的最大速率为 v，从某一时刻算起，在半个周期内（ ）A. 弹力做的功一定为零B. 弹力做的功可能是 0 到 之间的某一值2v1C. 弹力的冲量一定为零D. 弹力的冲量可能是 0 到 2mv 之间的某一值【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A 正确；半个周期内振
4、子速度变化量的最大值为 2mv。由动量定理知，弹力的冲量为 0 到 2mv 之间的某一值，故 D 正确，应选 AD。三、位移的对称性例 3.一弹簧振子做简谐动动，周期为 T，则下列说法中正确的是（ ）A. 若 t 时刻和（t+t）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则t 一定等于 T的整数倍B. 若 T 时刻和（t+t）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则t 一定等于T/2 的整数倍C. 若t=T，则 t 时刻和（t+t）时刻，振子运动的加速度一定相等D. 若t= ，则 t 时刻和（t+t）时刻，弹簧的长度一定相等2【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，说明振子位于同一位置，t
5、 不定等于 T 的整数倍，A 错；振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反，但 t 不一定等于 的整数倍，B 错；在相隔一个周期 T 的两个时刻振子位于同一位置，振子运动2的加速度一定相等，C 正确；相隔t= 的两个时刻，振子位于对称位置，位移大小相等2方向相反，这时弹簧的长度不同，D 错，应选 C。四、回复力的对称性例 4.如下图在质量为 M 的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为 m（Mm）的 A、B 两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断 A、B 间的连线，此后 A 做简谐运动，当 A 运动到最高点时，支架对地面的压力为（ ）A. Mg B. (Mm)g C. (M+m)
6、g D. (M+2m)g【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对 A 的弹力为 kx=2mg，A 受到向上的合外力为 mg。当A 运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A 将受到竖直向下的合外力，其大小仍为 mg，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为 Mg。应选 A。例 5.质量为 M 的框架，如图放置，用轻弹簧连接质量为 m 的 A 物体，A 下面用细线吊一质量为 2m 物体 B，上端固定在框架上，剪断细线，在 A 运动的过程中，框架对地面的最小压力是多大？(Mm)解答：剪断细线后，A 将作简谐运动，设弹簧劲度系数为 k，其平衡位置在自然长度下X0=mg/k 时，刚开始，弹簧伸
7、长 X=3mg/k，故振幅为 A=2mg/k，由对称性，在最高点，弹簧将压缩 X=mg/k，弹簧对框架的作用力的 kX=mg，向上，故框架对地面的最小压力为(M-m)g。例例 6.在水中有一木块 A，其上置一质量为 m 物块 B，当拿去 B 后，A 恰能跳离水面，求 A 物体的质量。解答：拿走 B 后，A 物体将作上下的简谐运动，刚开始，A 处于最低振幅位置，其回复力的大小应等于 B 物体的重力，向上。由于 A 恰能跳离水面，故最高点就是此位置，其回复力应等于 A 物体所受的重力，由于最高位置和最低位置的对称性，回复力应相等，故 A物质量应等于 B 物的质量，M A=MB例例 7.质量为 m1
8、、m 2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在 m1上加一竖直向下的外力 F，撤去 F 后，m 2恰能离开地面，求 F 的大小。解答：这一问题，用机械能守恒可解，但要用到弹性势能的公式，解答过程中也较繁。我们利用简谐运动的对称性来分析这一问题。撤去 F 后，m 1将作简谐运动。初始，在最低位置，回复力为 F 向上，由于 m2恰能离开地面，此时 m1在最高位置，弹簧由于伸长对 m2的拉力为 m2g，对 m1的向下拉力也为 m2g。M 1所受合力即回复力为(m 1+m2)g。最高点与最低点对称，故 F=(m1+m2)g解答物理题有很多方法，但如果一个问题有对称性，首先考虑用对称法来解题，将
9、能起到事半功倍的效果。五、加速度的对称性例 8.如下图所示，一劲度系数为 k 的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为 M 的薄板 P，另有一质量为 m 的物块 B 放在 P 的上表面。向下压缩 B，突然松手，使系统上下振动，欲使 B、P 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？【解析】将 B、P 看成一个简谐振子，当 B、P 在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B、P 不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当 B、P 间弹力恰好为零时两物体分离，此时 B 的回复力恰好等于其重力 mg，其最大加速度为 。由加速度的对gamx称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为 。由
10、牛顿第二定律得gamx，解得 。maxmax)M(g)(k k)M(2a由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性。在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁。例例 9.一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时()A、球所受的合力最大，但不一定大于重力值B、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值C、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值D、球所受弹力最大，但不一定大于重力值如果仅从力、加速度和速度的变化来分析也很难得到
11、结果。而利用简谐运动的对称性解题则简单明了。设想铁球轻放于弹簧上端。理想情况下，它将上下简谐运动，平衡位置在其中点合力为 0 处。在最高点时，合力为 mg，弹簧提供的回复力在最低点与最高点对称，合力也为 mg 处同。从高处下落压缩量必大于轻放时的压缩量，故合力必大于重力且向上，故本题只能选(B)。也可设想小球与弹簧接触时即与弹簧连接，以后将是简谐运动，在最高处合力大于重力，故最低点合力与最高处相等，且必大于重力。这样分析，就避免了用功能观点分析这一问题，清楚简洁。例 10.如图所示，三角形架质量为 M，沿其中轴线用两根轻弹簧相栓接一质量为 m 的小球，原来三角形架静止在水平面上，现使小球上、下
12、振动，已知三角形架对水平面的最小压力为零。求：（1）当三角形架对水平面的压力为零时，小球的瞬时加速度：（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为 k，则小球做简谐运动的最大位移为多大？（3）三角形架对水平面的最大压力？六: 能量的对称性:例 11.原长为 30cm 的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图 3a），质量为 的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为 26cm。如果kgm1.0物体从距离地面 130cm 处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm 时，（不计空气阻力，取 g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（ ）A. 物体的动能为 1J B. 物体的重力势能为
13、1.08JC. 弹簧的弹性势能为 0.08J D. 物体的动能和重力势能之和为 2.16J解析 由题分析可知，当弹簧距离地面 26cm 时的位置 O 即是物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体与地面相距 30cm 时 C 位置的动能和距离 22cm 时 B 位置的动能相等（如图 3b）。因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。由机械能守恒定律可得： kEmgh1JEk 0)3(10. 2对于 C 到 B 的过程，根据机械能守恒定律有： 弹mgh2 J08.180.2弹所以正确答案为：A、C。例 12.如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体 A 连接，物体
14、A 又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物C h1 O h2 B 图 3b 图 3a mgkx1gkx2 25123mvdgdv52体 B，B 的下面又挂着物体 C，A、B、C 均处于静止状态。现剪断 B 和 C 之间的绳子，则 A和 B 将做简谐运动。已知物体 A 质量为 3m，B 和 C 质量均为 2m，A 和 B 振动的振幅为 d。试求：（1）物体 A 振动的最大速度；（2）振动过程中，绳对物体 B 的最大拉力和最小拉力。【分析】（1）绳剪断前，弹簧伸长量为 x1，剪断后，在振动的 平衡位置，弹簧压缩 x2，由于 x1=x2，两个状态的弹性势能相等（振动的振幅 d=x
15、1+x2）；由机械能守恒定律，有：解得（2）B 振动到最低点时拉力最大为 F1；振动到最高点时拉力最小为 F2；B 在振动过程的最低点：对 B:F1-2mg=2ma对 A:3mg-kx1-F1=3ma解得：F1=2.8mgB 在振动过程的最高点：对 B:2mg-F2=2ma解得：F2=1.2mg【点评】:象这种利用简谐运动的对称性的能量类综合题，近几年来也时有出现。基本思路为: （1）利用某两位置弹簧变化量的对称性从而推知该两位置弹性势能的对称性，如此题中最高点与平衡位置弹簧的压缩量与伸长量相同，故此两位置弹性势能相同。（2）利用在最高点与最低点这两位置的对称性：包括振动过程相对平衡位置两侧的
16、最大位移值相等、回复力、加速度大小相等。例 13.如图所示,在倾角为 30的光滑斜面上,一劲度系数为 k 的轻质弹簧一端固定在固定挡板 C 上,另一端连接一质量为 m 的物体 A,一轻细绳通过定滑轮,一端系在物体 A 上,另一端有一细绳套,细绳与斜面平行,物体 A 处于静止状态.现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m 的物体 B,A 将在斜面上做简谐运动。试求:(1)物体 A 的最大速度值。(2)物体 B 下降到最低点时,细绳对物体 B 的拉力值。例 14.如图甲所示，竖直放置轻弹簧下端与放在水平地面上的物块 A 相连，上端与物块 B相连。物块 C 在 B 的正上方某处自由下落，与 B 碰后黏合在一起后继续下降(C 与 B 碰后黏合后的速度是黏合 C 速的一半)。在物块 C 正上方放置一个速度传感器，以测定 C 下落的
