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1、1量子力学复习题(2013)一、填空题1. 在空间发现粒子的概率密度为_；概率流密度为_。2. 波尔的量子化条件为 。3. 坐标和动量的测不准关系是_。4. 德布罗意关系为 。5. 对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为_，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为_，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为_。6. 用来解释光电效应的爱因斯坦公式为 。7. 为泡利算符， ， ， v2v2,zv,xy。8. 波函数的统计解释为 。9. 隧道效应是指_。10. 波函数的标准化条件为 。11. 为氢原子波函数， 的取值范围为 。(),nlmllmRrY,nlm12. 表示力
2、学量的算符应满足的两个性质是 。13. 乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 _。14. 厄米算符的本征函数具有 ，其本征值为 ，不同本征值对应的本征函数 。15. ， ， 。,xp,yxL,xLy16. 在 表象中， 的矩阵表示为 ， 的本征值为 ，对应的zx 本征矢为 。17. 若两力学量 有共同本征函数完全集，则 。,AB,AB18. 自旋角动量与自旋磁矩的关系为 。19. 在定态的条件下，守恒的力学量是 。20. 原子电偶极跃迁的选择定则为 。21. 设体系处在 态，在该态下测量 有确定值 ，则表示该力学量的算符 与态矢|FF2量 的关系为 。|22. 轨道磁矩与轨道角动量的关
3、系为 ，自旋磁矩与自旋角动量的关系为 。23. 费米子所组成的全同离子体系的波函数具有 ，玻色子所组成的全同离子体系的波函数具有 。24. 在 表象中， 的矩阵表示为 ， 的本征值为 ，对应的zz z本征矢为 。25. 自旋 的本征值为 ，在 表象中， 的矩阵表示为 ，对zSzSx应的本征矢为 。二、计算题1 （10 分）设粒子处在一维无限深方势阱 中,粒子的波函数为0 ()(),xaVx,A 为归一化常数 .(1)求 A; (2) 粒子在何处出现的概率最大。)()ax2 已知 时，氢原子的波函数为 ，其中0t102()(,)z rrst满足归一化条件 。试完成：（1）写出任),()(lmnl
4、nlmYrR|)(|3rdnlm意 时刻的波函数 ；（2）求能量 、轨道角动量 和 、自旋 的可能取值tzstE2LzzS和相应的几率以及平均值；（3）计算 时刻自旋分量 的平均值 。txSx3 设在 表象中 ，其中 a，b 都是实数，用微扰论求能量至0H) bbaE)0(2)0(1二级修正。4 （10 分）设粒子处于态 ， 为归一化波函数， 为球谐102103YclmY函数，求：（1）系数 的值；（2） 的可能测值；（3）测 得到 的概率。czL2L26h5 自旋为 的体系，在 时处于本0t3征值为 的 的本征态，将其置于 的磁场中，求 时刻，测量 取2/hxS0,BvtxS的几率。6 （1
5、0 分）设在 表象中， 的矩阵表示为 ，其中0H012*03EaHb，试用微扰论求系统的能量（精确到二级能量修正）。00123,abE=7 设氢原子处在能量本征态 ，求氢原子角动量各分量,(,)nlmnllmrRrY平均值 、 和 。xLyz8 （10 分）电子的归一化自旋-轨道波函数为 ，与自旋相关的力学量12(,)xyz。在态 下求：（1） 对自旋求平均值的结果；（2） 对坐标和自旋同abGcdGG时求平均值的结果。9 在正交基矢 和 展开的态空间中，某力学量 ，求在态12,3 201Aa中测量 A 的可能值、几率和平均值。12310 粒子的波函数为 ，求其几率流密度。ikre111 利用
6、氢原子的能级公式，求电子偶素（e +-e-束缚体系）的能谱。12 设量子体系的 Hamilton 量为 ，频率 是实数。（1）求体系能量的10 Hh本征值和本征函数；（2）如果 时体系处于状态，求 时体系所处状态；（3）若t t时体系处于基态，当一个小的与 t 有关的微扰 在 时加上后，求0t 0tet时体系跃迁到激发态的几率。13 教材中布置了的习题。三、问答题41. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？2. 经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？3. 简述力学量与力学量算符的关系是什么？4. 量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？5. 简述波
7、尔的原子理论，为什么说波尔的原子理论是半经典半量子的？6. 简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？7. 能量本征态的叠加态还是能量本征态吗？为什么？8. 量子力学不同表象间的变换是什么变换？在不同表象中不变的量是哪些？9. 什么是定态？定态有什么性质？四、证明题1. 若算符 A、B 有共同的本征函数完备集，则 A、B 对易。2. 对于力学量 A 与 B，写出二者在任何量子态下涨落所满足的关系，并推导之。3. 写出力学量 A 的平均值随时间的演化方程，并作简略推导。4. 在定态下，证明任意不显含时间 t 的力学量 A 取值几率分布不随时间改变。5. Pauli 算符各个分量的反对易关系。6. 在 共同表象下，在角动量量子数 的子空间中， 、 和 的矩阵表示2(,)zL1lxLyz分别为 、 和 ，证明角012xh02yiLih10xh动量平方 。22210xyzLh7. 由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符 ，试证明（1）|p是厄米算符；（2） ；（3） 的本征值为 0 和 1。p2pp
