《2017-2018年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式学案（含解析）新人教a版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式学案（含解析）新人教a版选修4-5（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1一 二维形式的柯西不等式1二维形式的柯西不等式(1)定理 1：若 a， b， c， d 都是实数，则( a2 b2)(c2 d2)( ac bd)2，当且仅当ad bc 时，等号成立(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a b)(c d)( )2(a， b， c， d 为非负实数)；ac bd | ac bd|(a， b， c， dR)；a2 b2 c2 d2 | ac| bd|(a， b， c， dR)a2 b2 c2 d22柯西不等式的向量形式定理 2：设 ， 是两个向量，则| | | |，当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成立柯西不等式的向量形式中 | | |，取等号的
2、条件是 0 或存在实数k，使 k .3二维形式的三角不等式(1)定理 3： x1， y1， x2， y2R，那么 x21 y21 x2 y2. x1 x2 2 y1 y2 2(2)推论：对于任意的 x1， x2， x3， y1， y2， y3R，有 x1 x3 2 y1 y3 2 . x2 x3 2 y2 y3 2 x1 x2 2 y1 y2 2事实上，在平面直角坐标系中，设点 P1， P2， P3的坐标分别为( x1， y1)，( x2， y2)，(x3， y3)，根据 P1P2P3的边长关系有| P1P3| P2P3| P1P2|，当且仅当三点 P1， P2， P3共线，并且点 P1， P
3、2在 P3点的异侧时，等号成立利用柯西不等式证明不等式设 1，求证： x2 y2( m n)2.m2x2 n2y2可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，然后用柯西不等式证明 1，m2x2 n2y2 x2 y2( x2 y2) 2( m n)2.(m2x2 n2y2) (xmx yny)利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，构造柯西不等式2的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件1已知 a2 b21， x2 y21，求证：| ax by|1.证明：由柯西不等式，得( ax by)2( a2 b2)(x2 y2)1，| ax by|1.2.已知 a1， a
4、2， b1， b2为正实数，求证：( a1b1 a2b2) ( a1 a2)2.(a1b1 a2b2)证明：( a1b1 a2b2)(a1b1 a2b2) (a1b1)2 (a2b2)2 2( a1 a2)2.(a1b1a1b1 a2b2a2b2)3设 a， b， c 为正数，求证： (a b c)a2 b2 b2 c2 a2 c2 2证明：由柯西不等式，得 a b，a2 b2 12 12即 a b.2 a2 b2同理 b c， a c，2 b2 c2 2 a2 c2将上面三个同向不等式相加，得2( a b c)，2(a2 b2 a2 c2 b2 c2) (a b c).a2 b2 a2 c2
5、 b2 c2 2利用柯西不等式求最值求函数 y3sin 4cos 的最大值函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值由柯西不等式，得(3sin 4cos )2(3 24 2)(sin2 cos 2 )25，3sin 4cos 5.当且仅当 0，即 sin ，cos 时取等号，即函数的最大值为sin 3 cos 4 35 455.利用柯西不等式求最值(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常3数的各项，就可以应用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技
6、巧；(3)而有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一4已知 2x2 y21，求 2x y 的最大值解：2 x y x1 y .2 2 2 2 12 2x 2 y2 3 2x2 y2 3当且仅当 x y 时，等号成立2 x y 的最大值为 .33 35已知 2x3 y1，求 4x29 y2的最小值解：(4 x29 y2)(222 2)(4 x6 y)24，4 x29 y2 .12当且仅当 22x3 y2，即 2x3 y 时，等号成立又 2x3 y1，得 x
7、 ， y ，14 16故当 x ， y 时，4 x29 y2的最小值为 .14 16 126求函数 f(x) 的最大值及此时 x 的值x 6 12 x解：函数的定义域为，由柯西不等式，得( )2(1 21 2)2( x612 x)12，x 6 12 x即 2 .x 6 12 x 3故当 时，即 x9 时，函数 f(x)取得最大值 2 .x 6 12 x 3课时跟踪检测(九)1已知 x， yR ，且 xy1，则 的最小值为()(11x)(1 1y)A4 B2 C1 D.14解析：选 A (11x)(1 1y) 12 (1x)2 12 (1y)2 2 22 24.(11 1x1y) (1 1xy)
8、2若 a， bR，且 a2 b210，则 a b 的取值范围是()4A BC D( ， )5 5解析：选 A( a2 b2)( a b)2， a2 b210，( a b)220.2 a b2 .5 53已知 x y1，那么 2x23 y2的最小值是()A. B. C. D.56 65 2536 3625解析：选 B(2 x23 y2)( x y)2 (x y)26，6 6 6当且仅当 x ， y 时，等号成立，即 2x23 y2 .35 25 654函数 y 2 的最大值是()x 5 6 xA. B. 3 5C3 D5解析：选 B根据柯西不等式，知 y1 2 x 5 6 x 12 22 ，当且
9、仅当 x 时，等号成立 x 5 2 6 x 2 52655设 xy0，则 的最小值为_(x24y2) (y2 1x2)解析：原式 x2 (2y)2(1x)2 y2 29(当且仅当 xy 时，等号成立)(x1x 2yy) 2答案：96设实数 x， y 满足 3x22 y26，则 P2 x y 的最大值为_解析：由柯西不等式，得(2 x y)2 (3 x22 y2) 6 11，(23)2 (12)2 (43 12) 116当且仅当 x ， y 时，等号成立，411 311于是 2x y .11答案： 117函数 f(x) 的最大值为_2 x2 2x2 1解析：因题意得函数有意义时 x 满足 x22
10、.12由柯西不等式，得 2 22 x2 2(x2 12)5(12) ， f(x) ，(2 x2 x212) 92 322当且仅当 2 x2 ，即 x2 时，等号成立x2 122 32答案：3228已知 为锐角， a， b R .求证：( a b)2 .a2cos2 b2sin2证明：设 m ， n(cos ，sin )，(acos ， bsin )则| a b| |acos cos bsin sin | |mn| m|n| (acos )2 ( bsin )2 1 ，( a b)2 .a2cos2 b2sin2 a2cos2 b2sin29解方程： 2 .4x 3 1 2x 15解：15 2(
11、22x 32 2 1 2x) (2x 32)2 1 2x 26 6 15.(2x32 1 2x) 52其中等号成立的充要条件是 ，2x 322 1 2x2解得 x .1310试求函数 f(x)3cos x4 的最大值，并求出相应的 x 的值1 sin2x解：设 m(3,4)，n(cos x， )，1 sin2x则 f(x)3cos x4 1 sin2x| mn| m|n| 5 ，cos2x 1 sin2x 32 42 26当且仅当 m n 时，上式取等号此时，3 4cos x0，1 sin2x解得 sin x ，cos x .75 325故当 sin x ，cos x 时，75 325f(x)3cos x4 取得最大值 5 .1 sin2x 2
