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1、1椭圆及椭圆的标准方程的教学设计浙江省黄岩中学 冯海容学生现状分析、本课的背景及地位本课是学生学习了直线和圆的方程及其性质、曲线与方程的关系的基础上，学生对解析几何有一定的了解的基础上，已具有一定的观察、分析问题、解决问题的能力之后，开始学习圆锥曲线方程的第一课时掌握椭圆的研究方法，既培养了学生的观察、分析、发现、概括、探索等能力，又为后续学习双曲线、抛物线甚至整个解析几何打下坚实的基础新高中数学教学大纲要求加强创新能力的培养，使学生在学科领域或在现实生活情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、表达与交流等探究性活动，获得知识、技能故本课能够通过有关设计使之成为一节研究性课，也有必要使它成为
2、研究性课本课的教学目标由本课的地位及学生现状分析，确定本课的教学目标：在准确掌握椭圆的定义，熟练掌握标准方程及其推导的基础上，注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，注重掌握运用解析法研究几何的一般方法，注重动手能力、探索能力的培养本课的教学方法为了使学生更主动地参加到课堂教学中，培养他们的能力，发展他们的“最新发展区” ，以及为了实现本课的教学目标 本课采用探索研讨法，即“问题诱导启发讨论探索结果”及“直接观察归纳抽象总结规律”的一种研究性教学方法本课的教学准备教师制作课件（一个 PowerPoint 课件，一个几何画板课件） ，准备 25 副画椭圆工具（每副包括一块木板、两颗图钉、一
3、根细绳，一张白纸） 本课的教学过程设计一椭圆定义的探索（通过观察、实验、探索、抽象、归纳得出定义）1播放课件及观察实物；学生观察，形成椭圆的直观形象，创设问题情境，引起学生兴趣播放内容：天体运行图（月亮绕地球，地球绕太阳旋转） 、立体几何中圆的直观图实物：圆柱形杯倾斜后杯中水的形状这是实际生活中图形，数学中我们也遇到这一类图形：在教材 P72（4） （归结为到两定点距离之和为定值的点的轨迹）问题：如何用现有的工具画出图形？2实验：教师与学生一起找出上述问题的解决方案，并一同画出图形，与上述图形相似椭圆，并问：1）在生活中除上述外有没有遇见过？（加深椭圆的印象，若学生回答鸡蛋轮廓线，鸡蛋的轮廓线
4、两头有大小不是椭圆，有兴趣的同学可查有关的资料）22）这样给椭圆下定义？得出椭圆的直观定义：平面内到两定点 F1、F 2 距离之和为定值 2a 的点 M 的轨迹即点 M 满足 a|F|213继续探索：平面内到两定点 F1、F 2 距离之和为定值 2a 的点 M 的轨迹都是“椭圆”吗？改变 2a 的大小后，或改变 F1、F 2 之间的距离（2c） ，教师与学生一起画出图形，并观察图形的变化规律，由画图不方便，改用几何画板课件（图形能随着2a、或 2c 的改变而改变） ，并引导学生发现问题：1）当 （即 2a=2c）时,点 M 的轨迹是什么？|F| 211师生共同用现有的工具画出（是一段线段） 2
5、）当 （即 2ac0）令 )0b(ca221byax23）师生一起讨论：上述方程变形同解吗？促使学生理解：曲线方程必须是“以方程解为坐标的点在轨迹上” ，但该证明略去讨论当中心在原点焦点在 y 轴的椭圆的方程？怎样求？与中心在原点焦点在 x 轴椭圆的方程有什么联系？促使学生理解数学的对称美（图形对称美、方程对称美及对称在此处的作用）引出椭圆的标准方程（二种，中心一定在原点，焦点在坐标轴的椭圆方程） 为了方程的简单，引入 b,b 的大小能否在图形上找出？a、c 呢？a、b、c大小如何？a、b、c 之间的关系？方程 ，A、B、C 满足什么条件时，是椭圆的方程？yx2A、B、C 满足什么条件时，是焦
6、点在 x 轴上的椭圆的方程？A、B、C 满足什么条件时，是焦点在 y 轴上的椭圆的方程？（举实例）设计说明：这样设计丝丝入扣，既巩固椭圆标准方程，且引起学生的兴趣，培养了学生的运算能力，美的欣赏能力（对称美及其作用） ，提出问题的能力，反思的能力，促使学生体会如何用解析法探索曲线的性质；促使学生领悟如何学习、辩识新事物三巩固练习（学生练习、思考、讨论、反馈、矫正）1） （教材例 1 改） 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0) 、(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0, 2) 、(0 ，2) ，并且椭圆经过点 )25,
7、3(（1）改）到两定点(,),(,)的距离和等于的点的轨迹方程.让学生总结：（教师及时矫正与补充）判断所求方程是否是椭圆的标准方程，哪一种用待定系数法等有关方法确定 a、b（或利用 a、b、c 关系） 2）(课本 P96 3.)写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a=4，b=1, 焦点在 x 轴上；(2) a=4， ，焦点在 y 轴上；15c（3） 2,0ba43）(课本 P96 2.)如果椭圆 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6，则136y0x2点 P 到另一个焦点 F2 的距离是 .设计说明：这样设计有利于培养学生待定系数法、数形结合等的数学思想方法，巩固椭圆的定义；也有利于教师
8、与学生之间的交流四继续探索（为今后教学作准备、引起学生的探索欲望）1在探索椭圆定义时，发现椭圆有扁一些的、有圆一些的，用几何画板课件演示，注意 a、 b、c 的变化，用什么来表示椭圆的扁圆的程度2在探索椭圆标准方程时，化简过程中有： ；22y)cx(ac它有什么含义？3改为“到两定点距离之差为定值的点的轨迹” ，则其轨迹是什么呢？你能否找到工具来验证你的想法？你还有什么类似的轨迹要研究、探索？本教学设计是利用先进的教学理念，将传统手段（让学生画椭圆等）与先进的计算机多媒体技术整合在一起，取长补短，展现知识的发生发展过程，让学生始终处在问题探索研究状态之中，让学生在获取知识的同时，培养了学生的学习数学的兴趣；培养了待定系数、数形结合等数学思想方法，也培养了学生的动手能力、探索能力、美的欣赏能力，是研究性教学的一次有益的尝试
