《2017-2018年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第二课时 三角函数线及其应用学案（含解析）新人教a版必修4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数 第二课时 三角函数线及其应用学案（含解析）新人教a版必修4（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、- 1 -第二课时三角函数线及其应用提出问题在平面直角坐标系中，任意角 的终边与单位圆交于点 P，过 P 作 PM x 轴，过 A(1,0)作AT x 轴，交终边或其反向延长线于点 T.问题 1：根据上面的叙述画出 分别取 135，30，225和60时的图形提示：问题 2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到 sin ，cos ，tan 与MP， OM， AT 的关系吗？提示：可以，|sin | MP|，|cos | OM|，|tan | AT|.导入新知1有向线段带有方向的线段叫做有向线段2三角函数线图示正弦线 的终边与单位圆交于 P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴，有向线段 MP 即为
2、正弦线余弦线 有向线段 OM 即为余弦线正切线 过 A(1,0)作 x 轴的垂线，交 的终边或其终边的反向延长线于 T，有向线段 AT- 2 -即为正切线化解疑难三角函数线的四个注意点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与 的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与 x 轴或 y 轴同向的为正值，与 x 轴或 y 轴反向的为负值；(4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后三角函数线的作法例 1作出 的正弦线、余弦线和正切线34解角 的终边(如图)与单位圆的交
3、点为 P.作 PM 垂直于 x 轴，34垂足为 M，过 A(1,0)作单位圆的切线 AT，与 的终边的反向延长线交34于点 T，则 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.34类题通法三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作 x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线(2)作正切线时，应从 A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点 T，即可得到正切线 AT.活学活用作出 的正弦线、余弦线和正切线94解：如图所示，- 3 - 的正弦线为 MP，余弦线为 OM，正切线为 AT.94利用三角函数线比较大小例 2分别比
4、较 sin 与 sin ；cos 与 cos ；tan 与 tan 的大小23 45 23 45 23 45解在直角坐标系中作单位圆如图所示以 x 轴非负半轴为始边作 的终边与单位圆交于 P 点，作 PM Ox，垂足为 M.由单位圆与23Ox 正方向的交点 A 作 Ox 的垂线与 OP 的反向延长线交于 T 点，则 sin MP，cos OM，tan AT.23 23 23同理，可作出 的正弦线、余弦线和正切线，sin M P，cos OM，tan45 45 45 AT.由图形可知， MPM P，符号相同，则 sin sin ； OMOM，符号相同，45 23 45则 cos cos ； AT
5、MPOM；- 4 -当 M P OM.利用三角函数线解不等式例 3利用三角函数线，求满足下列条件的 的范围(1)sin .12 32解(1)如图，过点 作 x 轴的平行线交单位圆于 P， P两点，则(0， 12)sin xOPsin xOP ， xOP ， xOP ，12 116 76故 的范围是Error!.(2)如图，过点 作 x 轴的垂线与单位圆交于 P， P两点，则(32， 0)cos xOPcos xOP ， xOP ， xOP ，32 6 6故 的范围是Error!.类题通法利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点一般
6、来说，对于 sin x b，cos x a(或 sin x b，cos x a)，只需作直线 y b， x a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的 x 的范围；对于 tan x c(或 tan x c)，则取点(1， c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得活学活用- 5 -利用三角函数线求满足 tan 的角 的范围33答案：Error!2.三 角 函 数 线 的 概 念典例已知角 的正弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角 的终边在()A y 轴的非负半轴上B y 轴的非正半轴上C x 轴上D y 轴上解析由题意可知，
7、sin 1，故角 的终边在 y 轴上答案D易错防范1本题易错误地认为正弦线是长度为单位长度的有向线段时，sin 1，从而误选 A.2若搞错正弦线和余弦线的位置，则易错选 C.3解决此类问题要正确理解有向线段的概念，既要把握好有向线段是带有方向的线段，有正也有负，同时也要把握准正弦线和余弦线的位置成功破障已知角 的正切线是长度为单位长度的有向线段，那么角 的终边在()A直线 y x 上B直线 y x 上C直线 y x 上或直线 y x 上D x 轴上或 y 轴上答案：C随堂即时演练1已知角 的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则 的终边在()A第一象限的角平分线上B第四象限的角平分线
8、上C第二、四象限的角平分线上D第一、三象限的角平分线上- 6 -答案：C2如果 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是()78A MP0MPC OM0OM答案：D3若角 的余弦线长度为 0，则它的正弦线的长度为_答案：14用三角函数线比较 sin 1 与 cos 1 的大小，结果是_答案：sin 1cos 15若 ，利用单位圆证明：sin cos 1.(0， 2)证明：如图所示，设角 的终边交单位圆于点 P，作 PM x 轴于点 M.因为 sin MP| MP|，cos OM| OM|，所以 sin cos | MP| OM| OP|，而|OP|1，所以 sin c
9、os 1.课时达标检测一、选择题1角 和角 有相同的() 5 65A正弦线 B余弦线C正切线 D不能确定答案：C2已知 的余弦线是单位长度的有向线段，那么 的终边在()A x 轴上 B y 轴上C直线 y x 上 D以上都不对答案：A3若 ，则 sin ，cos ，tan 的大小关系是() 4 2Atan cos sin Bsin tan cos Ccos tan sin Dcos sin tan 答案：D- 7 -4设 asin(1)， bcos(1)， ctan(1)，则有()A a .利用三角函数线，得到 的取值范围是32 12_答案： (0， 3) (53， 2 )8若 ，则 sin
10、的取值范围是_(34， 32)答案： ( 1，22)三、解答题9试作出角 的正弦线、余弦线和正切线76试作出角 的正弦线、余弦线和正切线76解：如图： 的余弦线、正弦线和正切线分别为 OM， MP 和 AT.7610利用单位圆中的三角函数线，求满足Error!的 x 的取值范围解：由Error!得Error!- 8 -如图所示，由三角函数线可得Error!此交集为图形中的阴影重叠部分，即2k x2 k (kZ) 3故 x 的取值范围为 .x|2k x 2k 3， k Z11试利用单位圆中的三角函数线证明：当 0 时，sin 2 tan .证明：如图，单位圆与 的终边 OP 相交于 P 点，过 P 作 PM x轴，垂足为 M，连接 AP，过单位圆与 x 轴正半轴的交点 A 作 AT x 轴交 OP 于点 T，则 sin MP， ，tan AT，由 S 扇形 OAPSAPOAT，即 OA OAAT，所以 AT.又 MPPA ，因此 MP AT，即 sin tan .12 AP12 AP AP AP
