《2017-2018年高中数学 第三章 空间向量与立体几何阶段质量检测a卷（含解析）新人教a版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018年高中数学 第三章 空间向量与立体几何阶段质量检测a卷（含解析）新人教a版选修2-1（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第三章 空间向量与立体几何(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本题共 10 小题，每小题 6 分，共 60 分)1设 l1的方向向量为 a(1,2，2)， l2的方向向量为 b(2,3， m)，若 l1 l2，则 m 等于()A1 B2C. D312解析：选 B若 l1 l2，则 a b， ab0，1(2)23(2) m0，解得 m2.2已知 a， b 是平面 内的两个不相等的非零向量，非零向量 c 在直线 l 上，则ca0 且 cb0 是 l 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B若 l ，则 l 与 a， b 所在的直线垂直
2、， c a， c b， ca0， cb0，是必要条件； a b，当 a 与 b 同向(或反向)时，由 ca0 且 cb0 可以推出 c a 且 c b，但不能推出 l ，不是充分条件3已知向量 i， j， k 是一组单位正交向量， m8 j3 k， n i5 j4 k，则mn()A7 B20C28 D11解析：选 C因为 m(0,8,3)， n(1,5，4)，所以 mn0401228.4已知二面角 l 的大小为 ， m， n 为异面直线，且 m ， n ，则 m， n 所 3成的角为()A. B. 6 3C. D. 2 23解析：选 B设 m， n 的方向向量分别为 m， n.由 m ， n
3、知 m， n 分别是平面 ， 的法向量(A卷 学业水平达标 )2|cos m， n|cos ， m， n 或 . 3 12 3 23但由于两异面直线所成的角的范围为 ，(0， 2故异面直线 m， n 所成的角为 . 35已知空间四个点 A(1,1,1)， B(4,0,2)， C(3，1,0)， D(1,0,4)，则直线 AD与平面 ABC 的夹角为()A30 B45C60 D90解析：选 A设 n( x， y,1)是平面 ABC 的一个法向量 (5，1,1)， (4，2，1)，AB AC Error!Error! n .(12， 32， 1)又 (2，1,3)，设 AD 与平面 ABC 所成的
4、角为 ，AD 则 sin ，727 12 30.6在以下命题中，不正确的个数为()| a| b| a b|是 a， b 共线的充要条件；若 a b，则存在唯一的实数 ，使 a b ；对空间任意一点 O 和不共线的三点 A， B， C，若 2 2 ，则OP OA OB OC P， A， B， C 四点共面；若 a， b， c为空间的一个基底，则 a b， b c， c a构成空间的另一个基底； |( ab)c| a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：选 C| a| b| a b|a 与 b 共线，但 a 与 b 共线时| a| b| a b|不一定成立，故不正确； b 需为非零向量，故不正确；
5、因为 2211，由共面向量定理知，不正确；由基底的定义知正确；由向量的数量积的性质知，不正确7已知向量 a(1,2,3)， b(2，4，6)，| c| ，若( a b)c7，则 a143与 c 的夹角为()A30 B60C120 D150解析：选 C设向量 a b 与 c 的夹角为 ，因为 a b(1，2，3)，| a b| ，14cos ， a b c|a b|c| 12所以 60.因为向量 a b 与 a 的方向相反，所以 a 与 c 的夹角为 120.8在空间直角坐标系 Oxyz 中， i， j， k 分别是 x 轴、 y 轴、 z 轴的方向向量，设 a 为非零向量，且 a， i45，
6、a， j60，则 a， k()A30 B45C60 D90解析：选 C如图所示，设| a| m(m0)，a ， PA平面 xOy，OP 则在 Rt PBO 中，|PB| |sin a， i m，OP 22在 Rt PCO 中，|OC| |cos a， j ，OP m2| AB| ，m2在 Rt PAB 中，|PA| ，|PB|2 |AB|224m2 m24 m2| OD| ，在 Rt PDO 中，cos a， k .m2 |OD|OP| 12又0 a， k180， a， k60.9在长方体 ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为 2 的正方形，高为 4，则点 A1到截面AB1D1的距离为()
7、A. B.83 384C. D.43 34解析：选 C取 ， ， 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，可求DA DC DD1 得平面 AB1D1的法向量为 n(2，2,1)故 A1到平面 AB1D1的距离为 d .4310三棱柱 ABCA1B1C1中，底面 ABC 为正三角形，侧棱长等于底面边长， A1在底面的射影是 ABC 的中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于()A. B.13 23C. D.33 23解析：选 B如图，设 A1点在底面 ABC 内的射影为点 O，以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 ABC 边长为 1，则 A ， B1 ，(3
8、3， 0， 0) ( 32， 12， 63) .AB1 ( 536， 12， 63)平面 ABC 的法向量 n(0,0,1)，则 AB1与底面 ABC 所成角 的正弦值为sin |cos ， n| .AB1 637536 14 69 23二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)11已知 a(3 ，6， 6)， b( 1,3,2 )为两平行平面的法向量，则 _.解析：由题意知 a b， ，解得 2.3 1 63 62答案：212若 a(2,3，1)， b(2,1,3)，则以 a， b 为邻边的平行四边形的面积为_解析：cos a， b ，得 sin a， b ，ab|a|b|
9、 27 3575由公式 S| a|b|sin a， b可得结果答案：6 513在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，若 a 2 b 3 c ，则AC1 AB AD A abc_.解析： a 2 b 3 c ，AC1 AB AD AA1 AB AD A a1， b ， c .12 13 abc .16答案：1614.如图，在矩形 ABCD 中， AB3， BC1， EF BC 且 AE2 EB， G 为 BC 的中点， K 为AF 的中点沿 EF 将矩形折成 120的二面角 AEFB，此时 KG 的长为_解析：如图，过 K 作 KM EF，垂足 M 为 EF 的中点，则向量 与MK 的夹角为
10、 120，FC ， 60.KM FC 又 ，KG KM MG KM FC 2 2 22 KG KM FC KM FC 11211cos 603.| | .KG 3答案： 3三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 10 分)如图所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，设 a， b， c， M， N， P 分别是 AA1， BC， C1D1的中点，AA1 AB AD 试用 a， b， c 表示以下各向量：6(1) ；(2) ；(3) .AP A1N MP NC1 解：(1)点 P 是 C1D1的中点， a AP AA1 A1D
11、1 D1P AD 12D1C1 a c a c b.12AB 12(2) N 是 BC 的中点， a b a b a b c.A1N A1A AB BN 12BC 12AD 12(3) M 是 AA1的中点， MP MA AP 12A AP a a b c，12 (a c 12b) 12 12又 NC1 NC CC1 12BC AA1 c a，12AD AA1 12 MP NC1 (12a 12b c) (a 12c) a b c.32 12 3216(本小题满分 12 分)已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面， BAC90，AB AA12， AC1， M， N 分别是 A1B1，
12、BC 的中点(1)证明： AB AC1；(2)证明： MN平面 ACC1A1.证明：依条件可知 AB， AC， AA1两两垂直如图，以点 A 为原点，建立空间直角坐标系 Axyz.根据条件容易求出如下各点坐标：A(0,0,0)， B(0,2,0)， B1(0,2,2)， C1(1,0,2)，7M(0,1,2)， N .(12， 1， 0)(1) (0,2,0)， (1,0,2)，AB AC1 0(1)20020.AB AC1 ，即 AB AC1.AB AC1 (2)因为 ，MN ( 12， 0， 2)(0,2,0)是平面 ACC1A1的一个法向量，AB 且 002(2)00，MN AB 12所
13、以 .MN AB 又因为 MN平面 ACC1A1，所以 MN平面 ACC1A1.17(本小题满分 12 分)如下(左)图，在 Rt ABC 中， C90，BC3， AC6， D， E 分别为 AC、 AB 上的点，且 DE BC， DE2，将 ADE 沿 DE 折起到A1DE 的位置，使 A1C CD，如下(右)图(1)求证： A1C平面 BCDE；(2)若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小解：(1) AC BC， DE BC， DE AC. DE A1D， DE CD， DE平面 A1DC. DE A1C.又 A1C CD， A1C平面 BCDE.(2)如图所示，以 C 为坐标原点，建立空间直角坐标系 C xyz，则A1(0，0，
