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1、 第二章 习题解答2-1什么是信号？信号处理的目的是什么？2-2信号分类的方法有哪些？2-3求正弦信号 的均方值 。tAtxsin2x解： 24sin2 2cos1si11022002 ATAT dttddttTTTx 也可先求概率密度函数： 则： 。21)(xtp2)(22Ax2-4求正弦信号 的概率密度函数 p(x)。)sin(tAtx解： 221)(1,arci xAxdxt 代入概率密度函数公式得： 22 2001limli)( xAxxTdtTtxpx2-5求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱解 在 x(t)的一个周期中可表示为 201)(1Tttx该信号基本周期为 T
2、，基频 0=2/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于 x(t)关于 t=0 对称，txT1-T1 T-T我们可以方便地选取-T /2t T/2 作为计算区间。计算各傅里叶序列系数 cn当 n=0 时，常值分量 c0： Tdta1021当 n0 时， 1010 TtjnTtjnn ejec 最后可得 jnctjntjn2000注意上式中的括号中的项即 sin (n0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数 cn 可表示为)(sisi210Tc，其幅值谱为： ，相位谱为： 。频谱图如下：)(i11ccon ,n2-6设 cn 为周期信号 x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。
3、即：若有 nFSctx 则 tje00证明：若 x(t)发生时移 t0（周期 T 保持不变） ，即信号 x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为Tjndc1令 ，代入上式可得0t ntjTjtjtjncedex0001)(因此有 ntTjtjFS cetx00)/2(0 nCT/210n/10n0同理可证 ntTjntjFS cectx00)/2(0 证毕！2-7求周期性方波的（题图 2-5）的幅值谱密度解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数 )(sin211010 TcdteTCjnn则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有 )()(i2)( 0101Xn 此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换
4、是一个离散脉冲序列，集中于基频 以及所有谐0频处，其脉冲强度为 被 的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区01/4T)(sitc别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。2-8求符号函数的频谱。解：符号函数为 01)(tttx可将符号函数看为下列指数函数当 a0 时的极限情况解 )sgn(tettxtfjffjafj dtedtedfXa fjatfjatftj 12lim.lim0 02022 2-9求单位阶跃函数的频谱：解：单位阶跃函数可分解为常数 1 与符号函数的叠加，即 02/)(ttt)sgn(1)(t所以：2-10求指数衰减振荡
5、信号 的频谱。tetxat0sinfjf)(2)(解： )(2sinsin12)(000)(00tjtjtjatjtet deeX200)()()(21)(11)( 00jajajj tXjatja2-11设X (f)为周期信号x (t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性即：若 fXxFT 则 020ettfj m证明：因为 )(0ftfi又因为 *00 202 tfiFTtfj efXex 00)(0 fXffttfj m 证毕！2-12设X (f)为周期信号x (t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性即：若 ftxFT则 X *式中x *(t)为x(t)的共轭。证明： dfefttj
6、2)(由于 tetxffjftj2*)(上式两端用 -f 替代 f 得 dttfXfj2*上式右端即为x *(t)的傅里叶变换，证毕！特别地，当x(t)为实信号时，代入x *(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即 f*2-13设X (f)为周期信号x (t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性即：若 ftxFT 则 fxtXFT 证明：由于 dfeftxtj2)()(以 -t 替换 t 得 ffttj2上式 t 与 f 互换即可得 dtetXfxfj2)(即 t证毕。特殊情况,当 为偶函数时，xt fxtFT 2-14用傅里叶变换的互易特性求信号g( t)的傅里叶变换G(f)，g( t)定义如
7、下：21t且已知 22)()( fafXetxFTta 解：当a=2 ，不难看出g(t)与 X(f)非常相似。代入a=2 ，根据傅里叶变逆换有 dfefdfe tjtjt 2222 1等式两端同时乘以2 ，并用-t替代变量t 得tefefjt 221交换变量t和f得 dttfjf 22上式正是g(t) 的傅立叶变换式，所以 fFTefGttg22)(1)( 2-15所示信号的频谱 )5.().2(1)(txtxt式中x 1(t), x2(t)是如图2-31b ） ，图2-31c）所示矩形脉冲。解：根据前面例2-15求得x 1(t), x2(t)的频谱分别为和ffXsin1ffX3sin)(2根
8、据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：feffj3sini)(215tx图2-312-16求信号x(t)的傅里叶变换 0)(aetxt解：由例2-16已知 fjuFTat 21 注意到x(t) 为实偶函数， t 0 时 ，t 1.0) 会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展, 这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。 111 4sin5.0si25.0).( fTcTfcTtxF111iinfft)(1txttt)(2xx(t/2) t-T T 2T-1/2T1/2T fa=0.5x(t/2) t-T/2T/2 T-1/T1/T fa=1.0x(t/2) t-T/4T/4 T/2-2/T /T
9、 fa=2.0111题图2-17 时间尺度展缩特性示意图2-18求同周期的方波和正弦波的互相关函数解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移 秒后计算： sin241 23cos12cos23cos1cos1 sin1sin1sin)( 43440 433 TTT Txy ttt tdddR2-19求信号 的自相关函数。)()(tuetxa解：由定义 dtute dtuexRaa tatx )()(2 )其中积分的被积函数的非零区间为 的交集，即 。因此，当0与 ),0mx(t时，上式为0 atatatatax eedeR 21
10、)21()( 002当 时，则有 aaaataatax ee 21)()()(2综合有 axeR1)(112-20下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。（1） （30）tbtatf3cos5sin)(（2） （12 ）6（3） （ ）)4si()(ttf 38（4） （8）5coa2-21如图所示，有 个脉宽为 的单位矩形脉冲等间隔（间隔为 ）地分12nN T布在原点两侧，设这个信号为 ，求其FT。)(tx解：由题意， nmTtxt)(0其中 ，其FT为 。根据FT的时移特性，可以求得)(0tGtx2si)0cX)2sin()()() )1(02/2/0 / 222 )1(0TNXeeeT
11、jTj jjj TNTTjnjmnmj 下面分析一下所求的结果。当 时，由罗彼塔法则可以求得 ，因此 ，是单Tm2 NT)2sin( )()(0NX个矩形脉冲频谱 的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当 （m)(0X T2不是N 的倍数）时， ，这是N 个谱相互抵消的结果。见图（ b） 。0)2sin(T可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当 时，时域信号变成了周期矩形Tm2 N脉冲信号，而频域则变成了只在离散点 处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变Tm2成了冲激信号（因为能量趋于无穷大） 。这也应验了：借助于
12、冲激信号，周期信号也存在FT。2-22 “时域相关性定理”可描述如下)()(fYXRFxy试证明。下面给出两种证明方法。证明1： )( )()()()()()(* )2*2 2)(2*2*fYfXtdetydtetxtetytxdttfjfj ftjtfjfjfjxy 这里利用式： ，是FT的“反褶共轭”性质。)(*tyF证明2：根据相关运算与卷积运算之间的关系 )()(tyxRxy利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。在式中，令 ，则可得x自相关的傅里叶变换 2*)()() fXffXFx 式中说明， “函数相关的FT是其幅度谱的平方 ”，换句话说， “函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对” 。利用FT的奇偶虚实性，若 是实偶函数，那么 也是实偶函数。这样我们就得到了)(ty)(fY一个特例结论， )()(*ffRxy 即当 是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。)(ty2-24帕斯瓦尔定理 dfXdt22)()(证明： dfXFTdftetxffXtx IFTtetxtdtf fjftjftj2*2*2*2)( )()()( )()()()( 定 义交 换 积 分 次 序定 义-1809vw()32A54n二阶系统的幅频特性曲线和相频特性曲线第三章 习题及题解1 试说明二阶装置的阻尼比 多采用 （0.60
